Лекциялар жинағы шымкент 2022 1-лекция Мектепте сандық жүйені оқыту. Натурал сандардың бөлiнгiштiк белгiлерi
жүктеу/скачать 8,29 Mb.
|
| Анықтама.Егер >0 санына сәйкес тек осы санына ғана тәуелдi саны табылып, аралығының мына теңсiздiктi қанағаттандыратын кез келген х1және х11 екi нүктесi үшiн келесi теңсiздiк орындалса, онда f(х) функциясын аралығында бiрқалыпты үзiлiссiз деп атайды.
1968 жылғы қабылданған математика бағдарламасы бойынша жазылған А.Н. Колмогоровтың (Алгебра және анализ бастамалары оқулығында) функцияның нүктедегi үзіліссіздігінiң анықтамасы оның шегi арқылы берiлген. Анықтама.Егер болса, онда fфункциясых0 нүктесiнде үзіліссіз деп аталады. Бұдан кейiн нүктедегi үзіліссізфункцияның негiзгi касиеттерi қарастырылады. 1-теорема.х0нүктесiнде үзіліссізболатын функциялардың қосындысы, айырымы, көбейтiндiсi және бөлiндiсi (бөлiмi х0 нүктесiнде нөлге айналмайтын жағдайдағы бөлiндi) х0нүктесiнде үзіліссіз функциялар болып табылады. 2-теорема.Рационал функция өзi анықталған барлық нүктелерде үзіліссізболады. Бұдан кейiн интервалдағы үзіліссізфункцияның таңба-тұрақтылық қасиетi қарастырылады. Егер f функциясы интервалында үзіліссізжәне нөлге айналмайтын болса, онда ол функция сол интервалда тұрақты таңбасын сақтайды. Теңсiздiктердi интервалдар әдiсiмен шешудiң теориялық негiзi осы қасиетке негiзделедi. Функциянын нүктедегi үзіліссіздiгi былайша түсіндіріледі: Егер жағдайда болса, онда бұл функцияны х0нүктесiнде үзіліссіз деп атайды. Мұнда ; аз болғанда те аз болатынын, яғни х0нүктесiндегi аргументтiң аз өзгерулерiне функция мәндерiнiң де аз өзгерулерi сәйкес келетiнi шығады. Элементар функциялардың барлығы өзiнiң анықталу облысының әрбiр нүктесiнде үзіліссіз болады. Осы оқулықтың “Үздiксiздiк пен туындының қолданылуы”деп аталатын параграфыныңүзіліссіздiктiң қолданылуы деп аталатын пунктінде интервалдағы үзіліссіз функцияның анықтамасы мен интервалдағы үзіліссіз функцияның таңба-тұрақтылық қасиетi қарастырылған. Егер интервалында fфункциясы үзіліссіз және нөлге айналмайтын болса, онда сол интервалда ол тұрақты таңбасын сақтайды. Одан кейiн, теңсiздiктi интервалдар әдiсiмен шешудiң осы қасиетке негiзделгенi қарастырылады. Ал М.А.Башмаковтың (Алгебра және анализ бастамалары оқулығында М., Просвещение, 1997 ж.) теңсiздiктi интервалдар әдiсiмен шешу функцияның үзіліссіздігiнен бұрын оған байланыссыз өтiледi. Бұл оқулықта фунцияның үзіліссіздiгi аргумент пен функция өсiмшесi арқылы берiледi: егер аргументтiң шексiз аз өсiмшесiне функцияның шексiз аз өсiмшесi сәйкес келетiн болса, онда функцияны берiлген нүктеде үзіліссіз функция деп атайды. Монотонды функциялар үшiн функцияның үзіліссіздiгiнiң анықтамасы былайша берiледi: “Егер монотонды функция өзiнiң барлық аралық мәндерiн қабылдайтын болса, онда ол үзіліссіз функция болады”. Бұдан кейiн кесiндiдегi үзіліссіз монотонды функцияның нөлге айналуы туралы Больцано-Кошидiң теоремасы және оның тендеулердi графиктiк тәсiлмен шешуде қолданулары қарастырылады. Кесiндiдегi үзіліссізфункцияның негiзгi қасиеттерi теориялық зерттеулер мен практикалық есептердi шығаруда кең түрде колданылады. Физика-математикалық бағыттағы бейіндік мектептерде, факультативтiк сабақтар мен математикалық үйiрме жұмыстарында кесiндiдегi үзіліссіз функцияның нөлге айналуы туралы Больцано-Кошидiң бiрiншi және екiншi теоремаларын теңдеулердiң нақты шешiмдерiнiң бар болатындығын дәлелдеуде және оны кез келген дәлдiкпен жуықтап есептеуде, теңсiздiктердi интервалдар әдiсiмен шешудiң теориялық негiзi ретiнде алуға болады, ал аралықтағы үздiксiз функцияның таңба-тұрақтылық қасиетi теңсiздiктi аралықтар әдiсiмен шешудiң теориялық негiзi ретiнде қолданылады. Функцияның нүктедегi үзіліссіздiгiнiң анықтамасын терең түсiну үшiн мына төмендегідей оқу материалдар қайталанылады: функцияның нүктедегi шегiнiң анықтамасы. болатындығын дәлелдеу әдiсi. Кез келген х0R үшiн болатындығы. Шектер туралы теоремалар. Рационал функциялар туралы ұғым. Мына түрдегi функция бүтiн рационал функциянемесе көпмүшелiк деп аталады, мұндағы а00. мұндағы P(x) және Q(x) - көпмүшелiктер рационал функциялар деп аталады. Оқушыларға таныс рационал функциялардың мысалдарын келтiру қажет: тура және керi пропорционалдық тәуелдiлiк, сызықтық және квадраттық функциялар, т.с.с. Сонымен бiрге, оқушылардың назарын функцияларының рационал функциялар болмайтынына назар аударған жөн. Функцияның нүктедегi шегi мен функцияның графигi туралы бiлiмдерiн функцияның нүктедегi үзіліссіздiгiн көрнекi түрде қалыптастыру үшiн пайдалануға болады. Бұл мақсатта оқушыларға мынадай тапсырмалар берген пайдалы. Функциялардың графиктерiн мыналарды анықта: а) х0 нүктесiнде анықталған, бiрақ бұл нүктеде шегi жоқ; ә) х0 нүктесiнде анықталған, бұл нүктеде шегi бар, бiрақ б) х0 нүктесiнде анықталған, бұл нүктеде шегi бар және Көрсетiлген қасиетке ие болатын функциялардың графиктерi х0нүктесiнiң маңайында түрлiше болуы мүмкiн. Олардың бiр түрi төмендегi 13-суретте көрсетiлген. Жаңа материалды төрт кезеңге бөлiп оқыту қажет: функцияның үзіліссіздiгiн көрнекi қалыптастыру; функцияның нүктедегi үзіліссізiгiнiң анықтамасын беру және оны қарапайым жағдайлар үшiн қолдану; үзіліссізфункциялардың қасиеттерiн бiлу; үзіліссіз функциялар туралы алған бiлiмдi қолдану. жүктеу/скачать 8,29 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|