Действие посредством которого по некоторой функции производных находится сама функция, называется интегрированием. Совокупность первообразных для функции F(x) или дифференциала F(x)dx называется
неопределенным интегралом. Таблица неопределенных интегралов
∫dx
(x) + C
∫kdx
(kx) + C
∫xm dx
(xm+1 /m+1 ) +C
∫dx /x
(lnx) + C
∫dx /√x
(2√x ) + C
∫ √x dx
(2/3x√x) + C
∫dx /x2
(-1 / x) + C
∫dx /(x+a)
(ln(x+a)) + C
∫exdx
(ex )+ C
∫axdx
(ax / ln a ) + C
∫cos x dx
(sin x) + C
∫sin x dx
(-cos x ) + C
∫cos kx dx
(sin kx/k) + C
∫sin kx dx
(-cos kx/k) + C
∫ dx / cos2x
(tg x) + C
∫ dx / sin2x
(-ctg x) + C
∫ tgx dx
(-ln cosx) + C
∫ ctgx dx
(ln sinx) + C
∫e kxdx
(e kx /k) + C
∫ dx / √1-x2
(arcsin x) + C
∫ dx / 1+x2
(arctg x) + C
∫ dx / -√1-x2
(arccos x) + C
∫ dx /-( 1+x2)
(arcctg x) + C
Методы интегрирования 1.Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы основных интегралов и свойств неопределенных интегралов называют непосредственным интегрированием.
2.Интегрироваание методом замены переменной
3.Интегрирование по частям
4.Интегрирование рациональных дробей
3)Осознание и осмысление
ЗадачиНайти интегралы:
1)
2)
3)
4)
Сделаем замену переменной тогда
Умножим обе части равенства на , получим .
Пусть , тогда .
Для нахождения и приравняем коэффициенты при степенях и в обеих частях последнего равенства многочленов.
Цели урока: Образовательная: ознакомить с понятием интеграла и формулой Ньютона-Лейбница; закрепить понятие интеграла и знание формулы Ньютона-Лейбница;
Развивающая: научить применять формулу и понятие интеграла для решения примеров; научить вычислять определенный интеграл;
Воспитательная: способствовать развитию наблюдательности, развитию грамотной устной и письменной математической речи, умения анализировать, сравнивать, делать выводы; прививать интерес к математической науке, формировать умения обучающихся использовать изученный математический и гуманитарный материал в конкретных условиях и новых ситуациях.
Тема урока «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница». Мы познакомимся с понятием интеграла, научимся вычислять определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Сегодня мы работаем на уроке, а великий ученый Ж. Д’Аламбер подталкивает нас к изучению алгебры словами:
«Математика щедра. Она часто дает больше, чем у нее просят».
Д’Аламбер (а полностью его имя звучит так - Аламбер Жан Ле Рон Д' (D'Alembert)) был известным французским математиком, а так же механиком, философом, литератором. Он жил в 18 веке (1717 - 1783). В науке главным его трудом стала «Энциклопедия наук, искусств и ремёсел». В «Энциклопедии» Д’Аламбер поместил важные математические статьи: «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика» и «Геометрия», в которых подробно излагал свою точку зрения на актуальные проблемы науки.
Д’Аламберу принадлежат также работы по вопросам музыкальной теории и музыкальной эстетики: трактат «О свободе музыки», в котором подведены итоги т. н. войны буффонов – борьбы вокруг вопросов оперного искусства, и др.