Математические соревнования в вузах
жүктеу/скачать 0,51 Mb. Pdf көрінісі
|
| 2013 Математика в высшем образовании № 11 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОРЕВНОВАНИЯ В ВУЗАХ УДК 51-8 ОЛИМПИАДА В ФОРМЕ КОМПЬЮТЕРНОГО ТЕСТА А. Ю. Эвнин Южно-Уральский государственный университет Россия, 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76; e-mail: evnin@prima.susu.ac.ru Приведены задачи отборочного тура Всероссийской Интернет-олимпиады, проводившегося в Южно-Уральском государственном университете. Ключевые слова: математические олимпиады, Интернет-олимпиада, компью- терное тестирование. Начиная с 2009 г. проводятся Всероссийские студенческие Интернет-олим- пиады по ряду дисциплин. Олимпиада по математике является частью От- крытой международной Интернет-олимпиады. Об идеологии Интернет-олим- пиад, позволяющих сочетать массовость, зрелищность и математическую со- держательность, подробно и эмоционально написано в статьях [1, 2]. Форма проведения первых двух туров Интернет-олимпиады — компьютерный тест, а заключительный тур проводится в традиционной форме. В Южно-Уральском государственном университете (ЮУрГУ) с целью от- бора к участию в Интернет-олимпиаде и выявления способных студентов ежегодно (уже в течение четыр¨ех лет) проводится тест. В тесте 32 задачи, длительность проведения 90 минут. За правильный ответ участник получает 3 балла, за неправильный теряет 1 балл; за отсутствие ответа на вопрос баллы не начисляются (и не снимаются). Таким образом, за тест можно получить от −32 до 96 баллов. Наш тест (по темам задач и уровню их сложности) составлен по образ- цу известного американского теста GRE (Graduate Record Examinations) — экзамена, который сдают при поступлении в аспирантуру в университетах Соединенных Штатов Америки. В оригинальном американском тесте 66 за- дач, на решение которых да¨ется 170 мин. На каждый вопрос предлагается 5 вариантов ответов, из которых нужно выбрать единственно верный. В 2013 г. при проведении теста в ЮУрГУ была использована компьютер- ная оболочка, разработанная доцентом А. К. Демидовым. Она позволила до- биться большей гибкости в постановке задач. Наряду с задачами, в которых выбирается правильный ответ из предложенных, были также задачи, в кото- рых можно было выбрать несколько вариантов ответа, а также задачи с чис- ловыми ответами. Тестирование проводилось на базе сайта contest.susu.ac.ru. Это позволило принять участие в тесте ряду студентов ЮУрГУ, находив- шихся в это время за пределами Челябинска, а также студентам из других вузов. Общее число участников составило 107 человек. Результаты теста при- ведены в группе «Математический конкурс в ЮУрГУ» (социальная сеть «В контакте»). 97
А. Ю. Эвнин Отметим, что на том же сайте выложены тесты за 2010–2012 гг. Участ- ники теста имели возможность предварительно получить представление о те- матике и уровне сложности задач и потренироваться в решении задач преды- дущих лет. Итак, приводим задачи теста 2013 г. и ответы к ним. Южно-Уральский государственный университет 2012/2013 год Отборочный тур V Всероссийской Интернет-олимпиады 1. Бизнесмен Вася вывесил в своем супермаркете четыре рекламных ло- зунга: I. Вс¨е деш¨евое невкусно! II. Вс¨е невкусное д¨ешево! III. Вс¨е вкусное нед¨ешево! IV. Не вс¨е вкусное д¨ешево! Борющийся за экономию коммерческий директор заметил, что два лозун- га утверждают одно и то же. Какие? 2. Пусть a, b, c — действительные числа. Какие из следующих утвержде- ний истинны? I. Если a < b и ab = 0, то 1 a
1 b . II. Если a < b, то ac < bc для любого c. III. Если a < b, то a + c < b + c для любого c. IV. Если a < b, то −a > −b. 3. Плоскость α проходит через точки с координатами (0; 0; 0), (2; 0; 0), (0; 0; 1). Уравнение плоскости α: 1) z = 0; 2) y = 0; 3) x = 0; 4) y = z; 5) x + 2y − 2z = 0. 4. Пусть S = (0; +∞) × (0; +∞). График уравнения x ln y
= y ln x
— это 1) единственная точка; 2) замкнутая кривая; 3) луч в S; 4) S; 5) ∅.
