Математиканы есептер арқылы оқыту әдістемесі

Тапсырма №7

1. Математиканы оқытудағы есептердің мәні.

2. Математиканы оқыту үрдісіндегі есептердің ролі.

3. Математика есептерін шешудің жалпы әдістері.

4. Математикалық есептерді шешудің алгоритмдік әдісі.

5. Математиканы оқыту процесінде алгоритмдік әдіспен есептерді шешуге мысалдар келтіріңіз

Математика ғылым ретінде есептен пайда болған және есеп арқылы дамиды. Тарихқа жүгінсек, ең көне математикалық ескерткіштер Ринд және Мәскеу папирустарында есептер қарастылып, оларды шығару жолдары берілген. Есеп шығару мұқтаждығынан мүмкіншіліктер теориясы, ойындар теориясы, информатика теориясы т.б. дамыды. Мектеп математикасын есепсіз құру мүмкін емес.

Ресейдегі алғанқы «Атифметика» авторы Л.Ф.Магницкий арифметрикалық төрт амалдар қолдануға арналған есептер жүйесін құрастырған. «Мақсатты түрде құрылған есептер әдістемесін» ұсынушы атақты педагог-математик С.И.Шорох-Троцкий үйдің «барлық төрт бұрышына есеп қойылу керек» деген. Осы кезеңдегі көрнекті әдістер-ғылым П.М.Эрдниев: «Барлық әдістеме есеп шығару әдістемесіне шоғырлану керек»,-дейді.

Математикалық есеп оқушылардың ұғымдардың, теорияны және математика әдістерін меңгерудің тиімді де, айырбасталмайтын құралы болып табылады. Оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытуда, оларды тәрбиелеуде, біліктері мен дағдыларының көрсетуде есептің алатын орны өте зор.

Математиканы оқытудағы басты мақсаттарға жетуге есеп-басты қызметші болып табылады. Сондықтан математика сабақтарының жартысынан көп уақыты есеп шығаруға арналады. Әрбір мектеп бітіруші оқушы орты есеппен 15000-дай есеп шығарады екен. Ал солардың көпшілігі жоғары және арнаулы орта оқу орындарына түсу емтихандарында математикадан берілген тестік тапсырмаларды оқытуда есеп шығаруға көңіл аз бөлініп отырғандыңының дәлелі.

Есептің негізгі міндеттері: оқыту, тәрбиелеу, дамыту және бақылау болып табылады. Барлық есептер оқыту міндетін орындайды. Басқаша айтқанда, кез келген есепті шығарғанда оқушы математикалық білім алады, шығару біліктілігі қалыптасады, дағдыға ие болады, яғни математикалық білім денгейі жоғарылайды. Көбінесе әр есп өзінің мазмұны арқылы тәрбиелік міндетін атқарады. Мысалы, қоғам дамуының әр түрлі кезеңдеріне байланысты есеп мазмұны да өзгеріп отырады. Бір кезеңдерде есептер жинағы көпестердің сауда-саттығын, арзанға сатып алу, керісінше қымбатқа сату, құмарлық ойындарда ұту т.с.с. мазмұнда болды. Қазіргі оқулықтарда есеп мазмұны оқушылардың жоғары моральдық қасиеттерін қалыптастыруға, ғылыми көзқарастарын дамытуға, отаншылдық рухта тәрбиелеуге негізделген. Оқушыларды есеп мазмұны арқылы ғана тәрбиелеп қоймайды, оларды есеп шығаруға үйретуде болып саналады. Есеп шығару оқушылардың сөйлеу мәдениетіне, мінез-құлқының қалыптасуына, табандылыққа, шыдамдылыққа, бастаған істі аяғына дейін жеткізу, қиындықты жеңе білу сияқты қасиеттерінің тәрбиеленуіне ықпалын тигізетіні аян.

Есеп оқушылардың логикалық ойлау, кеңістікті елестету, жеке бас қабілеттерін дамытуға бірден-бір себепші болатын басты құрал болып табылады. Оқушылардың білімін, біліктілігін және дағдысын анықтауды міндеттері де көбінесе есепке жүктеледі.

Есеп шығару дегеніміз не? Есеп түрлері.

