Мезетіндегі күйіне дейінгі жүргізілген вектор орын ауыстыру векторы деп аталады

a =
^→ _im Δ υ ₌ d υ
(1.7)

Δt →0 _{dt dt}
(1.2) теңдікті есепке ала отырып
→ →
^→ d d r d ² r

a = _dt
dt ⁼
dt ²
(1.8)

Үдеу – уақыт бойынша жылдамдық векторы бірінші туындысына тең немесе радиус-векторының уақыт бойынша алынған екінші туындысына тең векторлық шама. Түзу сызықты

[_a] ₌
м
_{с 2} . Кез келген t уақыт кезіндегі жылдамдық
d υ = a dt

қатынасын интегралдау арқылы анықтауға болады:
 t

_ d  _ a  dt
₀ 0
(1.9)

Мұндағы υ₀
жылдамдық.
уақыттың
t = 0


υ = υ₀ + at
мезетіндегі бастапқы

(1.10)

(1.10) теңдеуінен бірқалыпты айнымалы қозғалыс кезінде жылдамдық уақыт бойынша сызықтық түрде өзгеретіндігі көрінеді. Жылдамдықтың мәнін (1.5) теңдеуге қойып жолды табамыз

t
S  _(υ₀  at)dt  υ₀t 
0
¹ at²
2
(1.11)

Бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс – деп жылдамдықтың модулі және бағыты өзгермейтін қозғалысты айтады. Материялық нүкте бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс жасаған кезде, кез келген бірдей уақыт аралығында жүрген жолы бірдей болады. Бұл кездегі оның траекториясы түзу сызықты болып, x өсі бойынша координатасы (жүрген жолы) төмендегі өрнек арқылы анықталады:

x = x₀ + υt (1.12)

Мұндағы x₀ уақыттың
t  0
мезетіндегі бастапқы орны.

Бірқылыпты айнымалы қозғалыс кезіндегі материялық нүктенің x өсі бойынша координатасы

x = x₀
+ υ₀ +
¹ at² (1.13)

2

Жылдамдықтың координата бойынша өзгерісі

h  ¹ gt ²

(1.15)

 <sub>2

</sub>

2
^  2gy
тік жоғары (вертикаль) лақтырылған дененің қозғалыс теңдеуі

   ₀  gt
(1.16)

^h   t  ¹ gt ²

^ 0

2


 _2
  ₀
2

• 
  2gy
  

Жер бетіне a бұрыш жасай лақтырылған денелердің x және y

өсі бойынша қозғалыс жылдамдықтары

 ^_x ^{ }₀ ^cosa

(1.17)

 



_ y 0
sin a  gt

Ал оның тыныштықтағы санақ жүйесіне қатысты координатасы

_ ^{x  }₀ ^{cosa  t}
(1.18)


^ y  
_ 0
sin a  t  ¹ gt ²
2

Жер бетіне a бұрыш жасай лақтырылған денелердің түсу қашықтығы
υ² sin 2a
X = ^{0 (1.19)}
g
Жер бетіне a бұрыш жасай лақтырылған денелердің көтерілу биіктігі
υ² sin ² a
Y = ⁰ (1.20)
2g

_{t =} 2υ₀ sin α
g
(1.21)

Жер бетіне a бұрыш жасай лақтырылған денелердің траектория теңдеуі

y  xtg 
gx²


0
2 ² cos² a
(1.22)

1. Айналмалы қозғалыстың кинематикасы. Бұрыштық жылдамдық және бұрыштық үдеу

Дененің айналу бұрышының уақыт бойынша бірінші туындысына тең векторлық шама бұрыштық жылдамдық деп аталады, яғни:

 
^  d 

(1.23)

  im 
t0 _{t dt}

Егер
  const
болса, онда айналмалы қозғалыс бірқалыпты

деп аталады. _ бұрышы _d -дан алынған интегралға тең, яғни
t

  _ d  _ dt   t
0
(1.24)

Бірқалыпты айналмалы қозғалысты айналу периоды

арқылы сипаттауға болады. Толық бір айналуға
(  2 )

кеткен уақытты айналу периоды Т деп атайды. Жоғарыдағы (1.24) өрнегінен (t=T) болған жағдайда,

немесе
_{ω =} 2π

T

ω = 2πn

(1.25)

(1.26)

Мұндағы
n = ¹
T
– дененің шеңбер бойымен бірқалыпты

қозғалысының уақыт бірлігі ішінде жасайтын толық айналу саны, бұл шаманы айналу жиілігі деп атайды.
Дененің бірқалыпты емес айналу кезінде бұрыштық жылдамдықтың өзгеруін бұрыштық үдеу арқылы сипаттауға
болады. Егер шексіз аз Δt уақыт ішінде дененің бұрыштық
жылдамдығы Δω шамаға өзгерсе, онда бұрыштық үдеу

  

^ 
im
 _ d  _ d ² 

(1.27)

2
^t0 t dt dt
Дененің бұрыштық үдеуі бұрыштық жылдамдықтың уақыт бойынша алынған бірінші туындысына немесе айналу бұрышының уақыт бойынша алынған екінші туындысына тең шама.

2. Бұрыштық және сызықтық жылдамдық векторлары- ның арасындағы байланыс

→
Айналу өсінен айналушы нүктеге жүргізілген, радиусы R

шеңбер траекториясындағы нүктенің орнын анықтайық.

Жылдамдық
→
υ векторы
→
ω және
→
R векторларымен оң

бұранда ережесі бойынша байланысқан. Нүкте қозғалысының
сызықтық жылдамдық шамасы келесі жолмен анықталады. Δt
уақыт ішінде айналушы дененің кез келген нүктесінің жүрген
^жолын S  R ^{шеңбер ұзындығымен өлшеуге болады,}
мұндағы R – шеңбер радиусы. Бұл өрнектің екі жағын да Δt -ға

бөліп,
Δt → 0
кезіндегі шекте, келесі өрнек шығады

^{dS = R dφ} немесе

dt dt

υ = ω R

(1.28)

Егер
→

ω және
→
R векторлары өзара перпендикуляр болса,

онда олардың векторлық көбейтіндісінің модулі

 
 
_ R_  Rsin 90
⁰ . (1.29)

 

Соңғы екі өрнекті салыстырсақ:

 _  _
(1.30)

  _ R_

 

Айналмалы қозғалыста нүктенің сызықтық жылдамдық векторы бұрыштық жылдамдық векторы мен нүктенің радиус-векторының векторлық көбейтіндісіне тең.
Тангенциалды үдеуді де бұрыштық үдеу арқылы өрнектеуге болады

a  ^d  ^d (R)  R  

(1.31)

^ dt dt

немесе векторлық түрде

a_
 

_  
_ R_
(1.32)

 

Нормал үдеуді бұрыштық жылдамдық арқылы өрнектеcе

_ 2
a_n  _R

  ² R

(1.33)

Сонымен, біз ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстар кинематикасының заңдылықтарын қарастырдық. Дененің кез келген күрделі қозғалысын ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстарының жиынтығы ретінде қарастыруға болады.