«методика обучения решению иррациональных неравенств в курсе алгебры основной школы»

31 
Первый случай
: Пусть 
. При условии 
обе части исход-
ного неравенства существуют и неотрицательны. Возведем обе части исход-
ного неравенства в квадрат. Тогда оно равносильно системе неравенств: 
Отметим, что условие 
обеспечивается первым 
неравенством системы. Решая полученную систему неравенств, находим 
, т.е. решение системы неравенств – промежуток 
Второй случай: 
Пусть теперь 
. Тогда в силу неотрицательности 
исходное неравенство выполняется для всех значений 
x, 
при кото-
рых существует 
. Значит, исходное неравенство равносильно системе 
неравенств: 
Решением этой системы является промежуток 
. Осталось объединить решения, полученные в обоих случаях: 
Ответ
: 
» [4, с. 204]. 
Пример 2 
. 
Решить неравенство 
Решение
. «Рассмотрим два случая:
Первый случай
: Пусть 
. При условии существования квадратного 
корня: 
– обе части исходного неравенства неотрицательны. 
Возведем 
их 
в 
квадрат. 
Получим 
систему 
неравенств: 
которая равносильна исходному неравенству. Регая 
эту систему, находим 
, т.е. решением этой системы яв-
ляется множество 
Второй случай
: Пусть теперь 
. Так как квадратный корень прини-
мает только неотрицательные значения, то ни при каких значениях 
x 
он не 
может быть меньше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства 
будет множество, полученное в первом случае. 
Ответ
: 
» [4, с. 205]. 

32 
Затем Р.Ю. Костюченко тмечает, что следование четкому алгоритму не 
всегда приводит к правильному решению неравенства или может его услож-
нить. Поэтому учителю необходимо показать школьникам иные методы и 
способы решения неравенств, а также требовать от них обоснованность каж-
дого действия. Как раз таким рациональным методом является метод интер-
валов. Он относится ко второму подходу решения иррациональных нера-
венств, который не предполагает использование равносильных преобразова-
ний [11]. 
Автор выделяет «этапы применения 
метода интервалов при решении 
неравенств
, независимо какое оно, рациональное или иррациональное:
1.
Привести исходное неравенство (если нужно) к виду 
( знак 
неравенства может быть разным: 
; значение имеет то, что в левой 
части неравенства стоит некоторая непрерывная в своей области определения 
функция, а в правой –ноль). 
2.
Найти область определения функции 
3.
Найти нули функции 
в области ее непрерывности (т.е. кор-
ни уравнения 
) и точки разрыва (если они существуют). 
4.
Нанести с учетом области определения, на числовую ось полученные 
точки. Полезно нули функции в случае нестрого неравенства отмечать за-
штрихованным кругом, в случае строго неравенства – окружностью, точки 
разрыва – окружностью; граничные точки области определения в случае воз-
можности нахождения в них значения функции 
- отмечать в соот-
ветствии с выполнением истинности неравенства в каждой такой точке. 
5.
На каждом из интервалов, полученных на числовой оси, определить 
знак функции
и поставить его над этим интервалом (знак опреде-
ляется подстановкой произвольно выбранных наиболее удобных значений
x 
из каждого интервала или используя свойство непрерывной функции о пере-
мене знака). 
6.
Выбрать нужные по условию интервалы (и/или точки) и записать от-
вет. 

33 
Выделенные этапы совпадают с этапами решения иррациональных
неравенств, поэтому целесообразно применять этот метод при их решении»
[11, с.3-4].
Автор А.Г. Мордкович рассматривает метод интервалов. Он объясняет 
его на примере: 
Решить неравенство 
Решение. 
Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
-3 
0 4
Х
Рис. 3. Решение неравенства методом интервалов 
Получаем: 
Из первой системы находим: 
вторая
система не имеет решений.
Ответ:
. 
Р.Ю. Костюченко приводит методические особенности обучения реше-
нию иррациональных неравенств учащихся основной школы:
1. Прежде чем приступить к изучению темы необходимо повторить, 
что такое иррациональное число, ОДЗ неравенства, способы решения ирра-
циональных уравнений.
2. Чтобы решить иррациональное неравенство его преобразовывают к 
рациональному. Следует учесть, что возведение в нечетную степень обеих 
частей неравенства приводит к равносильному данному неравенств. При воз-
ведении в чётную степень равносильное неравенство получается при усло-
вии, если изначально обе части неравенства являются неотрицательными. 

34 
Другой способ решения – метод интервалов. Суть данного метода – нахож-
дение нулей неравенства и его ОДЗ. 
Также он выделяет основные ошибки учащихся при решении ирраци-
ональных неравенств: 
- забывают находить ОДЗ неравенства или находят её неправильно;
- возникают ошибки при переходе к равносильному неравенству;
- не владеют соответствующим материалом;
- допускают ошибки при вычислении; 
- у учеников возникают сложности при решении, так как само неравен-
ство на первый взгляд выглядит очень сложно. 
Таким образом, разобрав методические рекомендации по обучению те-
ме «Иррациональные неравенства» в курсе алгебры основной школы можно 
сделать вывод, что решение всех иррациональных неравенств нельзя свести к 
одному общему алгоритму. Необходимо выбрать рациональный способ и ме-
тод их решения, а также учесть все методические особенности при обучении 
данной теме.

жүктеу/скачать 1,89 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: