«Математиканы оқыту әдістемесі» оқу пәні ретінде 1-Дәріс. Математиканы оқыту әдістемесінің, негізгі мәселелері мен мақсаттары

25-сурет

Бұл тақырыпта параллельдік аксиомасын пысықтауға көп көңіл бөлу қажет. Параллельдік ұғымына қоршаған ортадан мысалдар келтіріп (сызғыштың екі шеті, дәптердің горизонталь, вертикаль сызықтары, темір жол т.с.с.), ІХ аксиоманың тұжырымдамасын берген жөн. Параллельдік аксиомасы пысықталған есептергеназар аудару қажет. Мысалы, параллель екң түзудің бірін қиып өтетін түзу оның екңншңсңн де қиып өтететінін көрсету қажет.

«Тең бүйірлі үшбұрыш» тақырыбының мазмұны: тең бүйірлі үшбұрыштың, оның бүйір қабырғаларының және табанының анықтамалары; тең бүйірлі үшбұрыш табанындағы теңдігі туралы теорема, кері теорема және тең бүйірлі үшбұрыштың медианасы туралы теорема.

А.В. Погорелов оқулғында бұл тақырып теоремаларын дәлелдеу ерекшелігінің мәні берілген үшбұрышты екі үшбұрыш ретінде қарау талап етіледі. Мұндай дәлелдеу жолы Евклидтің «Бастамаларына» келтірілген.

«Үшбұрыштың бұрыштары қосындысы» тақырыбында төмендегідей сұрақтар қарастырылады: Түзулердің параллельдігі. Екі түзуді қиюшы мен

қиғанда пайда болатын бұрыштар. Түзулердің параллельдік белгісі. Параллель түзулерді қиюшы мен қиғанда пайда болатын бұрыштардың қасиеті. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы, үшбұрыштың сыртқы бұрыштар және тік бұрышты үшбұрышқа байланысты мәселелер.

Тұжырымдары күрделі логикалық құрылымда болатын теоремаларды оқуға оқушылар қиналады. Мысалы, оқулықтағы мына теореманы келтірейік: Егер ішкі айқыш бұрыштар тең болса немесе ішкі тұстас бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең болса, ондп түзулер параллель болады. Мұнда екі теорема бірігіп тұжырымдалып тұрғанын ескеру керек: 1) Егер ішкі айқыш бұрыштар тең болса, онда түзулер параллель болады; 2) Егер ішкі тұстас бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең болса, онда түзулер параллель болады.

Бұл қарастырып отырған параллельдік белгілері осы тақырыптың ең маңызды мәселелерінің бірі.

Теоремаларды және оның дәлелдемесін оқытуға көрнекі-белсенділік, проблемалық ізденіс қолданылады. А.Шыныбеков оқу құралында эвристикалық пікірлесу элементтері бар қайта жаңғырту (репродуктивті) әдісін ұсынады.

Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы туралы теореманы оқытудың әдістемелік схемасын келтірелік:

1.Дайындық жұмысы: Параллель екі түзудің үшінші түзумен қиғанда пайда болған айқыш бұрыштардың тең болатынын қайталау.

2. Тақтаға осы қасиеттікөрнекі түрде біртіндеп сызу.

3. сабақты проблемалық әдіспен жүргізу:

1) Проблемалық ахуалды есеп түрінде қою: «Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180° қа тең екенін дәлелдеңдер»

2) Оқушылар мұғалімнің жетекшілігімен есептің мәлімдемесін, берілгенін, дәлелдеу керегін жазып, үшбұрыштың суретін салады.

3) Оқушылар параллель екі түзудің үшінші түзумен қиғанда пайда болған айқыш бұрыштардың тең болатынын қайталау себебін ойлап, қосымша үшбұрыштың табанына параллель түзу жүргізу қажеттігін өзбетімен аңғарады.

4) Енді тек тең бұрыштарды сәйкесінше бірдей белгілесе дәлелдеу керегі шығады.

5) Есептің шешу жолы айқын, анық түрде алдымен оқушы кейін мұғалім қайталайды.

4. Қорытынды. Мұғалім: сендер өздерің «Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180° қа тең», деп оқылатын теореманы есеп шығару арқылы дәлелдеп шықтыңдар. Жарайсыңдар, деп қорытынды жасайды.

Жаңа сабаұты бекіту. Теореманы есептер шығаруға қолдану.

Үйге тапсырма.

Егер дұрыс көпжақтардың жақтары қабырғаларының саны бірдей дұрыс көпбұрыштар болса және көпжақтың әрбір төбесінен шығатын қырларының саны бірдей болса, онда оны дұрыс көпжақтар дейміз. Дөңес дұрыс көпжақтың бес түрі бар (20 – сурет): дұрыс тетраэдр,куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Дұрыс тетраэдрдің жақтары – дұрыс үшбұрыштар; оның әрбір төбесінде үш қыры тоғысады. Тетраэдр – барлық қырлары тең болатын үшбұрышты пирамида.

