Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

FUNCTION
(X)
"
Чистая
"
и
 
прикладная
математика
Форум
Тесты
 
онлайн
Поисĸ
Линейные
 
неоднородные
дифференциальные
 
уравнения
второго
 
порядка
 
с
 
постоянными
коэффициентами
Линейным
 
неоднородным
дифференциальным
уравнением
 
второго
порядка
 
с
 
постоянными
коэффициентами
называется
уравнение
вида
,
где
p
и
q
- 
вещественные
числа
(
постоянные
величины
),
f
(
x
)
- 
непрерывная
функция
.
Общее
решение
такого
уравнения
представляет
собой
сумму
частного
решения
неоднородного
уравнения
и
общего
решения
соответствующего
однородного
 
уравнения
, 
т
.
е
. 
такого
, 
у
которого
правая
часть
равна
нулю
.
Записывается
это
так
: 
.
Общее
решение
может
найти
каждый
, 
кто
ознакомился
с
соответствующим
уроком
.
Остаётся
рассмотреть
вопрос
о
нахождении
частного
решения
. 
Существуют
методы
решения
для
случаев
, 
когда
функция
f
(
x
)
в
правой
части
уравнения
представляет
собой
многочлен
,
показательную
функцию
и
тригонометрическую
функцию
.
Правая
 
часть
- 
многочлен
некоторой
 
степени
Пусть
правая
часть
-
многочлен
второй
степени
:
. 
Частное
решение
линейного
неоднородного
дифференциального
уравнения
следует
искать
также
в
виде
многочлена
второй
степени
: 
.
Задача
состоит
в
определении
коэффициентов
A
, 
B
, 
C
.
. 
Для
этого
находим
первую
и
вторую
производные
функции
Y
, 
а
затем
выражения
Y
, 
и
подставляем
в
уравнение
вместо
маленькой
буквы
y
с
соответствующим
количеством
штрихов
. 
В
результате
получаем
или
после
группировки
членов
левой
части
Последнее
тождество
возможно
лишь
при
равенстве
коэффициентов
при
одинаковых
степенях
x
:
Т
. 
е
. 
получили
систему
трёх
уравнений
относительно
трёх
неизвестных
A
, 
B
, 
C
. 
При
система
даёт
единственное
решение
для
A
, 
B
, 
C
.
Если
же
в
линейном
неоднородном
дифференциальном
уравнении
коэффициент
,
то
его
частное
решение
следует
искать
в
виде
.
Далее
- 
также
ищем
и
, 
а
затем
подставляем
выражения
для
Y
, 
и
в
исходное
линейное
неоднородное
дифференциальное
уравнение
, 
не
забывая
, 
что
.
Если
же
и
, 
то
исходное
уравнение
имеет
вид
. 
Оно
решается
непосредственным
двукратным
интегрированием
.
Аналогично
поступают
в
случаях
, 
когда
в
линейном
неоднородном
дифференциальном
уравнении
функция
f
(
x
)
является
многочленом
n
-
й
степени
. 
Если
, 
то
частное
решение
ищут
в
виде
многочлена
той
же
степени
.
Если
же
, 
то
частное
решение
ищут
в
виде
произведения
многочлена
n
-
й
степени
на
x
. 
Если
и
предшествующий
ему
коэффициент
равен
нулю
, 
то
частное
решение
ищут
в
виде
и
т
.
д
.
Пример__1._Решить__линейное__неоднородное__дифференциальное__уравнение'>Пример
1.
Решить
линейное
неоднородное
дифференциальное
уравнение
.
Решение
. 
Сначала
решаем
однородное
уравнение
, 
соответствующее
данному
неоднородному
.
Характеристическое
уравнение
имеет
действительные
и
различные
корни
и
(
как
 
искать
корни
 
квадратного
уравнения
). 
Следовательно
,
общее
решение
однородного
уравения
имеет
вид
.
Частное
решение
данного
неоднородного
уравнения
ищем
в
виде
,
поскольку
в
правой
его
части
-
многочлен
второй
степени
, 
а
. 
Подстановка
функции
Y
и
её
производных
в
данное
уравнение
приводит
к
тождеству
или
.
Отсюда
для
определения
коэффициентов
A
, 
B
, 
C
получаем
систему
уравнений
Её
решения
, 
, 
.
Следовательно
, 
частное
решение
данного
линейного
неоднородного
дифференциального
уравнения
,
а
его
общее
решение
.
Пример
2.
Решить
линейное
неоднородное
дифференциальное
уравнение
.
Решение
. 
Однородное
уравнение
, 
соответствующее
данному
неоднородному
,
имеет
вид
. 
Его
характеристическое
уравнение
имеет
действительные
и
различные
корни
и
.
Следовательно
, 
общее
решение
однородного
уравения
имеет
вид
.
Так
как
в
данном
уравнении
(
отсутствует
член
с
y
), 
а
в
правой
его
части
- 
многочлен
первой
степени
, 
то
частное
решение
данного
неоднородного
уравнения
ищем
в
виде
.
Найдя
первую
и
вторую
производные
функции
Y
и
подставив
их
в
данное
уравнение
, 
получим
или
.
Таким
образом
, 
для
определения
коэффициентов
A
, 
B
получаем
систему
уравнений
Её
решения
, 
.
Следовательно
, 
частное
решение
данного
линейного
неоднородного
дифференциального
уравнения
,
а
его
общее
решение
.
Правая
 
