Математикалық сөйлемдер «Математика»
жүктеу/скачать 23,52 Kb.
|
|
Математикалық сөйлемдер «Математика» гректің «ғылым, ілім» сөзінен алынған. Математика – жүйеленген, орнықты және мазмұны ғасырлар бойы өзгеріске ұшырамаған ғылым. Мысалы, «Евклид геометриясы», «Пифагор теоремасы», «Пифагор сандары», «Архимед аксиомасы» т.т. математиканың тарихи қалыптасуын сипаттайды және оның ерекше бір көрінісі болып табылады. Математиканың заңдары мен ережелері табиғаттан, өмірден алынған және бүкіл адамзатқа ортақ. Математика екі жағы бар біртұтас ғылым. Біріншісі, санауға, есептеуге, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге, функцияларды зерттеуге, геометриялық фигуралардың қасиеттерін, ауданын, көлемін есептеуге, формулаларды қорытып шығаруға арналған. Математиканың бұл жағын әдетте «есептеу математикасы» деп атайды. Математиканың екінші жағы «есептеу математикасына» қажетті басқа сұрауларға жауап береді. Олар: математика қалай құрылған ғылым; анықтама, аксиома, теорема, дәлелдеу, салдар деген не; есепті шығару үшін әрі қажетті және әрі жеткілікті шарттар деген не; есептің (сұраудың) бір-ақ шешуі (жауабы) болуы үшін қандай ал-ғашқы шарттар қажет; басқа ғылым салаларының бәрінде қолданылатын «математикалық модельдеу» деген не; алгоритм деген не; математикалық методтар деген не; шешуі жоқ есептер бола ма т.т. Математикалық білімнің негізгі мақсаты – заңға негізделген дедуктивтік ой қорытындылауды қалыптастыру. Әдетте математиканың салаларының барлығы алдын ала берілген аксиомаларға негізделіп құрылады. Сондықтан математиканы аксиоматикалық, дедуктивтік немесе алдын ала берілген жалпы пікірлердің жеке пікірлерге ауысуы негізінде құрылған деп атаймыз. Ал, «аксиома» гректің «пікір» деген ұғымын білдіретін термин. Ол басқа пікірлердің-теореманың дұрыстығын дәлелдеу үшін қолданылатын «заң», «негізгі қасиет» деген мағынаны береді. Математиканың негізгі «құрылыс материалы» – объектісі не екендігі айтылмайтын абстракты – «сан», «нүкте», «жазықтық» сияқты ұғымдар. Олардың (объектілердің) арақатынасын көрсететін «тең», «тиісті», «рет», «арақашықтық», «қозғалыс» (физикадағы жылдамдық, үдеу, күш ұғымдарымен, байланысты қозғалыс емес) сияқты ұғымдары қолданылады. Енді осы объектілер мен олардың арақатынастарының негізгі қасиеттерін көрсететін, өмірден алынған тиянақты ойды білдіретін сөйлемдер қабылданады. Бұлар аксиома деп аталады. Бұл аксиомалар (заңдар) саны шектеулі болады. Математика салаларының аксиомалар жүйесіне үш талап қойылады: қайшылықсыз, тәуелсіз, толық болуы. 1. Егер жүйенің аксиомаларынан логикалық жолмен бір-біріне қарсы пікір шығара алмайтын болсақ, жүйені қайшылықсыз дейміз. 2.Егер жүйенің аксиомаларының бірі басқаларының салдары болмаса жүйені тәуелсіз дейміз. 3.Егер жүйені бұрынғы аксиомаларға қайшы келмейтін аксиомамен толықтыруға болмаса, жүйені толық дейміз. Кез-келген осы салаларға тиісті математикалық пікірлердің (теоремалардың) дұрыстығын, шындығын осы заңдарға негіздеп қана көрсетуіміз керек. Математикалық сөйлемдер аксиома, анықтама, теорема, формула, ереже, заң тағы да сол сияқты атаулармен аталады. Математиканы репродуктивтік (айтқанды немесе оқығанды қайталау) әдісімен үйретіп жүрміз. Бұл тұрғыдан қарастырғанда оқушылардан математикалық табиғи тілде тұжырымдау талап етілмейді. Біздің алға қойған мақсатымыз оқушыларды ойлауға үйрету. Математикалық есептеменің маңызды бөлігін табиғи тілде оқушылардың өздеріне тұжырымдату кезінде тіл грамматикасы мен синтаксисінің заңдары пайдаланып бірнеше сөйлемдер біріктіріледі, жалпыланады, редакцияланады. Осы уақытқа дейін редакциялану проблемасы математиканы оқыту әдістемесінде қарастырмай жүр. Информатика түрғысынан сөз обьектілерінің іс-қимылдардың кодалары, ал болып жатқан құбылыстарды сипаттау кезінде бұл кодалар бір-бірімен тіл грамматикасы арқылы байланыстырады. Осы грамматиканы білмеген адам ойын басқаға жеткізе алмайды. Онда оның білімі өзіне де басқаға да пайдасы жоқ. Осыған орай керекті жерінде математика мен тіл грамматикасындагы зандылықтарды байланыстырып, ашық айтқанда, математикалық өрнектер мен тұжырымдалған ойларды табиғи тілге және керісінше аударып отырудың оқушылардың абстракциялық ойларын арттыруға бағытталған тура жол деп есептейміз. Бұл аударманы тіл проблемасын шешу үшін емес оқушылардың математикалық білімін қалыптастыруға тигізетін пайдасы мол болғандықтан да ұсынып отырамыз. Оқушылардың тілі де, ойы да жетілмеген. Осыны ескеріп, алғашқы теоремалардың, анықтамалардың, тұжырымдамаларын бірден бере салмай лабораториялық жұмыс ұйымдастыру арқылы немесс оқыту ойындары арқылы сөйлемдердің мағынасын ашқызып, оқушының өздеріне математика тілінде жазылған ойларды тұжырымдатқызу керек. Ол үшін оқушы математикалық сөйлемдердің құрылымдары және бұлардың арасында қандай айырмашылық болатындығы туралы хабардар болуға тиіс. Анықтама құрылымы: анықтама құрылымы екі бөліктен тұрады. Бірінші бөлігінде шарты деп аталатын тәуелсіз сөйлем, яғни фигураның (обьектінің) қасиеті пайымдалады да, екінші бөлігінде фигураға (обьектіге) атау беріледі. Теорема құрылымы туралы оқушыларға күдік туғызатын мәселелер баршылық. Тұжырымдалған математикалық сөйлемде оның мағынасы толық ашылуы керек. Оқулықтарда теореманы «геометриялық фигуралардың қасиетін өрнектейтін және дәлеледейтін сөйлем» делінген. Бұл анықтамада теоремаға қатысты ой тұйықталмаған. Сондықтан төмендегідей ойлар туындап жатыр. Олар дәлелденетін математикалық сөйлемдердің барлығын математикалық теорема деп неге айтамыз? Қандай теореманы фигураның қасиеті, ол қандай теореманы оның белгісі деп айтады. Осы сияқты құрылымға қатысты оқушылардың мазалайтын сұрақтар математикада жеткілікті бола тұрса да әдіскерлер мен оқулық иегерлерінің үндері шықпай жатыр. Мәселелерді ашық-айқын бермеу түсінбеушілікті туғызады. Түсінбеушілік болғанда білім қалыптаспайды. Ойлауға үйрету әдістемесінің негізгі мақсаты көмескі ойды туғызбау. Теоремаға ұқсас есептерді теорема деп айтпайтынымыз олар жаттығу есептерінде сирек пайдаланылады. Есеп шығаруға көзделіп оларға аксиома, анықтама, теорема, формула тағы сол сияқты арнайы атаулар беріліп отыр деген түсініктеме берудің пайдасы барлығын өз тәжірибемізден байқадық. Оқушыныц жадына жеткізу әдісі теореманы өзіне тұжырымдатқызу. Тұжырымдау кезінде сөйлемдерді