Методняескне осяовьт. Учебное пособие
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
abylkasymova a teoriia i metodika obucheniia matematike dida
| Косвеи ное доказательство устанавливает справедли— вость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противопо— ложного ему допущения, антитезиса.
Поскольку косвенное доказательство использует от- рицание доказываемого положения, оно является dоказа- тельс твoя от противного. Например, нужно построить косвенное доказательство весьма тривиального тезиса: “Квадрат не является окруж— ностью”. Выдвигается антитезис: “Квадрат есть окруж— ность”. Нетрудно показать ложность этого утверждения. С этой целью выводят из него следстви я. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: “У квадрата нет углов”. Поскольк у антитезис ложен, зна— чит тезис должен быть истинным. В cпope при умелом применении такие доказательства могут обладать особенной убедительностью. В зависимости от того, как стремятся показать состоя— телъность его отрицания, можно выделить несколько раз— новидностей косвенного доказательства. Следс авия, иротиворечащne фак там. Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопос- тавлением вытекающих из него следствий с фактами. На— пример, врач, убеждая пациента, что тот не болеет грип- пом, рассуждает так. Если бы это действительно был грипп, то были бы ха рактерные для него симптом ьі: головная боль, повышенная температура и т. п. Но ничего подобного нет. Знaчит, нет и гриппа. Вн yinренне нр‹зтивире.чивьtе следспівия. Ylo логиче- ск ому закону непротиворечгlвОсти, одно из ДВ Х П)ЭОТИВО речащих друг дpyгy утверждений явл яется ложным. Поэтому, если в числе следствий какого-либо положени я встретились и утверждение, и отрицание (одного и того же), можно сразу же заключить, что это положение ложно. Примером такого рассуждени я служит известное до- казательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен. Простые — это натуральные числа больше единицы, деля— щиеся только на себя и на единицу. Простые числа — это как бы первичные элементы, на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Естественно предпо— ложить, что ряд простьіх чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 . . . — бес— конечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А. Обра,зуем далее другое число: В — (2*3*‘5* ... *А) + 1. Чнсло В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, ..., А,то в остатке получится 1. Следовате.пьно, В не делится ни на одно из указанных простых чиеел и являет- ся, таким образом, простым. В итоге, исходя из предложе- ния, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся простым. Этo означает, что сделанное предположение ложно, а противоположное утверждение правильно: ряд простых чисел бесконечен. В этом к освенном док азательстве из антите зиса вы- водитея логическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и, соответственно, об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике. Ис тина логичес ки вьt текае in и.з caoeгo соосгпвен нozo ompuцания. Этoт прием опирается на закон Клавия: если из предположени я ложности утверждения вытекает его истинность, то утвер›кдение истинно. По такой схеме рас- суждал еще Евклид в своей “Геометрии” (117). Разде.г ительное доказательство. Во всех рассмот— ренных косвенны х доказательствах выдвигаютс я две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показываете я ложность антитезиса, в итоге остается только тезис. Мож- но не ограничивать число принимаемых во внимание воз- можностей только двумя. Этo приведет к последовательно- му косвенному доказательств у или доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда извест- но, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих всевозможные альтернативы данной области. Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом. В стандартных кос- венных доказательствах альтернативы — тезис и антите- зис — исключают друг друга в силу законов логики. В раз- делительном доказательстве взаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мысли- мые альтернативы, определяются не логическими, а tЬак- тическими обстоятельств ами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все ВОЗМ ОЖ НОСТИ Косвенное доказательство предста вляет собой э§зфек- тивное средство обоснования. Но, имея с ним дело, необ- ходимо все время сосредоточиваться не на верном положе- нии, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Сам ход доказательства состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, выводят- ся следствия до тех пор, пока не получится утверждение, ошибочность которого несомненна. Кос венное док азательство — х орошее орудие иссле— дования, но не всегда удачный прием изложения мате- риала. В практике преподавания нередок такой парадок- сальный случай, когда после того, как косвенное док аза- тельство проведено, ход его тут же забыт, в памяти оста- ется только доказанное положение. Имеются также более серьезные возражения против косвенного доказательства. Они связаны с использованием в нем исключенного треть- его закона. Как уже говорилось, не всеми он признается универсальны м, применимым в любых без исключения случаях. Найденное косвенное доказательство какого-то утверждения обычно удается перестроить в прямое дока- зательство этого me утверждения. Обычно, но не всегда. О доказательстве в логике говорится много, об опро- вержении — только вскользь. Причина понятна: опровер- жение представляет собой как бы зеркальное отображение доказательства. жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|