часть
 
уравнения
-
показательная
 
функция
То
есть
, 
. 
Тогда
и
его
частное
решение
также
будем
искать
в
виде
показательной
функции
: 
. 
Для
определения
коэффициента
A
найдём
первую
и
вторую
производные
этой
функции
:
, 
, 
а
затем
подставим
выражения
для
Y
,
и
в
исходное
линейное
неоднородное
дифференциальное
уравнение
. 
Это
даёт
или
так
как
. 
Отсюда
найдём
A
, 
если
, 
т
. 
е
. 
если
коэффициент
b
не
является
корнем
характеристического
уравнения
.
Если
же
b
- 
однократный
корень
характеристического
уравнения
, 
т
. 
е
. 
, 
то
частное
решение
исходного
линейного
неоднородного
дифференциального
уравнения
следует
искать
в
виде
. 
В
этом
случае
коэффициент
A
определяется
однозначно
. 
Для
этого
находим
и
, 
а
затем
подставив
выражения
для
Y
,
и
в
исходное
уравнение
,
получим
или
после
тождественных
преобразований
.
Так
как
, 
по
условию
,
то
после
сокращения
на
множитель
получим
, 
откуда
определяется
A
, 
если
, 
т
. 
е
. 
если
.
Если
же
является
корнем
характеристического
уравнения
, 
то
это
означает
,
что
b
является
двукратным
корнем
этого
уравнения
. 
Тогда
частное
решение
линейного
однородного
дифференциального
уравнения
следует
искать
в
виде
. 
Для
определения
коэффициента
A
находим
и
, 
а
затем
подставляем
выражения
для
Y
, 
и
в
исходное
уравнение
и
получим
или
после
приведения
подобных
членов
и
сокращения
на
.
Но
как
дискриминант
характеристического
уравнения
, 
имеющего
равные
корни
. 
Следовательно
,
последнее
равенство
упрощается
и
принимает
вид
, 
откуда
и
определяется
A
.
Пример
3.
Решить
линейное
неоднородное
дифференциальное
уравнение
.
Решение
. 
Сначала
решим
однородное
уравнение
, 
соответствующее
данному
неоднородному
. 
Его
характеристическое
уравнение
имеет
действительные
и
различные
корни
и
.
Следовательно
, 
общее
решение
однородного
уравения
имеет
вид
.
Правая
часть
исходного
уравнения
представляет
собой
показательную
функцию
, 
а
коэффициент
b
= 4
не
является
корнем
характеристического
уравнения
. 
Поэтому
частное
решение
неоднородного
уравнения
ищем
в
виде
.
Находим
его
первую
и
вторую
производные
, 
а
затем
выражения
для
Y
, 
и
подставляем
в
исходное
уравнение
и
получим
или
, 
т
. 
е
. 
.
Следовательно
, 
частным
решением
исходного
линейного
неоднородного
дифференциального
уравнения
служит
функция
, 
а
его
общее
решение
имеет
вид
.
Нет
 
времени
 
вникать
 
в
решение
? 
Можно
 
заказать
работу
!
Пример
4.
Решить
линейное
неоднородное
дифференциальное
уравнение
.
Решение
. 
Данному
уравнению
соответствует
такое
же
однородное
уравнение
, 
как
и
в
примере
3, 
а
значит
, 
такое
же
решение
однородного
уравнения
. 
Однако
частное
решение
неоднородного
уравнения
следует
искать
в
виде
, 
так
как
коэффициент
b
= 2
является
корнем
характеристического
уравнения
. 
Для
определения
коэффициента
A
находим
и
, 
а
затем
выражения
для
Y
,
и
подставляем
в
исходное
уравнение
и
получим
откуда
находим
, 
т
. 
е
. 
.
Следовательно
, 
частное
решение
исходного
линейного
неоднородного
дифференциального
уравнения
, 
а
общее
решение
.
Правая
 
часть
 
уравнения
-
тригонометрическая
функция
 
вида
 
,
причём
. 
Тогда
и
частное
решение
следует
искать
в
таком
же
виде
, 
а
именно
. 
Для
определения
коэффициентов
A
и
B
находим
первую
и
вторую
производные
этой
функции
и
подставляем
выражения
для
Y
, 
и
в
исходное
линейное
неоднородное
дифференциальное
уравнение
. 
Тогда
после
группировки
членов
в
левой
части
получаем
.
Это
тождество
возможно
,
если
коэффициенты
при
и
совпадают
.
Приравнивая
их
, 
получим
систему
уравнений
откуда
находим
,
.
Эти
формулы
показывают
, 
что
коэффициенты
A
и
B
можно
найти
всегда
, 
за
исключением
случая
. 
Так
как
, 
то
это
равенство
возможно
, 
если
и
, 
т
.
е
. 
если
линейное
неоднородное
дифференциальное
уравнение
имеет
вид
.
В
этом
случае
частное
решение
следует
искать
в
виде
. 
Найдя
вторую
производную
и
подставив
выражения
для
Y
и
в
уравнение
, 
получим
или
после
упрощений
УВЛЕКАТЕЛЬНЫЙ
 
НОЧНОЙ
ШОПИНГ
 
ВО
 
ВРЕМЯ
РАМАДАНА
ПОДРОБНЕЕ
16.04.2023, 18
:
18
Стр
. 1 
из
1