обосновывают истинность тезиса, называется прямым до­

Апагогическое косвенное доказательство часто встре­
чается в математике. При помощи его доказывается, на­
пример, положение, что в треугольнике, в котором два 
угла равны, равны также и противолежащие им стороны. 
Ход доказательства развёртывается следующим образом. 
Пусть в треугольнике ABC угол А равняется углу В и 
пусть противолежащие им стороны будут АС и ВС. 
Требуется доказать, что АС равно ВС. 
В целях доказательства допускается, что истинно по­
ложение, противоречащее тезису, т. е. что АС не равно 
ВС. Тогда из этого последнего положения, согласно тео­
реме, что во всяком треугольнике против большего угла 
лежит большая сторона, будет следовать, что угол А дол­
жен быть или больше, или меньше угла В. Но так как этот 
вывод противоречит принятому положению, то противо­
речащее тезису положение является ложным. Отсюда сле­
дует, что истинным должно быть положение, противоре­
чащее ему, а именно — тезис. 
При помощи этого способа доказательства, который 
называется также доказательством от противного, обо­
сновывается истинность такой, например, теоремы гео­
метрии: 
«Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пе­
ресечься, сколько бы их ни продолжали:». 
Ход доказательства развёртывается следующим образом. Допу­
стим на минуту, что истинно положение, противоречащее тезису, 
т. е что «Два перпендикуляра к одной и той же прямой при про­
должении пересекаются». Тогда из этого последнего положения 
следует, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на 
эту прямую два перпендикуляра 
Но этот вывод ложен, ибо мы знаем доказанную уже теорему 
о том, что «Из всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить 
на эту прямую только один перпендикуляр». 
А раз ложно утверждение, что из всякой точки, лежащей вне 
прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра, то 
ложно и допущенное нами на минуту положение о том, что два 
перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пере­
секаются, ибо это есть также нарушение теоремы о том, что «Из 
всякой точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую 
только один перпендикуляр». Ведь два перпендикуляра, пересе­
кающиеся при продолжении, есть два перпендикуляра, опущенные 
из одной точки на эту же самую прямую. 
Так мы доказали, что допущенное на минуту в качестве истин­
ного положение, противоречащее нашему тезису, о том, что «Два 
перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пере­
секаются», ложно. 
В результате мы получили два противоречащих суждения: «Пер­
пендикуляры пересекаются» и «Перпендикуляры не пересекаются». 
155 

По закону исключённого третьего известно, что из двух противо­
речащих суждений одно необходимо ложно, а другое необходимо 
истинно и третьего между ними быть не может. Действительно, 
перпендикуляры к одной и той же прямой или пересекаются, ила 
не пересекаются. Никакого третьего положения даже представить 
невозможно. 
А раз мы доказали, что суждение «Два перпендикуляра к одной 
и той же прямой при продолжении пересекаются» ложно, то 
отсюда совершенно необходимо следует, что противоречащее суж­
дение «Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пе­
ресечься, сколько бы их ни продолжали» — истинно. Что и требо­
валось доказать, как говорят в таком случае геометры. 

жүктеу/скачать 0,77 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: