Кристаллы существуют в природе в виде кристаллических многогранников. Кристаллы разных веществ отличаются друг от друга по своим формам. Каменная соль — это кубики; горный хрусталь — шестигранные призмы, заостренные на концах; алмаз — чаще всего правильные восьмигранники (октаэдры); кристаллы граната — двенадцатигранники (рис. 5.1).
Такие кристаллы обладают симметрией.
Характерной особенностью кристаллов является анизотропия их свойств: в различных направлениях они разные, но в параллельных направлениях одинаковы, а также одинаковы и в симметричных направлениях.
Не всегда кристаллы имеют форму правильных многогранников. В реальных условиях роста, при затруднении в свободном росте симметричные грани могут развиваться неравномерно и правильная внешняя форма может не получиться, однако правильное внутреннее строение при этом полностью сохраняется, а также сохраняется симметрия физических свойств.
Греческое слово "симметрия" означает соразмерность. Симметричная фигура состоит из равных, одинаковых частей. Под симметрией понимают свойство тел или геометрических фигур совмещать отдельные части друг с другом при некоторых симметрических преобразованиях. Геометрические образы, с помощью которых задаются и осуществляются симметрические преобразования, называют элементами симметрии.
Рассматривая симметрию внешней огранки кристалла, кристаллическую среду представляют себе как непрерывную, сплошную, так называемый континуум (в переводе с латинского на русский - означает непрерывный, сплошной). Все точки такой среде совершенно одинаковы.
Элементы симметрии континуума описывают внешнюю форму кристаллического многогранника, поэтому их еще называют макроскопическими элементами симметрии.
Фактически же кристаллическая среда является дискретной. Кристаллы состоят из отдельных частиц (атомов, ионов, молекул), которые расположены в пространстве в виде бесконечно простирающихся пространственных решеток. Симметрия в расположении этих частиц сложнее и богаче, чем симметрия внешних форм кристаллических многогранников. Поэтому наряду с континуумом рассматривается и дисконтинуум — дискретная, реальная структура материальных частиц со своими элементами симметрии, получившими название микроскопических элементов симметрии.
5.2. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ
В кристаллических многогранниках встречаются простые элементы симметрии (центр симметрии, плоскость симметрии, поворотная ось) и сложный элемент симметрии (инверсионная ось).
Центр симметрии (или центр инверсии) — особая точка внутри фигуры, при отражении в которой любая точка фигуры имеет эквивалентную себе, то есть обе точки (например, пара вершин) расположены на одной прямой, проходящей через центр симметрии, и равноудалены от него. При наличии центра симметрии каждая грань пространственной фигуры имеет параллельную и противоположно направленную грань, каждому ребру соответствует равноудаленное, равное, параллельное, но противоположно направленное ребро. Поэтому центр симметрии представляет собой как бы зеркальную точку.
Плоскость симметрии — это такая плоскость, которая делит фигуру на две части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение, то есть на две зеркально равные части Обозначения плоскости симметрии – Р (старое) и m (международное). Графически плоскость симметрии обозначается сплошной линией. У фигуры может быть одна или несколько плоскостей симметрии, и все они пересекаются друг с другом. В кубе имеется девять плоскостей симметрии.
Поворотная ось — это такая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол фигура совмещается сама с собой. Величина угла поворота определяет порядок поворотной оси n, который показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой при полном обороте вокруг этой оси (на 360°):
В геометрических фигурах возможны оси симметрии любых порядков, но в кристаллических многогранниках порядок оси ограничен, он может иметь только следующие значения: n= 1, 2, 3, 4, 6. В кристаллических многогранниках невозможны оси симметрии пятого и выше шестого порядков. Это вытекает из принципа непрерывности кристаллической среды. Обозначения осей симметрии: старые - Ln (L1, L2, L3, L4, L6) и международные - арабскими цифрами, соответствующими порядку поворотной оси (1, 2, 3, 4, 6).
Пусть ось симметрии с углом поворота =2/n перпендикулярна плоскости в узле А. Тогда в ряду узлов А, …А’’, … с трансляцией а выходит такая же ось. При поворотах вокруг этих осей формируется параллельный ряд узлов В, В’, …, причем ВВ’=Na. ВВ’=а-2аcos, откуда а-2аcos=Na и cos=(1-N)/2. При условии -1cos+1 находим возможные значения n:
Графически поворотные оси изображаются многоугольниками:
5.3. ПОНЯТИЕ О КЛАССЕ СИММЕТРИИ
Каждый кристаллический многогранник обладает набором элементов симметрии. Сочетаясь друг с другом, элементы симметрии кристалла обязательно пересекаются, и при этом возможно появление новых элементов симметрии.
В кристаллографии доказываются следующие теоремы сложения элементов симметрии:
Линия пересечения двух плоскостей симметрии есть ось симметрии, для которой угол поворота вдвое больше угла между плоскостями.
Через точку пересечения двух осей симметрии проходит третья ось симметрии.
В точке пересечения плоскости симметрии с перпендикулярной к ней осью симметрии четного порядка возникает центр симметрии.
Число осей второго порядка, перпендикулярных главной оси симметрии высшего порядка (третьего, четвертого, шестого), равно порядку главной оси.
5. Число плоскостей симметрии, пересекающихся по глазной оси высшего порядка, равно порядку этой оси.
Число сочетаний элементов симметрии друг с другом в кристаллах строго ограничено. Все возможные сочетания элементов симметрии в кристаллах выводятся строго математически, принимая во внимание теоремы сложения элементов симметрии.
Полный набор элементов симметрии, присущих данному кристаллу, называется его классом симметрии. Строгий математический вывод показывает, что все возможные для кристаллических многогранников сочетания элементов симметрии исчерпываются тридцатью двумя классами симметрии.
5.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЕТКОЙ И ЭЛЕМЕНТАМИ СИММЕТРИИ
Наличие тех или иных элементов симметрии определяет геометрию пространственной решетки, накладывая определенные условия на взаимное расположение координатных осей и равенство осевых единиц.
Существуют общие правила выбора координатных осей, учитывающие набор элементов симметрии кристалла.
Координатные оси совмещают с особыми или единичными направлениями, неповторяющимися в кристалле - поворотными или инверсионными осями, для которых порядок оси больше единицы, и нормалями к плоскости симметрии.
Если в кристалле только одно особое направление, с ним совмещают одну из координатных осей, обычно ось Z. Две другие оси располагают в плоскости, перпендикулярной особому направлению параллельно ребрам кристалла.
3. При отсутствии особых направлений координатные оси выбирают параллельно трем не лежащим в одной плоскости ребрам кристалла.
Исходя из этих правил, можно получить все семь кристаллических систем, или сингоний. Они отличаются друг от друга соотношением масштабных единиц а, b, c и осевыми углами , , . Три возможности: аbc, а=bc, а=b=c позволяют распределить все кристаллографические координатные системы (сингонии) по трем категориям - низшей, средней и высшей.
Каждая категория характеризуется наличием определенных элементов симметрии. Так, у кристаллов низшей категории нет осей высшего порядка, то есть осей 3, 4 и 6, а могут быть оси второго порядка, плоскости и центр симметрии.
У кристаллов средней категории имеется ось высшего порядка, а также могут быть оси второго порядка, плоскости симметрии, центр симметрии.
Самые симметричные кристаллы относятся к высшей категории. У них имеется несколько осей высшего порядка (третьего и четвертого), могут быть оси второго порядка, плоскости и центр симметрии. Однако отсутствуют оси шестого порядка.
Международный символ класса симметрии средней категории обязательно на первом месте содержит обозначение оси высшего порядка (третьего, четвертого, шестого), совпадающего с осью Z элементарной ячейки. На втором месте в символе класса симметрии ставится обозначение элемента симметрии, совпадающего с осями X и Y, если он есть. На третьем месте указывается элемент симметрии (если он есть), расположенный вдоль биссектрисы угла между осями X и Y.
В кубической сингонии главным элементом симметрии являются четыре оси третьего порядка - пространственные диагонали куба. Координатные оси X ,Y, Z элементарной ячейки выбирают так, чтобы они были равно наклонены к осям третьего порядка. Обозначения классов симметрии кубической сингонии : на первом месте ставится обозначение элемента симметрии совпадающего с координатными осями X ,Y, Z, т.е. с направлениями <100>, на втором - с <111>, на третьем - с <110>.