Есеп шығару- ерекше жұмыс, дәлірек айтсақ ой жұмысы. Ал кез келген жұмысты атқару үшін, оның неден тұратыны және оны орындау үшін қандай құрал, әдіс керек екендігін алдын ала анықтап алу қажет. Кез келген есеп шарттардан және талаптардан құралады.

Есеп: Тікбұрышты үшбұрыштың қатеті 5 м-ге тең, ал оның гипотенузадағы проекциясы 3 м. Гипотенузаны және екінші катетті тап. Есеп шарттарын былай бөліп көрсетуге болады.

а) Тікбұрышты үшбұрыш; ә) бір ктеті 5 м-ге тең; б) ьелгілі катеттің гипотенузадағы проекциясы 3 м-ге тең. Есеп талабы: а) гипотенузасын және; ә) екінші катетті табу керек. Есеп шартында ұғымдар, қатыстар, теориялар қамтылады. Есеп талабы «дәлелде», «есепте», «сал», «зертте», «қанша болады» т.с.с. сөздермен айтылады. Есеп шығару дегеніміз не? Мысалдар қарастырайық:

а)  (1)

көпмүшелігін көбейткіштерге жікте. Шығару:

Қосудың ауыстырымдылық және терімділік заңдары негізінде берілген (1) көпмүшелігін былай жазуға болады:

 (2)

Орта көбейткішті жақша алдына ережесі бойынша (2)-ні басқаша жазсақ:

Осы ережені тағы бір қолдансақ, (3)-ден

Қысқаша көбейту формуласын пайдалансақ

Сонымен 

Есеп талабына жауап қойылады., есеп шығарылады.

Ә) үшбұрыш қабырғалары 12,14,15 болса, оған сырттай сызылған шеңбердің радиусын тап.

Шығару: 1) Герон формуласы бойынша

2)  формуласы бойынша

Сан мәндерін орнына қойсақ

Көрсетілген есептерді шығару кезінде бұрыннан белгілі қандай да болмасын заңдылықтарды есеп шартына қолдана отырып, есептің талабына жауап ізделініп отыр. Яғни, есеп шығару дегеніміз- математиканың жалпы заңдылықтарын ( анықтамалар, аксиомалар, теоремалар, заңдар, формулалар), есеп шартына немесе оның салдарына белгілі бір ретпен қолдана отырып, есеп талабына жауап беру болып табылады. Сонымен есеп шығару, оның шартына белгілі бір математикалық ережелерді сәйкес түрде қолдана отырып, талабына қарай жылжитын ой қозғалысы. Есеп қарастылатынын объетілеріне байланысты- практикалық және математикалық болып екіге бөлінеді. Яғни есепте қарастырылатын объетінің бір нақты шын зат болатын болса, ол практикалық есеп. Мысалы: Жер радиусы 6370 км, ал одан 4 км жоғары биіктікте ұшып бара жатқан тікұшақтан қаншалықты алыс жер көруге болады? Есепте қарастырылатын объетілер таза математикалық болса, ол математикалық есеп. Мысалы, М нүктесінен жүргізілген қиюшы шеңберді А және В нүктелерінде қияды, сол нүктеден жүргізілген жанама шеңберді С нүктесіне жанайды. МС болатындығын дәлелде.

Теорияға байланысты стандартты және стандартты емес есеп түрлері белгілі. Дайын ережелердің көмегімен шығарылатын есеп стандарттық есеп делінеді де, ал шығару жолдары дайын ережелер арқылы табыла қоймайтын есеп- стандарттық емес есеп болады. Мысалы, 1. Егер болса, арифметикалық прогрессияның алғашқы алты мүшесін жаз (стандартты есеп). 2. Арифметикалық прогрессияның төртінші мүшесі 4-ке тең. Прогрессия айырымының қандай мәнінде оның алғашқы үш мүшесінің қос-қостан алған көбейтінділерінің қосындысы ең кіші мәнге ие болады (стандартты емес)? Есеп талабына қарай: а) есептеу, ә) дәлелдеу, б) зерттеу, в) салу есептеріне бөлінеді. Есептеуге арналған есептерге: өрнек мәнін табу, функцияның мәнін есептеу, кесіндінің ұзындығын, фигураның ауданын табу, бұрыш шамасын анықтау т.с.с. жатадыү

Қандай да болмасын ұйғарымның ақиқаттылығына көз жеткізу немесе ұйғарымның жалғандылықтын тексеру не белгілі бір құбылыстың дұрыстығын түсіндіру- дәлелдеу есептері.