біріктіру, қажетті редакциялық түзетулер жасау сияқты процесстер оның ой өрісін дамытуға ықпал етеді. Теореманыц құрылымы туралы толық мағлұмат болғанда ғана ол теореманы өзі тұжырымдай алады. Теорема математикалық сөйлемдерден құрастырылады. Математикалық сөйлемдерде обьектілердің арасындағы немесе олардың арасындағы байланыс және солардан жасалатын қорытынды пайымдалады. Сонымен теоремага мынадай анықтама беруге болады: «Тәуелсіз және тәуелді математикалық сөйлемдерден құрастырылған жиі пайдаланылатын күрделі сойлемді теорема дейді. Тәуелсіз сөйлемді пайдаланатын күрделі сөйлемді теорема дейді. сойлемді пайдаланатын күрделі сөйлемді теорема дейді. Тәуелсіз сөйлемді теореманың шарты, ал тәуелді сөйлемді оның қорытындысы немесе талабы дейді.» Теоремадағы сөйлемдердің әрбіреуінің обьектілері әр түрлі де, бірдей болуы да мүмкін. Бұлардың бір-біріне тәуелділігіне, тәуелсіздігіне байланысты теоремаларды топқа бөлуге және құрылымдарындағы сөйлемдердің саны туралы да тиянақты пікір айтуға болады. Егер екі сөйлемнің обьектілері әр түрлі болса, онда теорема екі сөйлем арқылы тұжырымдалады. Мысалы, “егер жазықтық параллель екі түзудін біріне перпендикуляр болса, онда ол екінші түзуге де перпендикуляр болады” деген теорема шартының обьектілері жазықтық және екінші түзу. Түзулер әр түрлі болуына байланысты шарт пен қортының обьектілері де әр түрлі дейміз. Дұрыс түсіну түрғысынан қарастырғанда мұндай сөйлемдерде алғашқы кезде. «Егер ..., онда....» түрінде тұжырымдап кейінде қысқартып былай тұжырымдатқызуға болады. «Параллель екі түзудің біріне перпендикуляр жазықтық, екіншісіне де перпендикуляр». Егер екі сөйлемніц обьектілері бірдей болса, онда теорема бір сөйлем арқылы тұжырымдалады. Мысалы, «Сыбайлас бұрыштардың қосындысы 180º-қа тең» - деген теореманың шартының обьектісі бұрыштар, ал қорытындысынын обьектісі де сыбайлас бұрыштар. Екі сөйлемнен құрастырылған теореманың кез-келген тәуелсіз сөйлем үшін қабылдауға болады, яғни қорытынды мен шарттың орындарын ауыстырып жаза аламыз. Онда соңғы теорема алғашқыға кері деп аталады. Мысалы, «егер төртбұрыш параллелограмм болса, онда оның диагоналдары қиылысу нүктелерінде қақ бөлінеді (қорытынды)» - деген теореманың шарты мен қорытындысының орындарын ауыстырып «Төртбұрыштардың диагоналдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінсе, онда ол параллелограмм болады» деген біріншіге кері теорема аламыз. Теореманың екі бөлігін алмастыру арқылы әрқашанда кері теорема алынады деген ой оқушыға қалыптасуы мүмкін. Осындай теріс ойды оқушыға қалыптастырмау үшін сөйлем құрылымына талдау жасатқызу керек. Мысалы: Сыбайлас бұрыштар арқылы сипатталатын үш түзудің параллельдік белгісін алдымен математика тілінде жаздырып <1=<2 1.а||в <2=<3 2.в||с Шарт пен қорытындысының орындарын ауыстырып кері теорема аламыз. 1.а||в <1=<2 2.в||с <2=<3 (Т2) - ның қорытындысының екінші бұрышты қайталандырмай жазсақ, онда мына теорема аламыз. 1.а||в 2.в||с => <1=<3 Түрлендіру (ТЗ) - ші (Т2) - ші теоремага кері бола алмайды. Ендеше ол (Т1 ) - шіге де кері теорема бола алмайды (ТЗ) – шінің қорытындысын түзулердіц орналасуы арқылы жазсак, онда а||в в||с => а||в Түйетіні: қорытынды мен шарттардын орындарын ауыстырсақ, онда бұл екеуі бір-біріне кері теоремалар бола алады. Ал бұлардың біреуінің қорытындысын түрлендіріп құрылымын өзгертсек, онда түрленген мен түрленбеген теоремалар өзара кері теоремалар бола алмайды. Аксиома деп ешбір дәлелдеусіз қабылданатын сөйлемді айтады. Ғылыми теорияны құрғанда сүйенетін бастапқы негізі – дәлелдеусіз алынған сөйлемдер жүйесі, яғни, аксиомалар. Ғылыми теорияның басқа тұжырымдары (теоремалары) осы аксиомаларға сүйеніп дәлелденеді. Аксиомалар және алғашқы ұғымдар математикалық теорияның негізгі фундаментін құрайды. Математикалық теориялардың негізі болатын аксиомаларды ғылыми тұрғыда жан-жақты зерттеу ХІХ ғасырдың соңы мен ХХ ғасырдың басында қолға алынды. Бұл кезеңде бірсыпыра ғалымдар математикалық теориялардың тізімін жасаумен шұғылданады. Белгілі бір ғылымның негізін қалайтын барлық аксиомалар тобын аксиомалар жүйесі дейді. Мәселен, геометрияның барынша толық әрі қарапайым аксиомалар жүйесін жасағандардың бірі атақты неміс математигі Д. Гильберт еді. Д. Гильберт геометриялық жүйеде алғашқы үш (нүкте, түзу, жазықтық) ұғымды және алғашқы үш (жатады, арасында, конгруэнтті) қатынасты қарастырады. Г. Вейль бүкіл мектеп геометриясын векторлық кеңістік идеясы негізінде құруды ұсынды. А.Н. Колмогоров бүгінгі таңдағы мектеп геометриясының аксиомалар жүйесін жасады. Аксиомалар жүйесіне мынадай талаптар қойылады: Аксиомалар жүйесі қайшылықсыз болуы тиіс. Мұның мәні жүйедегі аксиомалар мен сол аксиомалардың барлық логикалық салдары бірін–бірі теріске шығармауы керек. Аксиомалар жүйесі тәуелсіз болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі кезкелген аксиома басқаларынан шықпауы керек. Аксиомалар жүйесі толық болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі аксиомалар теорияның негізін қалау үшін жеткілікті болуы керек. Ұзын саны шектеулі аксиомалардан теорияны құру әдісін аксиоматикалық әдіс деп, ал теорияны аксиоматикалық теория деп атайды. Бұл теорияның басқа қағидалары оның негізін қалаған аксиомалардың логикалық салдарлары болып табылады. Математика ғылымында геометрияны, арифметиканы, ықтималдықтар теориясын және т.б. құрудың аксиоматикалық әдістері белгілі. Постулат дегеніміз – белгілі бір ұғым немесе ұғымдардың арасындағы белгілі бір қатынас қанағаттандыруға тиісті талаптарды сипаттайтын математикалық сөйлем. Сондықтан постулаттың өзі белгілі бір ұғымның немесе ұғымдар жүйесі анықтамаларының бөлігі болып табылады. Мысалы, «жазықтықтағы параллель түзулер» ұғымы екі постулатпен анықталады. Айталық, а және в түзулері өзара параллель болуы үшін мына қасиеттерді қанағаттандыруы тиіс. а) а және в түзулері бір жазықтықта жатуы тиіс, яғни ав. б) екі түзу бір – бірімен беттесуі немесе мүлдем ортақ нүктелері болмауы тиіс, яғни а в а в Теорема деп ақиқаттығы дәлелдеу арқылы тағайындалатын математикалық сөйлемді айтады. Әрбір теорема өзінің шартын (Р) және қорытындысын (Q) қамтиды. Мәселен, «Вертикаль бұрыштар тең» теоремасында «Вертикаль бұрыштар» - шарты, ал «тең» қорытындысы. Осы теоремаға «егер ... , онда ... » тіркестерін пайдаланып, тұжырымын басқаша, келісімді (силлогизм) түрде беруге болады, яғни «Егер бұрыштар вертикаль болса, онда олар тең болады». Бұл тұжырымның ерекшелігі, теореманың шарты (егер...) мен қорытындысы (онда ...) бір–бірінен ерекшеленіп тұрады. Кейбір жағдайларда теореманы «Егер..., онда...» тіркестерінсіз тұжырымдауға болады. Математиканы оқытудың саналық және белсенділік қағидасының негізгі мақсаттарының бірі саналы және белсенді тұлға қалыптастыру. Оқыту үрдісінде алған білімдерін саналы қабылдап, мағынасын түсініп, қолдана білулерін үйрету керек. Оқыту үрдісіндегі саналылық пен белсенділік оқу материалының түсінікті әрі тиянақты болуын, математикалық ұғымдар мен сөйлемдердің мәнін түсінуді талап етеді. Сондықтан оқушылар сабақ үстінде барынша белсенді де саналы және өздігінен жұмыс істегендей, берілген тапсырманы өздерінше талдай алатындай етіп ұйымдастыру керек. Оқушылардың саналы да белсенділігі жеке басының математикаға бейімділігіне, мұғалімнің педагогикалық шеберлігіне және т.б., факторларға байланысты. Оқушылардың белсенділігін арттырудың бірі - өз бетінше сұрақ қоя білуге, талдай білуге үйрету. Мысалы, белгілі бір есепті шешкенде қандай теореманы, қандай қасиетті, формулаларды пайдаланғанын, неге пайдаланғанын білуі керек. Математиканы оқыту үрдісінде жаңа тақырыпты түсіндіруде қызықтыратындай ұтымды әдіс қолданып, білімді өз бетімен алатындай, өзіне жаңалық ашатындай етіп сабақты ұйымдастыру керек. Белсенділік қағидасын жүзеге асыру үшін жаңа тақырыпты өткен материалмен байланыстыру, өтіліп отыратын материалдың теориялық және тәжірибелік мағынасын айқындау, білім жүйесінде алатын орнын көрсету. Білімді, өнерді, ақыл-ойды, іскерлік пен дағдыны меңгерудің қажеттілігін түсініп, талғамына қарай таңдап тауып, игеруді өзі ұйымдастыру сияқты іс-қимылды баланың орындауын П.М. Эрдниевтің «Келешек тиімді математика оқулығы түсіндірілуі жүйеленген теориялар мен жүйеленген жаттығулар негізінде ғана құрылады» деген пікіріне сүйеніп оқу материалы мен теорияны қолдану әдісін, егжей-тегжейлі бірнеше санмен баяндайтын жаттығулардың кестесі түрінде жүйелеуді жөн көрдік. П.М. Эрдниевтің тәжірибесінде есептің, санның, сызбаның, графиктің кестесі (матрица) жан-жақты қолданылған. Материалды кестелерге жүйелеу білімді бір мезгілде, бір орында суретпен, сөзбен, өрнекпен баяндау мүмкіндігін береді. Мұның өзі меңгерілген білімнің беріктігін қамтамасыз етеді. Мате-матикалық білімнің негізін қалайтын сандарға амалдарды орындауға арналған кестелердің кейбіреулерінің тақырыптарын келтіреміз. Олар: - сандарды қосу және азайту кестесі; - сандарды разрядтық бірліктерден құру кестесі; - сандарды көбейту кестесі; - саңдарды бөлу кестесі; - сандарды жай көбейткіштерге жіктеу кестесі. Оқу материалының мазмұнын қайталауда санның, өрнектің, сөйлемнің, аралық бет орын ауыстырғанда өзгермейтін мүшелері сыртқы қабатқа, өзгеретін мүшелері аралық бетке таңбамен, сөзбен, белгімен, белгілеумен түсірілді. Кесте-лердегі сан таңбасының дыбысталуы, өр-нектің ой тұжырымымен, амалдың суретпен үйлестірілуі үздіксіздіктің тұтас-тығын сақтауға ұмтылу еді. жүктеу/скачать 23,52 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|