Математическая статистика

жүктеу/скачать 1,65 Mb.

бет	5/16
Дата	07.12.2022
өлшемі	1,65 Mb.
	#55622
түрі	Учебное пособие

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16

Байланысты:
теория вероятностей уч пособие

Основные теоретические сведения 1. Два события А и В называются независимыми

1	1/3, 1/2	19 б	91/228	33 а

2	1/6, 1/3	19 в	5/38	33 б
3	1/50, 49/50	19 г	35/76	33 в
4	1/6	20	3/10	34 а
5	1/360	21	1/22	34 б
6	1/60	22	0,302	35
7	1/90	23	0,2381	36
8	7/15	24	0,049	37 а
9	1/6	25		37 б
10	24/91	26		37 в
11	2/15	27 а	1/216	38 а
12	0,3	27 б	1/36	38 б
13		27 в	5/54	39 а
14	½	28		39 б	0,099
15	0,4	29		40
16	14/55	30	.	41
17	1/15	31 а	1/Р₇=1/7!= =0,000198	42	а) 0,125; б) 0,5
18	1/5	31 б	Р₂Р₃Р₂Р₂/Р₁₀=2!3!2!2!/10! = 0,0000132	43
19 а	1/114	32	1/Р₅=1/5!= =,00833	44	0,4375
45				46

ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СУММЫ СОБЫТИЙ И ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ

Студент должен знать:
-основные формулы теории вероятностей

Студент должен уметь:
- находить вероятность произведения, суммы событий, появления хотя бы одного события;

Литература: [5] стр.37-43.

Основные теоретические сведения

1. Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Вероятность произведения независимых событий А и В:
P(AB) = P(A)P(B)
2. Два события А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло и обозначается P(A | B).
Вероятность произведения зависимых событий А и В:
P(AB)=P(A)P(B|A) или P(AB)= P(B)P(A|B).
3. Вероятность суммы двух совместных событий:
P(A + B) = P(A  B) = P(A) + P(B) - P(AB).
4. Вероятность суммы двух несовместных событий:
P(A+B) = P(A) + P(B).
5. Вероятность появления хотя бы одного события равна
P(A₁A₂...A_n) = 1 - P(Ā₁)P(Ā₂)...P(Ā_n),
где вероятность противоположного события равна P(Ā) = 1 - P(A).
6. Противоположные события – это два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти.
Вероятность суммы противоположных событий равна единице

Примеры

Пример 1. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго- 0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.
Решение. Обозначим события:
А – попадание в цель первым стрелком,
В – попадание в цель вторым стрелком.
Так как события А и В независимы, то
P(AB) = P(A)P(B) = 0,90,8 = 0,72.

Пример 2. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Определить зависимы ли события А-«первой взята стандартная деталь» и В –«второй взята стандартная деталь».
Решение. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна P(A) = 90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то P(B) = 89/99, если же событие А не произошло, то P(B) = 90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В – зависимые.

Пример 3. В урне a белых и b черных шаров. Из урны наудачу последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.
Решение. Обозначим события:
А – первый шар черный;
В – второй шар черный.
Если произошло событие А, то в урне осталось всего a + b - 1 шаров, из них b - 1 черных. Поэтому условная вероятность события В при условии, что произошло событие А, есть:

Пример 4. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 второго сорта и 3 третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие А₁), вторая деталь – второго сорта (событие А₂) и третья деталь – третьего сорта (событие А₃).
Решение.

Пример 5. Студент сдает экзамен по теории вероятностей. Вероятность получить на экзамене «2» равна 0,1; «3» – 0,6; «4» – 0,2; «5» – 0,1. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене положительную оценку?
Решение: Пусть событие А – студент получит на экзамене положительную оценку.
, т.к. событие А и событие – «получить двойку» на экзамене являются противоположными.
.

Пример 6. Вероятность того, что первый стрелок поразит мишень равна 0,8, второй – 0,5. Найти вероятность того, мишень будет поражена только один раз.
Решение: Пусть событие А – попадет первый стрелок. . Событие В – мишень поразит второй стрелок. . Интересующее нас событие D– будет ровно одно попадание по мишени, если стрелки сделают только по одному выстрелу.
Вероятность того, что первый стрелок не попадет: . Второй стрелок не попадет с вероятностью .
Вероятность события равна:
.

Пример 7. Две пушки стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени первой пушкой равна =0,75, второй =0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена, если пушки сделают по одному залпу? События А и В независимы.
Решение: Интересующие нас событие С – будет поражена мишень.
Мишень будет поражена либо когда будет одно попадание, либо два. Таким образом, необходимо найти вероятность хотя бы одного попадания по мишени. Воспользуемся теоремой сложения совместных событий:

Поскольку события и независимы, данную формулу перепишем в следующем виде:

.

жүктеу/скачать 1,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16