Математическая статистика



бет9/16
Дата07.12.2022
өлшемі1,65 Mb.
#55622
түріУчебное пособие
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   16
Байланысты:
теория вероятностей уч пособие

1

13/30

14




27




37 а

0,224

48




2



15

ко второй

28

24, 25

37 б

0,1992

49 а

0,89

3

0,83

16




29




37 в

0,5769

49 б

0,89

4




17




30




38

0,0782

49 в

0,11

5

0,52

18




31




39

0,0498

50

0,68

6

20/21

19

0,088

32 а

0,088

40

0,273

51

14

7




20

0,77

32 б

0,104

41

0,0006

52

14, 15

8

38/105

21

3/7

33

0,088

42

0,1562

53

7

9




22

3/13

34




43

первое

54

100, 101

10




23

256/715

35




44




11




24




36 а

0,0613

45

12

6/17

25




36 б

0,9197

46

13




26

5

36 в

0,019

47

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.




Студент должен знать:
- понятие случайной величины и ее виды;
- способы задания случайной величины;
- закон распределения случайной величины;


Студент должен уметь:
- строить ряд распределения случайной величины;
- находить функцию распределения случайной величины.


Литература: [5] стр.60-72 .


Основные теоретические сведения

Величина, которая в результате опыта может принимать те или иные значения называются случайной величиной. Например, время ожидания автобуса на остановке, число свободных мест в вагоне поезда и т. д. Обозначать случайные величины будем заглавными латинскими буквами X, Y, Z и т. д.


Случайная величина называется дискретной, если мы можем перечислить все ее возможные значения и указать вероятность каждого значения.
Возможных значений может быть бесконечно много. Обычная дискретная величина задается рядом распределения в виде следующей таблицы.

X








. . .



P







. . .



Здесь, - все возможные различные значения случайной величины, а - вероятности, с которой случайная величина принимает соответствующие значения,
Не всегда можно задать случайную величину, указав вероятность каждого отдельного значения. В ряде случаев вероятность каждого отдельного значения равна 0. Любую случайную величину можно задать, указав ее функцию распределения.
Функция F(x)=P(Xинтегральной функцией распределения случайной величины X или просто функцией распределения.
Функция распределения обладает следующими свойствами.

  1. Монотонностью, то есть, если то

  2. Для любых справедливо



С помощью функции распределения можно подсчитать вероятность попадания случайной величины Х в интервал [a, b).

Назовем случайную величину непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F(x).
Заметим, что в этом случае вероятность каждого значения случайной величины равна нулю.
Будем считать, что существует функция такая, что
при всех .
В этом случае функцию назовем плотностью распределения случайной величины Х или дифференциальной функцией распределения. Справедливо равенство
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (а,b) можно посчитать по формуле .
Свойство плотности распределения .
Примеры


Пример 1. Имеется 10 деталей, из них 6 стандартные. Составить ряд распределения числа стандартных деталей из двух выбранных.
Решение: Очевидно, что при выборе двух деталей, число стандартных деталей может оказаться равным 0, 1, 2, то есть мы имеем дело с дискретной случайной величиной. Найдем вероятность, с которой принимается каждое значение, и составим ряд распределения. Считаем, что выбор каждой детали равновозможен, и применим для нахождения вероятностей классическое определение.
Число всех возможных исходов для выбора двух исправных деталей равно .
Число благоприятных вариантов для выбора только нестандартных деталей равно.
Число благоприятных вариантов для выбора одной исправной детали равно .
Число благоприятных вариантов для выбора только стандартных деталей равно .
Таким образом,
Составим ряд распределения.

Х


0

1

2

Р







Для проверки убедимся, что сумма вероятностей равна 1.


Пример 2. В партии из семи деталей четыре окрашенные. Наудачу взяты три детали. Построить ряд и многоугольник распределения случайной величины - числа окрашенных деталей среди отобранных.
Решение: Случайная величина может принять следующие четыре значения: , , , . Вероятности этих значений равны:

, ,
Складывая полученные вероятности, имеем:
.
Составим ряд распределения:

x

0

1

2

3

p

1/35

12/35

18/35

4/35

Построим многоугольник распределения случайной величины Х (рис.4).



Рисунок 4. Многоугольник распределения


Пример 3. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения. Построить ее график.



