262
Гл.
4.
Определенный интеграл
сужение функции / на какой-то сегмент [х*, x,+i] было бы всюду разрывным на нем и, со
гласно теореме Лебега,
следовало бы, что / £
R [а, 6]).
Таким образом, при любом разбиении П имеем
6
Л'п(/2) = 0,
[ / 2
dx =
[ f 2(x)dx = sup{,Sn(/2)} = 0. ►
J
J
{n} -
—
a
1 8 .
Пусть
функция
/ :
[a, 6] —
►
M ограничена и вогнута1^ на сегменте [a, 6]. Доказать,
что
(
6
_
а )
М
+
Ж
с
J nx)dx^[b_a)f^+iy
◄ Вогнутость функции /
означает, что функция —/ выпукла, следовательно, / 6
С
[а, 6]
(согласно примеру 112, г л. 2).
Таким образом, / g
R[a,
Ь].
Используя свойство вогнутости, находим
/
( н г ) =
f ( Ч г +
Ь
~ 1 Г )
> |( Л « + 0 + / ( 6 - 0 ) .
0 ^ ( $ Ь - а .
Интегрируя по £ в
пределах [0,
b
—
а]
и
производя замены « + £ = 1 и
b — £ = z
получаем
(
6 —а
Ь — а
\
6
J
/ ( а + £)<*£+
J
/(&-£)<*£
j
=
J
f {x) dx .
(1)
0
0
/
а
Выполнив разбиение П = {х, = a +
i
= 0, л ]•
и
взяв С = х;, получим, что Дх* =
* п (Я
b — а
В силу вогнутости функции / , имеем
Достарыңызбен бөлісу: 
