Үшбұрыштарды шешу деп, үшбұрыштың белгілі қабырғалары мен бұрыштарына сүйеніп белгісіз қабырғалары мен бұрыштарын табуды айтамыз.
Өткен параграфта біз бірнеше тік бұрышты үшбұрыштарды Пифагор теоремасын қолданып шештік. Бірақ ол үшбұрыштың тек қабырғаларын ғана байланыстырып тұр. Енді тік бұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарын да байланыстыратын теңдіктерді қарастырамыз.
ABC - тік бұрышты үшбұрыш болсын
және оның С бұрышы тік, aл A төбесіндегі
сүйір бұрыш a - ға тең болсын (31-сурет).
Анықтама бойынша
(1)
яғни сos a -деп a бұрышына іргелес жатқан катеттің гипотенузаға қатынасын айтқанбыз.
Ал а бұрышының синусы деп (белгіленуі sin а) осы бұрышқа қарсы жатқан катеттің гипотенузаға қатынасын (2)
айтады.
абұрышыныц тангенсі деп (белгіленуі tga) осы бұрышқа қарсы жатқан катеттің іргелес жатқан катетке қатынасын (3)
айтамыз. (1), (2), (3) - терден екені көрініп тұр.
Бұрыштың синусы мен тангенсі де, косинусы сияқты, тек бұрыштың шамасына ғана тәуелді болады. (1), (2), (3) теңдіктерді және Пифагор теоремасын білсек кез -келген тік бұрышты үшбұрышты шеше аламыз. Тік бұрышты үшбұрыштарды шешудің мынандай мүмкін жағдайлары бар:
1) гипотенузасы мен сүйір бұрышы бойынша;
2) катеті мен сүйір бұрышы бойынша;
3) гипотинузасы мен катеті бойынша;
4) катеттері бойынша.
Бұл төрт түрлі есептің шешімдері жалпы жағдай үшін келесі кестеде келтірілген:
Шарты Шешімі
В =90°- a, |ВС|= csina, |АС| =ccosa В=90°- а, |AB|=a:sina, |AC| =|AB|cosa sinA=a:c, В=90°-А, b = ccosA
|АВ|=, sinA = a:|AB|, B=90°-A
Еесеп. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы с және сүйір бұрышы а берілген. Гипотенузаға түсірілген биіктікті табыңдар.
Шешуі (32 - сурет). Үшбұрыштардан кестені пайдалансақ:
|AC| = |AB| • cos a = c • cos a , |АD| = |AC| • cosa = c • cos2a, |BD| = |BC| • sin a = c • sin2a., |CD| = |АС| • sin a = с • sin a • cos a |CD| = = .
Тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышының төбесінен түсірілген биіктігі катеттердің гипотенузадағы проекцияларының пропорционал ортасы болады. «Пропорционал орта» деген атау х = саны а:х = b:х Пропорциясының орта мүшесі деп аталатындығына ұқсас қабылданған.
