Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| О пределение 1. Последовательность N -> С : м н* гп называется сходящейся, если
3z 6 С Л Ve > О 3m G N : V» > т => |zn — z\ < е. Аналогично последовательность комплексных чисел (z„) сходится к оо, если VJV 3m € N : Vn > т |z„| > N. Последовательность (z„), где zn = х„ + iyn , сходится к точке z = а + ib тогда и только тогда, когда lim х п = a, lim уп — Ь. п —► оо п —*оо Пусть zo — предельная точка множества D С С. О пределение 2 (Гейне). Функция z i-» /(z ), z € D, D С € , имеет предел при z —> zo, если ЗА 6 С Л V(z„) С D\{zo) : lim z„ = zo lim / ( z n) = A. n —*oo h —* oo О пределение 3 (Коши). Функция z t->. /(г ) имеет предел при z —> zo, если ЗА G С Л Ve > 0 35 > 0 : 0 < |z - z0| < 6 =► |/( г ) - А| < е. 133. Показать, что функция , , . _ Г и, если х = ^ , где ш и п — взаимно простые целые числа, 1 ~ | 0 , если х — иррационально, конечна, но не ограничена в каждой точке (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки). < Пусть х = ^ — произвольное рациональное число. Тогда г к = ■ * ^ 1 —* ^ при к —► оо, т. е . попадает в любую окрестность точки х = ^ . А так как / ( г k ) = fcg —► оо при fc —► оо , то функция / не ограничена в любой окрестности точки х . § 7. Предел функции 69 Пусть, далее, ж = а, где а — иррациональное. Тогда существует последовательность рациональных чисел г,- = £*■, г € N, такая, что lim — = cv. При этом lim = + о о . Пот Ч> i —. о о И i - . o o скольку / = ,■ —+■ + оо при г —> сю, а точки последовательности ^^ 7 ^ попадают в любую окрестность точки « , то функция не ограничена. ► 1 3 4 . Если функция / определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте? Привести соответствующие примеры. ■ 4 а) Вообще говоря, нет. Например, функция /(ж ) = 1 ограничена в окрестности любой точки интервала ] 0 , 1 [, но не является ограниченной на этом интервале, так как /( ж п) —*■ + оо при х п = ~ —► 0 , а 0 < х„ < 1 при и ~ 2 , 3 , __ б) Функция ограничена. Для доказательства предположим противное: пусть функция неограниченная. Тогда для любого натурального числа и существует х п 6 [а, 6 ], где [а, 6 ] — сегмент, указанный в условии задачи, такое, что f ( x n) > П. А так как а ^ х„ ^ Ъ (т. е. (ж„) — ограничена), то существует подпоследовательность (**„), (хкп) С (жп), такая, что lim Хкп = с € [о, Ь]. гг—* о о *■' По условию, / локально ограничена в окрестности любой точки, т. е. существуют такие В > О и Е > 0, что |/(* )| < Е, х е ] с - 6 , с+6[. Кроме того, существует такое число N , что к„ > Е при п > N и ж*Л 6 ]с — 6 , с + 6 [, а тогда f ( x k n) > кп > Е. Полученное противоречие доказывает утверждение. ► 1 3 5 . Показать, что функция /(* ) = 1 1 + х" + х 4 ограничена в интервале ] — оо, +схэ[. ◄ Ясно, что f ( x ) > 0 , т. е. функция ограничена снизу. Далее, из неравенства ( 1 — ж 2 ) 2 ^ О следует, что ^ а поскольку 1 + х* ^ 1 , то < 1 + \ = f . Следовательно, 0 < /(ж ) < | , —оо < х < оо. ► 1 3 6 . Показать, что функция . 1 1 f ( x ) — ~ cos ~ X X не ограничена в любой окрестности точки х = 0 , однако не является бесконечно большой при х —► 0 . 