Теоремалардың барлығын да дәлелдеу есептеріне жатқызуға болады. «2¹⁷+1 саны жай сан ба, құрама сан ба?»

Зерттеу көптеген есептер шығару кезінде кездеседі: нүктелердің геометриялық орны, теңдеулер мен теңсіздіктердің шешім сандарының қаншалықты болады т.с.с.

Белгілі бір құралдар жәрдемімен берілген шарттарды қанағаттандыратын фигуралар салу-салу есептерін құрайды. Есеп шығаруға кіріспес бұрын оқушыларды есеп түрін анықтап алуға үйрету-басты талаптардың бірі болып табылады.

Өзінің алға қойған дидактикалық мақсаттарына қарай есептерді үш түрге бөлуге болады.

танымдық есептер: бұлар арқылы жаңа білім алынады;

машықтану есептері: бұл арқылы орнықты білім дағдылары қалыптасады;

шығармашылық ойлауды қажет ететін дамыту есептері. Таным есептерін жаңа материялдар өтуде, оқытудың проблемелық және эвристикалық әдістерін қолдануға шығару керек. Бұл дидактика талаптарына сай келеді, сондықтан математиканы оқып-үйрену барысында кеңінен қолданылады. Алайда мектеп математикасында ең көп тараған есеп түрлері жаттығу есептері болып табылады., олар математикалық білімдерді қолдануда сапалы және берік дағдылар қалыптастыра отырып, математикалық теорияларды саналы түрде меңгеруге ықпал етеді.

Жаттығу және танымдық есептерді шығарумен шектелу, оқушылардың эвристикалық, шығармашылық ойлауын дамытуды толық қамтамасыз ете алмайды. Сондықтан бұл мақсатты жүзеге асыруға математикалық, логикалық, интуициялық, тапқырлық т.б. қабілеттер араласатын арнайы іріктелген есептер шығарып отырудың маңызы аса зор.

Шешу кезінде қандай ойлау түрінің басым болуына байланысты есептерді алгоритмдік, жартылай алгоритмдік және эвристикалық деп шартты түрде үшке бөлуге болады. Танымдық есептер негізінен жартылай алгоритмдік, дамытушы-эвристикалық есептерге жатады. Формула немесе ереже бойынша шығарылатын есептер алгоритмдік және жартылай алгоритмдік болып келеді.

Есеп шғаруға төмендегідей талаптар қойылады:

А) Қатесіз шығару; ә) негіздеу (дәлелдеу); б) толық шығару; в) мүмкіндігінше тиімді жолмен шығару; г) есепті қаттау.

а) Есеп қатесіз шығарылу керек. Бұл негізгі талап. Оқушылар есеп шығару кезхінде алгоритмдік, логикалық, сызбалық, терминологиялық, шындықты бұрмалау сияқты қателер жіберуі мүмкін. Енді оқушылар жиі жіберетін қателіктерді көрсетелік.

Есеп: «Моторлы қайық өзен ағысымен 42 км және алғысқа қарсы 20 км жол жүріп және оған 5 сағат уақыт жұмсады. Егер өзен ағысының жылдамдығы 2 км/сағ болса, қайықтың өз жылдамдығы қандай?».

Есеп  теңдеуін құру арқылы шығарылады.

Теңдеу түбірлері  және 12 есеп жауабы ретінде алынса, онда шындықты бұрмалау қателігі жіберілгені. Себебі, қайық жылдамдығы өзен жылдамдығынан артық болуы тиіс, яғни  есеп шартын қанағаттандырмайды. Жауабы: 12 км/сағ.

ә) есеп шығару кезеңінің әр сатысы міндетті түрде негізделіп, дәлелденіп отыруы қажет. Яғни әрбір жаңа ой қорытындысы қандай тұжырымнан туындалды, не себепті олай деп пайымдалуға хақымыз бар деген сұрақтарға мұқият жауап берілуі керек.

Тексеру  (1)