5. График функции y = 3 √ −x 2 + 10x − 21 — это 1) полуокружность; 2) часть эллипса; 3) часть параболы; 4) часть гиперболы; 5) часть ломаной; 6) пустое множество. 6. Пусть arcsin x = π 6
1) 5π 6 ; 2) π 3 ; 3) 1 − π 2 6 2 ; 4) 1 − π 6 ; 5) −
π 6 . 7. Функции f и g определены на множестве натуральных чисел следую- щим образом: f (1) = 1, f (n) = 2f (n − 1) при n = 1; g(3) = f (3); g(n) = = 3g(n + 1) при n = 3. Тогда g(1) = ? 8. Пусть f (x) = a sin x + bx cos x + x 2 , где a и b — константы. Известно, что f (2) = 3. Тогда f (−2) = ? 98
2013 Математика в высшем образовании № 11 9. Какое из уравнений имеет наибольшее количество корней на отрезке [100; 1000]? 1) sin(x
3 ) = 0;
2) sin(x 2 ) = 0; 3) sin x = 0; 4) sin
√ x = 0;
5) sin 3 √ x = 0. 10. Сколько корней имеет уравнение cos 2 x − sin
2 √ 2 x = 1? 1) ни одного; 2) один;
3) конечное множество, но больше одного; 4) сч¨етное множество; 5) несч¨етное множество. 11. Ранг матрицы
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
равен ? 12. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы 5 1 1 5
равно? 13. lim
x→π e −π − e −x tg x = 1) − ∞;
2) − e −π ; 3) 0; 4) e
−π ; 5) 1. 14. Пусть f (x) = x 1 x−1 при всех положительных x = 1 и пусть f (x) непре- рывна в точке x = 1. Тогда f (1) = 1) 0; 2)
e ; 3) 1; 4) e; 5) другой ответ. 15. Пусть f — функция, заданная на отрезке [−1; 1] и такая, что все точки графика этой функции лежат на окружности x 2 + y
2 = 1. Тогда количество точек, в которых функция f обязательно непрерывна, равно 1) 0;
2) 1; 3) 2;
4) 4; 5) их бесконечно много. 16. Пусть f (x) = x e · e x . Тогда при x > 0 f (x) f (x)
= 1) 1 +
e x ; 2) 1 + x e ; 3) 1;
4) e x ; 5) x e . 17. Седьмая производная от функции f (x) = x 1 + x
2 при x = 0 равна ? 18. Если f (x) — бесконечное число раз дифференцируемая функция, то lim
k→0 lim
h→0 f (p + k + h) − f (p + k) − f (p + h) + f (p) hk =
2) f (p); 3) f (p)
2 ; 4) f f (p) ; 5) f (h)f (k). 19. Пусть f (x) =
|x| x , если x = 0; 1, если x = 0. Тогда 3
f (x) dx = 1) − e;
2) 2; 3) − ln 2; 4) e; 5) не существует; 6) другой ответ. 99
А. Ю. Эвнин 20. Наименьшее значение функции z = x 2 + y
2 при условии x a
y b = 1 равно 1) a 2 b 2 a 2 + b 2 ; 2) (a + b) 2 ; 3) ab; 4) 1 a 2 + 1 b 2 ; 5) a 3 b + b 3 a . 21. Какая из функций является решением задачи Коши y − y = cos t; y(0) = y (0) = 1, y (0) = 0? 1) 3 ch t − cos t 2 ; 2) sh t + 1; 3) cos 2 t; 4) 2 − sin t 2 ;
3 sh t − sin t + 2 2 . 22. Если r — радиус-вектор, a = grad (r, r), то div (a) = 1) 6;
2) 2|r|; 3) |r|
2 ; 4) 3; 5) 0. 23. Если x и y — целые числа, такие, что x ≥ 3 и x−y ≥ 9, то минимальное значение функции 3x + 7y 1) − 33;
2) 0; 3) 9;
4) 27; 5) его не существует. 24. Пусть f = f (x, y, z) и df = dx − 3dy
z + 3y − x + z 3 z 2 dz. Тогда функция f с точностью до константы равна 1) x − 3y
z ; 2)
x − 3y z − z 2 ; 3)
y 3 − z 3 + x
z ; 4)
3y 2 − x − z 3 z ; 5) z 3 + 2x − 6y 2z . 25. Если контур L есть эллипс x a 2 + x b 2 = 1, проходимый против часовой стрелки, то L (2xy − y) dx + x 2 dy =
1) πab/4; 2) (a + b) 2 /4;
3) πab; 4) πa
2 b 2 ; 5) ab.