Кубтың барлық жақтары – квадраттар; әрбір төбесінде үш қыры тоғысады. Куб – барлық қырлары тең тік бұрышты параллелепипед.

Октаэдрдың жақтары – дұрыс үшбұрыштар, бірақ тетраэдрден айырмашылығы сол – оның әр төбесінде төрт қыры тоғысады.

Додекаэдрдың жақтары – дұрыс бесбұрыштар, әрбір төбесінде үш қыры тоғысады.

Икосаэдрдың жақтары - дұрыс үшбұрыштар, оның тетраэдр мен октаэдрдан айырмашылығы оның әр төбесінде бес қыры тоғысады.
6.4.2. Көпжақтарды оқыту әдістемесі

Көпжақтарды оқыту барысында оқушылардың планиметрия курсынан алған көпбұрыштар туралы білімдері, сонымен бірге стереометрияның X сыныбындағы түзулермен жазықтықтардың кеңістікте өзара орналасулары туралы білімдер жинақталып жүйеленеді. Бұл мұғалімнен планиметрия курсының да, стереометрияның өтілген тарауларын да қайталап алуда ерекше ұйымдастырушылықты талап етеді.

Көпжақтарды оқыту барысында оқушылардың кеңістік түсінігін дамыту бағытындағы жұмыс жалғастырылады.

Кеңістік түсініктерді дамытуда әртүрлі көрнекі құралдарды, техникалық оқу құралдарын пайдаланудың жәрдемі көп. Көрнекілікті оқушылар күшімен дайындау онша қиын болмайды. Ондай жұмыстар математика жұмысын меңгеруге көмектеседі, олардың ой - өрісін кеңейтеді, сабақтың тиімділігін арттырады.

Бірақ көрнекілікті шамадан тыс қолдану кері әсер етеді, мұндай жағдайда ойша елестету, оған жаттығу қажеттілігін шектейді, соның нәтижесінде оның дамуына кедергі келтіреді.

Мектептерде ағаштардан және каркасты модельдерден жасалынған көпжақ түрлері қолданылады. Олардың дидактикалық қызметтері әртүрлі. Геометрия саба,һғында олардың қай – қайсы да пайдалы. Ағаштан жасалған денелер көрсетуге ыңғайлы, форма туралы қажетті түсінік береді. Олар бет аудандары мен көлемдерді өлшеу және анықтау обьектілері бола алады. Әйнектен жасалған денелер мөлдір, әйнектен не тартылған жіп арқылы көрсетілген қималар материалды түсінуге көмектеседі. Бұл модельдерді бүкіл класқа көрсетуге болады немесе сабақ жіберген оқушылармен жеке тапсырмалар жүргізугеде ыңғайлы. Каркасты модельдер көпжақтар элементтерін оқуда, қиманы тұрғызуды талдауда өте тиімді. Резина шнурлардың және жазықтардың көмегі мен каркасты модельдерде кейбір теоремалардың дәлелдемесіне және есептердің шешуіне конструкцияларды кескіндеуге болады. Кабинетте жиналмалы геометриялық денелердің болғаны дұрыс. Көпжақтардың жазындысын оқушылардың өздері де дайындай алады. Ондай модельдер сақтауға ыңғайлы. Уақытты үнемдеу мақсатында оқушы дәптеріне көпжақтарды ұқыпты және тиімді кескіндеу үшін үлгілерді пайдалануға боладыү

Беттесін сипаттайтын кодопозитивтерді пайдалану оқушыға есепті шешудің көзделген этабын жаңғыртуға мүмкіндік береді.

Оқушылардың өзіндік жұмысын ұйымдастыру үшін көпжақтардың сызбалары бар лабароториялық құралдардың жиынтығын пайдаланған тиімді. Бұл құралдарды оқушылардың өздері қағазға арналған мөлдір папкаларды пайдаланып жасай алады

Альбомдық беттерге немесе сызба форматтарда оқушылар көпжақтарда белгілеусіз кескіндейді. Есепті шешу кезінде қажетті сызбалар папка ішіне салынады. Салулар мен жазуларды оқушылар папка бетіне жұмсақ карандашпен орындайды. Құралды бірнеше қайтара қолдануға болады. Жазулар мен сызықтар дымқыл шүберекке тез кетеді.

Мұғалім «Көпжақтар» топтамасындағы диафильмдерді кең қолдана алады. Ондай жұмысты орындаған кезде дәптерде сызба жұмыстарын орындаудың қажеті жоқ. Сонымен қатар дұрыс орындалған сызба оқушылардың көз алдында болады.

Мысалға, кадрды тақтаға проекциялап, мыналарды ұсынуға болады:

1) көрінбейтін жақтарын боя(40 - сурет)

2) көпжақтың жазықтықпен қимасын сал т.б.