-1

0

2

p

0,1

0,4

0,5

Решение. Чтобы найти вероятность события Х< x, разобьем числовую ось на интервалы точками – 1, 0 и 2. Если , то событие невозможно и в этом случае . Если то событие имеет место тогда и только тогда, когда , то есть

1 0 2 х


Если , то событие может произойти только в том случае, если Х = 1 или Х = 0, то есть

И, наконец, если , то событие достоверно и
На координатной плоскости построим график (рис.4).
F(x)
1
0,5
0,1
1 0 2 x
Рисунок 5. График интегральной функции распределения
Пример 4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

X

1

4

8

p

0,3

0,1

0,6

Найти функцию распределения и начертить ее график.


Решение: Если , то , поскольку случайная величина не принимает значений меньших 1.
Если , то .
Если , то – на этом интервале принимает значение 1 с вероятностью 0,3 и значение 4 с вероятностью 0,1. Поскольку эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей 0,3+0,1=0,4.
Если , то .
Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График данной функции:

Рисунок 5. График функции распределения.




Пример 5. Найти функцию плотности непрерывной случайной величины, заданной функцией распределения

Построить графики функций F(x) и f(x). Найти вероятность попадания в интервал .
Решение. Найдем дифференциальную функцию распределения (функцию плотности):

Построим график функции распределения (рис. 6) и график дифференциальной функции распределения (рис. 7)
F(x)
1

0 1 x



Рисунок 6. График интегральной функции распределения


f(х)
2

1
0 1 х


Рисунок 7. График дифференциальной функции распределения


Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал



Пример 6. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (0,1).
Решение: Вероятность того, что примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале .
Положив , получим:

Пример 6. Разыгрываются две вещи стоимостью по 150 рублей и одна вещь стоимостью 300 рублей. Составьте закон распределения выигрышей, купившего 1 билет из 50.
Решение. Искомая случайная величина Х представляет собой выигрыш и может принимать три значения: х1 = 0, х2 = 150 и х3 = 300 рублей.
Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату – два случая и третьему – один случай. Найдем их вероятности:
; ; .
Закон распределения случайной величины имеет вид:

Значения xi

0

150

300

Вероятности pi

0.94

0.04

0.02

В качестве проверки найдем
.


Задачи





  1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х

2

4

5

6

Р

0,3

0,1



0,4

Построить многоугольник распределения и функцию распределения F(x).

  1. Дан ряд распределения случайной величины

Х

-2

-1

0

1

2

Р



0,2

0,2

0,4

0,1

Требуется: а) построить многоугольник распределения;


б) построить F(x);
в) найти

  1. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 1 шар. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения F(x).

  2. Устройство состоит из 3-х работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

  3. Бросают 3 монеты. Требуются: построить ряд распределения и функцию распределения F(x) случайной величины Е, равную числу выпавших «решек».

  4. Построить ряд распределения и функцию распределения F(x) числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4.

  5. В партии из 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа бракованных изделий в выборке.

  6. Случайная величина Е задана функцией распределения


Найти: а) f(x); б) ; в) .


9. Дано:
Построитьи начертить ее график.


10. Дано:
а) Построить ; б) Найти: .


11. Дано:
Найти и построить ее график


12. Дано:
Найти: построить графики и .


13. Дано:
Найти: построить графики и


14. Дано:
Найти: построить графики и


15. Дано:
Найти: построить графики и


16. Дано:
Найти: построить графики и


17. Дано:
Найти: построить графики и


18. Дано:
Найти: построить графики и


19. Дано:
Найти:


20. Дано:
Найти:


21. Дано:
Найти:


22. Дано:
Найти:


23. Дано:
Найти:


24. Дано:
Найти:


25. Дано: Найти: С.


26. Дано: . Найти:


Ответы:
1. 2. в) 0,8. 3.
4.

Х

0

1

2

3

Р

0,729

0,243

0,027

0,001




5.
а)

Х

0

1

2

3

Р











б)

6.

Х

0

1

2

3

Р

0,729

0,243

0,027

0,001

7.

Х

0

1

2

Р

0,36

0,48

0,16

8. а) б) 0,25 в) 0,75
9. 10.
11.
20. 1, 25. С=1, 26. .


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   16




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет