Үшбұрыштың биіктігі, биссектрисасы және медианасы.
Үшбұрыштың берілген төбесінен түсірілген биіктігі деп осы төбеден
үшбүрыштық қарсы жатқан қабырғасын қамтитын түзуге жүргізілген перпендикулярды айтады.
12-суреттен сендер екі үшбұрышты көріп отырсыңдар,
олардың В және В1 төбелерінен биіктіктер жүргізілген. 12, а-суретте биіктіктің табаны үшбұрыштың қабырғасында жатыр, ал 12, б-суретте үшбұрыш қабырғасының созындысында жатыр.
Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген биссектрисасы. деп үшбұрыш бұрышының биссектрисасының осы төбені қарсы жатқан қабырғадағы нүктемен қосатын кесіндісін айтады (13, а-сурет).
Үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген медианасы деп осы төбені қарсы жатқан қабырғаның ортасымен қосатын кесіндіні айтады (13, б-сурет).
Тең бүйірлі үшбұрыштың медианасының катеті
Теорема 6 (тең бүйірлі үшбұрыштың мединасының қасиеті). Тең бүйірлі үшбүрыштың табанына жүргізілген медианасы оның биссектрисасы да, биіктігі де болып табылады.
Дәлелдеу. АВС - табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбұрыш, ал СD - оның табанына жүргізілген медианасы болсын (14-сурет).
Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі бойынша САD және СВD үшбұрыштары тең. (Оларда АС=ВС, өйткені АВС үшбұрышы тең бүйірлі. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштар болғандықтан, САD=CВD, АD және ВD қабырғалары тең, өйткені D нүктесі - АВ кесіндісінің ортасы).
Үшбұрыштардың теңдігінен келесі бұрыштардың теңдігі шығады: АСD= ВСD, АDС= ВDС. АСD және ВСD бұрыштары тең болғандықтан, СD биссектриса болады. АDС және ВDС бұрыштары сыбайлас және тең болғандықтан, олар - тік бұрыштар, сондықтан СD үшбұрыштың биіктігі болады. Теорема дәлелденді.
Есеп 2. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына қарсы жатқан төбесінен жүргізілген биссектрисасы оның медианасы да, биіктігі де болып табылатынын дәлелдеу керек.
Шешуі. АВС - табаны АВ болатын тең бүйірлі үшбүрыш, ал СD - оның биссектрисасы болсын (15-сурет). АСD және BСD үшбұрыштары бірінші белгі бойынша тең. Олардың СD қабырғасы ортақ, АС = ВС, өйткені олар тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғалары, ал С төбесіндегі бұрыштары тең, өйткені СD - биссектриса. Үшбұрыштардың теңдігінен АВ=ВD екені шығады. Демек,
СВ - АВС үшбұрышының медианасы. Ал тең бүйірлі үшбұрыштың медианасының қасиеті бойынша СD биіктік те болып табылады.
Достарыңызбен бөлісу: |