26. Поток радиус-вектора r через поверхность цилиндра, ограниченного поверхностями x 2 + y
2 = R
2 , x = 0, x = H, равен 1) πRH; 2) 3πR
2 H; 3) R 2 H 2 ; 4) 2RH
2 ; 5) πR 2 H. 27. Сумма ряда ∞ n=1
1 n(n + 3)
равна 1) 1 3 ; 2) 1 2 ; 3) 7 12 ; 4) 11 18 ; 5) 2 3 . 28. Сумма ряда ∞ n=1 1 n2 n равна 1) 2 3 ; 2) ln 2; 3) 1; 4) ln 3;
5) sin 1 2 ; 6) другой ответ. 100
2013 Математика в высшем образовании № 11 29. Область сходимости ряда ∞ n=1
(x − 1) n n 3 2 n+2 1) (−1; 1); 2) [−1; 1]; 3) (−1; 3); 4) [−1; 3]; 5) [0; 2]. 30. Если конечная группа имеет подгруппу 7-го порядка и не имеет под- групп 2-го порядка, то порядок группы может быть равен 1) 27;
2) 28; 3) 35;
4) 37; 5) 42.
31. Сколько существует пятизначных чисел, в каждом из которых сосед- ние цифры различны? 32. Какова вероятность того, что в случайном четыр¨ехзначном числе циф- ры идут по возрастанию (слева направо)? Ответ дать в десятичной записи с точностью до 0,001. Ответы
1. I, III. 2. III, IV. 3. 2). 4. 4). 5. 2). 6. 2). 7. 36.
8. 5. 9. 1). 10. 2). 11. 2. 12. 6. 13. 4).
14. 4). 15. 3). 16. 1). 17. −5040. 18. 2). 19. 2). 20. 1).
21. 5). 22. 1). 23. 5). 24. 5).
25. 3). 26. 2).
27. 4). 28. 2). 29. 4). 30. 3).
31. 59049. 32. 0,014. В заключение отметим, что результаты участников теста хорошо корре- лируют с их достижениями в других олимпиадах. Так, победитель тестов 2012 и 2013 гг. Антон Белов завоевал золотые медали заключительных эта- пов Всероссийской Интернет-олимпиады в Йошкар-Оле. О других формах математических соревнований студентов, проводимых в ЮУрГУ, рассказывается в учебных пособиях [3, 4]. ЛИТЕРАТУРА 1. Домошницкий А., Бугаенко В. О., Канель-Белов А. Я. Математическая Интернет- олимпиада для студентов // Математическое просвещение. Третья серия, вып. 14. — М.: МЦНМО, 2010. С. 236–239. 2. Домошницкий А. Интернет-олимпиада по математике для студентов и некие размыш- ления о месте математических соревнований в общем контексте математического про- свещения // Математическое образование. 2011. № 3–4 (59–60). С. 2–5. 3. Игнатов Ю. А., Шулюпов В. А., Эвнин А. Ю. Задачи студенческих математических бо¨ев. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2005. 43 с. 4. Эвнин А. Ю. Математический конкурс в ЮУрГУ. — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2012. 86 с. Поступила 12.07.2013 101
А. Ю. Эвнин OLYMPIAD IN THE FORM OF A COMPUTER TEST A. Yu. Evnin Problems of the qualifying round of the Internet olympiad carried out at the Southern Ural State University are presented. Keywords: mathematical olympiads, Internet olympiad, computer test. 102 жүктеу/скачать 0,51 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|