«Көпжақтар» тақырыбы бойынша есептер түріндегі материалдар әртүрлі әдістерді қолдануңа мүмкіндік береді. Бір есептің өзі әртүрлі шешіледі. «Тірек» есептерін (жиі кездесетін және «көпжақтар» тақырыбы бойынша басқа есептердің элементтері болатын есептер) шешу кезінде әртүрлі әдістерді қолдана білуге үйретуге, қандайда болмасын шешу әдісінің тиімділігін көрсетуге, таңдап алуға бағытталған жұмыстар елеулі пайдалы болады. Жаттығуларды орындау кезінде оқылған ұғымдар мен қасиеттерді пайдалана отырып оқушылар өз білімдерін тексеріп, нақтылауды және оларды жалпылайды, оларда есеп шығару тәсілдері мен жалпы әдістері қалыптасады.

Көпжақтар туралы тарауды оқытуда планиметрияның сәйкес курсынан аналогияны пайдалану керек, бірақ оларды пайдалануда сақ болған жөн, себебі ол әрқашанда сәйкес ақиқат қорытындыларға әкеле бермейді.

Көпжақтарды, сонымен стереометрияның басқа да тарауларын оқытуда оқушылардың интуициясы мен логика үйлесімді тіркесіп отыруы керек. Оқушылар өмір тәжірибесінен нақты және дұрыс түсінігі бар ұғымдарды қатаң түрде анықтау педагогикалық тиімді емес, ал олардың анықтамаларының тұжырымдары шамадан тыс күрделі болып келеді.

40-сурет

Бұл тараудың басты мәселесі – дөңес көпжақ ұғымының қалыптасуы. Дөңес көпжақтар модельдерімен қатар дөңес емес көпжақтарды да бақылау және салыстыру арқылы дөңес көпжақтар туралы дұрыс түсінікті қалыптастыруға болады. Мұнда жазықтықтағы дөңес көпбұрыштар аналогиясын пайдаланған орынды.

Дөңес көпбұрыш:

А) Кез келген қабырғасын қамтитын түзуге қарағанда бір жарты жазықтықта жататын болса.

Б) Егер оның әрбір нүктесі кесіндімен жалғана алатын болса.

Дөңес көпжақ:

А) Оны шектейтін әрбір жазықтықтың бір жағында жатса.

Б) Егер оның әрбір екі нүктесі кесіндімен жплғана алатын болса.

41-сурет 42-сурет

Көпшілік мектеп оқулықтарында: жағы, қыры, төбелері – элементтері көзделген көпжақ үшін енгізіледі. Бұл логикалық міне әдістемелік сипатта көптеген жағдайда қиындыққа келтіреді. Бұл жөнінде А.В. Погорелов шешімі сәтті деп есептелінеді, себебі ол жағы, қыры және төбесі ұғымдарын тек дөңес көпжақтар деп аталған.

Оқушылардың мектепте тек Эйлер сипаттамасы 2-ге тең көпжақтар қарастырылатынын білгені орынды. Ондай текті көпжақтар нөлдік тектес көпжақтар деп аталған.

Эйлер сипаттамасы Т – Қ – Ж = 2 формуласы бойынша есептелінеді. Мұнда Т – төбелер саны, Қ –қырларының саны, Ж – көпжақтың жақтарының саны. Оны мынадай 6 - кестетүрінде оқушылардың өздеріне толтыртқан дұрыс.

Кесте – 6

Призмаларды оқытуда олардың жеке түрі – параллелепипедке ерекше көңіл аударылады. Бұл тақырып бойынша планиметрия курсының үшбұрыштарға, паралелограмға байланысты көптеген тарауларықайталанылады. Сондай – ақ стереометрия курсынан: паралелль және айқас түзулер, түзулер мен жазықтықтардың кеңістіктегі перпендикулярлығы мәселелері қайталанылады. Қайталауда екі жақты бұрышқа, призманың екі жақты бұрышы үшін сызықтық бұрышты тұрғызуға ерекше көңіл аударылады. Қайталауды жаңа материалмен тығыз ұштастыру керек.

1. 
   Призманың биіктігін салуға және есептеуге берілген есептер
   
2. 
   Призманың екі жақты бұрыштарының сызықтың бұрышын салуға және есептеуге берілген есептер.
   
3. 
   Призманың табаны мен бүйір қыры, диагональдары арасындағы бұрыштарды салу және есептеуге арналған есептер
   
4. 
   Призманың диогональдары арасындағы призманың диагональдары мен жақтарының арасындағы бұрыштарды салуға және есептеуге арналған есептер.
   
5. 
   Призма бетінің ауданын, призма диогональдық қимасының ауданын есептеуге берілген есептер.
   

Тік призманың дұрыс призманың сәйкес беті және бүйір беті аудандарының формулаларын оқушылар қарастырылған призманың жеке жағдайы ретінде өздері тағайындалады.

Параллелипипед призманың жеке жағдайы ретінде қарастырылады. Параллелипедті тұрғызу әдісі оның бар бояуының конструктивтік дәлелдемесі болады. Оқушылар орта мектепте тік бұрышты параллелипипедпен және кубпен танысқан, сондықтан оқушылардан параллелипипед туралы не білетіндерін анықтап алу керек.

Параллелипипедте де призмадағыдай, толық және бүйір бетінің ауданы призма үшін берілген формула тәріздес формуламен есептелінеді.

1. 
   Пирамида анықтамасы. Пирамида элементтері. Пирамида түрлері.
   
2. 
   Дұрыс пирамида және оның апофемасы.
   
3. 
   Пирамиданың табанына параллель жазықтық пен қимасының қасиеті.
   
4. 
   Пирамида бетінің ауданы.
   
5. 
   Қиық пирамида.
   

Пирамиданы оқуды оны салу әдісінен бастап, одан анықтама беруге болады.

1. 
   Жазықтықта бір көпбұрыш(АВСДЕ) салынады.
   
2. 
   Салынған көпбұрыштан тыс кез-келген S нүктесі алынады.
   
3. 
   S нүктесі салынған көпбұрыш нүктелерімен қосылады.
   
4. 
   Алынған SАВСДЕ көпжағы пирамида болады.
   

Мұнда пирамида жақтарының біреуі кез-келген көпбұрыш ал қалғандары үшбұрыштар. Осыдан кейін көпжақты тектің ұғым ретінде алып пирамида анықтамасын тұжырымдауға болады.

Оқулықта келтірілген пирамиданы салуды осы көпжақтың бар болуның конструктивтік дәлелдемесі ретінде қарастыру керек.

Пирамиданы классификациялау оның табаны болатын көпбұрыштың түріне қарап беріледі. Үшбұрышты пирамида тетраэдр деп аталатынына ерекше көңіл аударылады.

Көп жақтардың бүйір және толық беттерін есептейтін формулаларды дәлелдегеннен кейін есептер шығарылады.

Теориялық материалды бекітуде есептің алатын рольі зор. Мына есептің шешуін толығымен қарастырайық.

Есеп: Тік призманың табаны-тең бүйірлі үшбұрыш. Оның тең қабырғалары арасындағы бұрыш α –ға тең.Жоғарғы табанның төбесінен тең бүйірлі жақтарының диагональдары жүргізілген, олардың арасындағы бұрыш β-ға тең. Призманың бүйір бетін табыңыздар.

Берілгені: АВСА₁В₁С₁-тік призма(41 сурет).

_1С=β

АВ=АС=а

Шешуі: Табаны теңбүйірлі үшбұрыш болатын тік призма саламыз. Оның бұрыш _1С=β, АВ=АС=а бұл призманың бүйір беті S_б.б=(2АВ+ВС)*АА₁

Есепті шығару-призма табанының бір қабырғасын және призманың биіктігін табуға тіреледі. Ал призманың табаны-тең бүйірлі үшбұрыш(Көмекші есептердің бірінші сериясы.Бұларды есептің мәліметтері бойынша тікелей есептеуге болады).

Тік бұрышты АВД-дан ВД=АВ*_ВД=а*_. Бұдан ВС= а*_ (1-көмекші есеп)

Сонда ВА₁=_

Табылған мәннен призманың бүйір беті а,α,β мәндеріне тәуелді екенін байқау қиын емес.

Осы тәріздес есептерді шығарғанда оқушылардан барлдық математикалық есептерді негіздеуді және бұрыннан білетін материалдарға сілтеме жасауды талап ету керек.

Дұрыс көпжақтарды оқуға барлық дұрыс жақтардың бес түріне де картоннан модельдер дайындап, жеке сабақ берген дұрыс. Сонымен қатар сымнан жасалған модельдердің де болғаны жақсы. Дұрыс көпжақтар-симметриалы фигуралар. Дөңес дұрыс көпжақтың 5 түрі бар: дұрыс тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, экосаэдр. Дұрыс көпжақ ұғымы оқушыларға белгілі призма және дұрыс пирамида ұғымдарын кеңейту ретінде енгізіледі. Сонымен қатар планиметрия курсының өзінде дұрыс көпжақтар ұғымы енгізіліп, оның кейбір қасиеттері қарастырылған. Мұғалім өзінің жұмысын оқушылардағы осындац бұрыннан қалыптасқан түсініктер негізінде жаңа ұғым енгізу керек.

Дұрыс көпжақтың анықталуы планиметрия курсындағы дұрыс көпбұрыш ұғымын анықтаумен ұштасуы педагогикалық жағынан тиімді болады.