Методические указания к лабораторным работам
Описание компьютерных средств
жүктеу/скачать 1,05 Mb.
|
сб ЛР КТв ТЭР
- Бұл бет үшін навигация:
- 5 Лабораторная работа «Численные методы решения систем линейных уравнений»
- 5.2 Теоретические сведения
4.4 Описание компьютерных средствДля выполнения лабораторных работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее 256 МБ. Инсталлированные Windows 98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, Borland Delphi, Pascal и т.п. 4.5 Обработка результатов 4.5.1Получить точное значение интеграла по первообразной. 4.5.2 Получить численное значение интеграла методом трапеции и Симпсона. Повторить расчет, уменьшая величину шага на один -два порядка. 4.5.3 Проанализировать полученный результат, сопоставив точное значение интеграла с рассчитанными значениями, оценить точность методов, сделать выводы. 4.6 Оформление отчета по работе Отчет по проделанной работе представляется в электронном виде. Отчет включает: -цель и краткое содержание работы; -задание; -алгоритм в виде блок-схемы или в текстовой форме; -программу; -таблицу с исходными данными; -результаты вычислительного эксперимента; -графики установленных закономерностей; -анализ полученных результатов и выводы. 4.7 Контрольные вопросы 4.7.1 Опишите алгоритм метода трапеций. 4.7.2 Опишите алгоритм метода Симпсона. 4.7.3Проведите сравнение методов по точности, универсальности, скорости реализации, чувствительности к величине шага и погрешностям вычислений. Литература [1-5]. 5 Лабораторная работа «Численные методы решения систем линейных уравнений»5.1 Цели лабораторной работы: -приобретение умения решать системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса; приобретение навыков составления алгоритма и программы расчета в MathCAD; овладение компьютерными средствами. 5.2 Теоретические сведенияС подобной задачей инженер сталкивается, пожалуй, чаще всего в своей практике. Уравнения, содержащие суммы целых степеней х называются алгебраическими. К решению систем алгебраических уравнений приводят многие задачи анализа и синтеза физических явлений различной природы (механические, гидравлические и т.д.). В общем случае система линейных уравнений имеет вид a11 x1 + a22 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 5.1 ) an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn Систему (5.1) можно представить в векторно-матричной форме, матрица коэффициентов будет иметь вид a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A = . . . . . . . . . . , an1 an2 . . . ann вектор - столбец свободных членов b1 b2 b = . . . , bn вектор – столбец неизвестных x1 x2 x = . . . xn . (5.2) Свернем (5.2) Ax = b. (5.3) Для решения систем линейных алгебраических уравнений (5.3) чаще всего используются численные методы, которые делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные). К прямым методам относится метод Гаусса, к приближенным - метод Зейделя. Распространенной вычислительной задачей является нахождение решений систем n-нелинейных алгебраических трансцендентных уравнений с n-неизвестных, которые в общем виде можно записать так f1(x1,x2, . . . xn) = 0 f2(x1,x2, . . . xn) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . ( 5.4 ) fn(x1,x2, . . . xn) = 0 Решением такой системы называется множество значений x1,x2, . . . xn, одновременно удовлетворяющих каждому из уравнений системы. Введем векторы столбцы: x 1 f1 x2 f2 x = . . . , f = . . . . xn fn Тогда (5.4) примет вид f(x)=0. ( 5.5 ) Такие системы решаются только итерационными методами Ньютона и Зейделя. 5.2.1 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с выбором главного элемента (метод исключения) Процесс решения методом Гаусса делится на два этапа. На первом этапе (прямой ход) последовательным исключением неизвестных составляется преобразованная, эквивалентная система уравнений с треугольной матрицей, в которой все элементы под главной диагональю равны нулю. При этом одно из уравнений в системе содержит только одну неизвестную, а в каждом следующем добавляется еще по одной неизвестной. На втором этапе (обратный ход) решается преобразованная система уравнений. Метод Гаусса надежен, прост и широко применяется при решении на ЭВМ. 5.2 2 Метод Зейделя Суть итерационного метода Зейделя состоит в том, что задаемся некоторым произвольным вектором х [0], являющимся началом приближения к искомому решению х* . Затем строят последовательность приближенных значений {x [k]}, где k=0,1,2,…, сходящихся к х*. Последовательность х[0],x[1],… ,x[k] сходится к х* в том случае, если для любого ε>0 существует натуральное число N=k+1, начиная с которого выполняется условие x*-x[k] < ε . Можно показать, что с помощью метода Зейделя строится сходящаяся к точному решению последовательность векторов {x[k]} lim x[k] = x*. 5.2.3 Сравнение метода Гаусса и Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений Выбор в каждом отдельном случае конкретного метода решения определяется следующими факторами: - особенностями матрицы коэффициентов системы А; - порядком системы; - быстродействием и объемом памяти компьютера. Метод Гаусса наиболее универсален и эффективен, применение его целесообразно для систем общего вида с плотно заполненной матрицей коэффициентов А. При решении систем уравнений высокого порядка (n≈103–106) с разреженной матрицей коэффициентов целесообразно применять итерационный метод Зейделя. Ошибки округления в итерационных методах оказываются меньше, чем в прямых методах. Метод Зейделя является самоисправляющимся, так как ошибка, допущенная в вычислениях, не отражается на конечном результате, так как ошибочное приближение рассматривается как новый начальный вектор. Важным преимуществом итерационных методов является удобство их программирования. 5.3 Порядок выполнения работы 5.3.1 Получить индивидуальное задание у преподавателя. 5.3.2 Составить схему алгоритма метода Гаусса (Зейделя) решения системы линейных алгебраических уравнений. 5.3.3 Составить программу решения систем линейных уравнений. 5.3.4 Произвести расчеты по программе. 5.3.5 Для проведения расчета воспользоваться программой MathCAD. 5.3.6 Представить отчёт о проделанной работе в электронном виде. жүктеу/скачать 1,05 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|