Байланысты: Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s
§ 1. Элементытеории множеств 7 1.3. Булева алгебра.
Пусть А, В и D — произвольные подмножества множества 3 ■ Тогда непосредственно из
определений объединения, пересечения и дополнения вытекают следующие предложения:
V) А и В С. 3 , АС\ В С. J (замкнутость операций объединения и пересечения);
2) A U В = В U А, А П В — В П А (коммутативность операций объединения и пересече
ния);
3) A U (В U D) — (A U В) U D, А П
(В П
D) = (А П
В) П
D (ассоциативность операций
объединения и пересечения);
4) A U (В П D) = (A U В) П (Л U D) (дистрибутивность операции объединения относи
тельно операции пересечения);
А П (В U D) = (А П В) U (А П D) (дистрибутивность операции пересечения относительно
операции объединения);
5) А и А = А Л А = А;
6
) (A U В = В) & (А П В = А); 7 ) A U 0 = A, A D J - A , А П 0 = 0 , A U J = J ; 8
) A U СА = 3 , А П GA = 0 . Если для элементов множества а = {А , В, С, . .. } определены объединение U и пересече-.
ние П, для которых выполняются отношения 1)—
8
), то тройка (tr, и, Л) называется булевой алгеброй. Таким образом, если <т — семейство всех частей множества 3 , то (<г, U, Л) —
булева алгебра.
1.4. Принцип двойственности.
Для произвольных подмножеств А и В множества 3 справедливы равенства
C ( A U В) = С А Г \С В , С ( АЛ В) = С А и С В .
(1)
Свойства, записанные равенствами (1), называются принципом двойственности. Их
можно прочитать следующим образом: дополнение к объединению множеств равно пересече нию их дополнений, а дополнение к пересечению множеств равно объединению их дополнений. Без труда принцип двойственности переносится на произвольное число подмножеств Ам; при
этом записывают
