Молодой учёный
жүктеу/скачать 1,67 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Доказательство.
- Предложение 1 .
Предложение 1. Пусть g – простая алгебра Ли простой односвязной алгебраической группы G над ал- гебраически замкнутым полем k характеристики h p > . Предположим, что 2 2 1 , , B A A R ≠ . Тогда k p s L g H p ≈ − ⋅ )) ) , ( ( , ( 0 0 , 2 2 α α ρ β
2 β
Доказательство. Пусть 2 ≤ n , где
n – ранг системы R . Для алгебр Ли 1
и
2 A . 0 )) ( / ) ( ), ) , (( ( 0 0 0 = − λ λ α α ρ
H soc p L Hom G G Следовательно, в этом случае, вторые когомологий груп- пы и алгебры Ли не совпадают. Если
имеет систему корней типа 2 B , то
0 )) ) , ( ( , ( 0 0 , 0 1 2 2 ≠ − ⋅ α α ρ β p s H G H p , что противоречить условию . 0
( , ( ) 1 ( 0 1 2 = − λ H G H В случае 2
и
0 0 , ) , ( 2 α α ρ λ β − ⋅ = p s p
0 )) ) , ( ( , ( )) ) , ( ( , ( 0 0 , 2 0 0 , 2 2 2 ≠ − ⋅ ≈ − ⋅ α α ρ α α ρ β β
s L G H p s L g H p p . Далее, используя (1), получим k p s L g H p ≈ − ⋅ )) ) , ( ( , ( 0 0 , 2 2 α α ρ β . Таким образом, среди классических алгебр Ли ранга 2 ≤ n , только в случае алгебры Ли типа 2
имеется совпа- дения второй группы когомологии с соответствующей второй группой когомологии алгебраической группы. Пусть теперь, 2 >
. Тогда условие предложения 2.1 работы [1], стр. 407, обеспечивает выполнения условий 1) ) ( λ L V = , где } 0 { \ ) ( 1
X ∈ λ ; 2) 0 )) ( / ) ( ), ) , (( ( 0 0 0 ≠ − λ λ α α ρ L H soc p L Hom G G ; 3) 0 )) ) , (( / )) ( / ) ( ( , ( ) 1 ( 0 0 0 1 1 = − − α α ρ λ λ p L L H soc G H G . Поэтому, проверим только выполнение условия 0 ))
, ( ) 1 ( 0 1 2 = − λ
G H .Произведя соответствующие вычисле- ния, получим = −
= − ⋅ = 2 0 0 0 0 , ) , ( ) ) , ( 2 β α α ρ α α ρ λ β p p s p
= + − = − + = − + = + − = + − = + + − + = + − + = + + − = + − + + − − = , , ) 6 ( , , ) 12 ( , , ) 12 ( , , ) 18 ( , , ) 12 ( , , ) 2 2 ( , , ) 2 ( , , ) 1 2 ( , , ) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 4 4 3 8 8 7 7 3 1 6 4 2 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1
R если p F R если p E R если p E R если p E R если p D R если n p C R если n p B R если n p A R если n p n p n n n n n λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
2 «Молодой учёный» . № 7.2 (87.2) . Апрель, 2015 г. Математика Литература: 1. O'Halloran, J. Weyl modules and cohomology of Chevalley groups // Amer. J. of Math. — 1981. — Vol. 103, № 2. — P. 399–410. где
= + = + + + = + + + + + + + = + + + + + + = + + + + + = + + + + + + = + + + + + = + + + = + + = − − − . , , , 3 2 , , 3 4 5 6 4 3 2 , , 2 3 4 3 2 , , 2 3 2 , , 2 2 , , 2 2 , , 2 2 , , 2 2 1 4 4 3 2 1 8 8 7 6 5 4 3 2 1 7 7 6 5 4 3 2 1 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 2 1 1 3 2 1 2 1 2 2 G R если F R если E R если E R если E R если D R если C R если B R если A R если n n n n n n n n n n n α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α β 3 3 3 3 (2) Предложение 1. Пусть g – простая алгебра Ли простой односвязной алгебраической группы G над ал- гебраически замкнутым полем k характеристики h p > . Предположим, что 2 2 1 , , B A A R ≠ . Тогда k p s L g H p ≈ − ⋅ )) ) , ( ( , ( 0 0 , 2 2 α α ρ β
2 β
Доказательство. Пусть 2 ≤ n , где
n –
ранг системы R . Для алгебр Ли 1
и 2 A . 0 )) ( / ) ( ), ) , (( ( 0 0 0 = − λ λ α α ρ
H soc p L Hom G G Следовательно, в этом случае, вторые когомологий груп- пы и алгебры Ли не совпадают. Если
имеет систему корней типа 2 B , то
0 )) ) , ( ( , ( 0 0 , 0 1 2 2 ≠ − ⋅ α α ρ β p s H G H p , что противоречить условию . 0
( , ( ) 1 ( 0 1 2 = − λ H G H В случае 2
и
0 0 , ) , ( 2 α α ρ λ β − ⋅ = p s p
0 )) ) , ( ( , ( )) ) , ( ( , ( 0 0 , 2 0 0 , 2 2 2 ≠ − ⋅ ≈ − ⋅ α α ρ α α ρ β β
s L G H p s L g H p p . Далее, используя (1), получим k p s L g H p ≈ − ⋅ )) ) , ( ( , ( 0 0 , 2 2 α α ρ β . Таким образом, среди классических алгебр Ли ранга 2 ≤ n , только в случае алгебры Ли типа 2
имеется совпа- дения второй группы когомологии с соответствующей второй группой когомологии алгебраической группы. Пусть теперь, 2 >
. Тогда условие предложения 2.1 работы [1], стр. 407, обеспечивает выполнения условий 1) ) ( λ L V = , где } 0 { \ ) ( 1
X ∈ λ ; 2) 0 )) ( / ) ( ), ) , (( ( 0 0 0 ≠ − λ λ α α ρ L H soc p L Hom G G ; 3) 0 )) ) , (( / )) ( / ) ( ( , ( ) 1 ( 0 0 0 1 1 = − − α α ρ λ λ p L L H soc G H G . Поэтому, проверим только выполнение условия 0 ))
, ( ) 1 ( 0 1 2 = − λ
G H .Произведя соответствующие вычисле- ния, получим = −
= − ⋅ = 2 0 0 0 0 , ) , ( ) ) , ( 2 β α α ρ α α ρ λ β p p s p
= + − = − + = − + = + − = + − = + + − + = + − + = + + − = + − + + − − = , , ) 6 ( , , ) 12 ( , , ) 12 ( , , ) 18 ( , , ) 12 ( , , ) 2 2 ( , , ) 2 ( , , ) 1 2 ( , , ) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 4 4 3 8 8 7 7 3 1 6 4 2 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1
R если p F R если p E R если p E R если p E R если p D R если n p C R если n p B R если n p A R если n p n p n n n n n λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
за исключением, когда 4 D R = и
4 3 2 1 0 0 , ) 6 ( ) , ( 2 λ λ λ λ α α ρ λ β + + − + = − ⋅ = p p s p . Согласно общей формуле Андерсена-Янцена [2], 0 )) ( , ( ) 1 ( 0 1 2 = − λ H G H . Таким образом, согласно (1), получим k p s L g H p ≈ − ⋅ )) ) , ( ( , ( 0 0 , 2 2 α α ρ β . Предложение 1 доказано. Для систем корней малых рангов легко можно описать все одинаковые нетривиальные вторые группы когомологий простых модулей простых односвязных алгебраических групп и их алгебр Ли. 1. В случае 2
R = , используя результаты работы [3], относительно структуры ) (
) ( 0 λ λ
H soc G , ) ( 1
X ∈ λ , легко показать, что полученный, в Предложении 1 случай, является единственным нетривиальным примером совпа- дения соответствующих вторых групп когомологий простых модулей группы
и алгебры Ли g . 2. В случае 3 A R = имеются ровно 2 совпадения. Первый – это пример Предложения 1, когда старший вес про- стого модуля равен 3 2 1 ) 2 ( ) 4 ( λ λ λ λ − + + − = p p , второй – 3 3
) 4 ( ) 2 ( λ λ λ λ − + + − = p p . Здесь достаточно использовать результаты работы [4], стр.94 - 98. 3. Точность последовательности (6) и предложение 6 работы [5] показывают, что в случае 3
также имеются ровно два совпадения нетривиальных вторых групп когомологий. Старшие веса соответствующих простых модулей равны
2 1 )5 ( λ λ λ + − = p и
2 2 1 2 )5 ( λ λ λ λ + − + =
.
|