Сызықтық дифференциалдық теңдеулер
3.4 анықтама VII
(3.3)
І-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады, мұндағы және – үзіліссіз функциялар. (3.3) теңдеуіне белгісіз функция және оның туындысы тек бірінші дәрежеде кіреді.
3.5 анықтама болса, (3.3) І-ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу болады да, VI-шы түрде жазылады
. (3.4)
Егер болса, онда (3.3) І-ретті сызықтық біртекті емес дифферен-циалдық теңдеу болады.
(3.4) теңдеуінің шешімін табамыз. Ол үшін алдымен (3.4)-ті айнымалы-лары ажыратылатын теңдеуге келтіреміз
.
Енді айнымалыларын ажыратып алып, алынған теңдеуді интегралдаймыз
, .
Сонымен,
. (3.5)
(3.5) функциясы – (3.4)-тің жалпы шешімі.
(3.3) І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шеші-мін табу алгоритмін келтірейік. (3.3)-ті шешу үшін еркін тұрақтыны вариация-лау әдісін пайдаланамыз. Оның мағынасы мынада:
а) алдымен сәйкес (3.4) түріндегі теңдеудің жалпы шешімін, яғни (3.5) түріндегі функцияны табамыз;
б) (3.5)-гі -ны -тен тәуелді белгісіз функциясы деп есептейміз. Енді (3.3)-тің жалпы шешімін
(3.6)
түрінде іздейміз.
Біздің ұйғаруымыз бойынша (3.6) (3.3)-тің шешімі болған соң, (3.6)-ны (3.3)-ке қойсақ, тепе-теңдік аламыз
осыдан функциясын табамыз
.
үшін табылған өрнекті (3.6)-ға қоямыз да, (3.3) дифференциалдық тең-деуінің жалпы шешімін табамыз: , оны
(3.7)
түрінде жазамыз.
(3.7) – (3.3)-тің жалпы шешімі, яғни (3.7) – І-ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі.
Достарыңызбен бөлісу: |