4 ◄ Пусть х п — Очевидно, при п —> оо значения х п попадают в любую окрестность точки х = 0. Требуем ое утверждение вытекает из того факта, что lim | / ( х 2п)| = оо , а п — м э о f ( x 2 n -i) = о, и £ N. ► 1 3 7 . Исследовать на ограниченность функцию f ( x ) = In х • sin 2 ^ в интервале ] 0 , е\. • ◄ Так как 0 ^ sin 2 ^ ^ 1 , а функция х >-*■ In ж монотонно возрастающая, то /(ж ) ^ m ax{ 0 , 1 п е } , т. е. / ограничена сверху. Д алее, положим х„ = ~п2+ - . Тогда, начиная с некоторого номера « о , все х п попадают" в интервал ] 0 , е[. При этом / ( х „ ) = In = - I n ( l + (н + ^ )) > ~ ( n + I ) - + при п —► оо , т. е. / не ограничена снизу. ► 1 3 8 . Показать, что функция / , где 70 Гя. 1. Введение в анализ в области 0 ^ х < оо имеет нижнюю грань т = 0 и верхнюю грань М — 1. А Очевидно, 0 < 0 ^ х < оо. Пусть е — произвольное и 0 < е < 1. Тогда Д х ) = - f - < е при 0 < х < — . Следовательно, inf {/(х)} = 0. *+x 1 “ е 0^х<оо Далее, очевидно, < 1 , 0 ^ х < оо. С другой стороны, для указанного ранее е Д х) = Т Т 7 > 1 ~ £ при х > т. е. sup {/(х)} = 1. ► 0^а<оо 139. Функция / определена и монотонно возрастает на сегменте [а, 6]. Чему равны ее точная нижняя и точная верхняя грани на этом сегменте? А Так как / монотонно возрастает на [а, Ь], то /(а ) ^ Д х) ^ ДЬ) Vx 6 [а, Ъ]. Пусть е > 0 — произвольное и такое, что Д а) + е < /(£>)• Тогда существует х' £ [а, Ь] такое, что Д а) < Д х ') < Д а) + е (например, х' = а), т. е. inf (Д х)} = /(а ). a^ar^fa Аналогично, если /(b )—е < /(6), то существует х" £ [а, 6] такое, что /(b )—е < Д х ") ^ ДЬ) (например, х" = Ь). Следовательно, sup {/(х)} = ДЬ). ► 140. Определить колебание функции Д х) = х2, х £ К, на интервалах: а) ]1; 3[; б) ]1,9; 2,1[; в) ]1,99; 2,01[; г) ]1,999; 2,001[. ◄ На каждом из указанных интервалов сужения заданной функции монотонно возрастают и имеют на концах этих интервалов конечные предельные значения, в силу чего являются ограниченными. Следовательно, а) Мо - т о = /(3 - 0) - Д1 + 0) = 9 - 1 = 8; б) Мо - т 0 = /(2,1 - 0) - /(1,9 + 0) = 4,41 - 3,61 = 0,8; в) Мо - т 0 = /(2,01 - 0) - /(1,99 + 0) = 4,0401 - 3,9601 = 0,08; г) Мо - т 0 = /(2,001 - 0) - /(1,999 + 0 ) = 4,004001 - 3,996001 = 0,008. ► 141. Пусть »»[/] и M[f] — соответственно нижняя и верхняя грани функции / на промежутке ]а, Ь[. Доказать, что если Д и Д — функции, определенные на ]а, Ь[, то a) т [ Д + Д] > m[/i] + т [Д ]; б) М[Д + Д] ^ [Д] + М[Д]. А Докажем неравенство а) (неравенство б) доказывается аналогично). Обозначим mi = inf (Д (х)}; m 2 = inf {Д(х)}. Тогда Д (х) ^ mi и Д (х) > т 2, х £ ]а, Ь[. Складывая а < х < 6 а < х < 6 последние неравенства, получаем Д (х) + Д (х) > mi + m2, х £ ]а, 6[, откуда т [ Д + Д] > > «И + т 2 = т [Д ] + т [Д ]. ► 142. Показать, что функция Д х ) = sin —, х £ К \{0}, не имеет предела при х —► 0. х ◄ Требуемое утверждение следует из того, что последовательность xn = ’ 11 ^ ^ > при п —► оо стремится к нулю, a f(x„ ) = (—1)" вовсе не имеет предела. ► 143. С помощью “е—^’’-рассуждений доказать, что lim х2 = 4. Заполнить следующую I-.2 таблицу: € 0,1 0,01 0,001 0,0001 6 ◄ П усть е > 0 — произвольно. Тогда |х 2 - 4| = | (х - 2)2 + 4(х - 2)| < |х - 2|2 + 4|х - 2\ ^ е, как только 0 < [х — 2) < т/4 -f е — 2 = ^ . П оследнее неравенство тем более будет вы полняться, если ■ £ ----- > - - > — ■ £ ■ - = ---- -Г = S (г) > |х - 2|. л / 4 + 1 + 2 2т/ 4 + е 2V4 + 4е + е2 2(2 + е) |