Момент случайной величины

жүктеу/скачать 68,32 Kb.

бет	2/3
Дата	12.12.2022
өлшемі	68,32 Kb.
	#56685

1 2 3

Байланысты:
ықти

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей p_x (x) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.
Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то
.
Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:
, .
Основные свойства математического ожидания:

математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c ;

математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );

математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ).

Дисперсия случайной величины
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.
Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx = M(x - Mx )².
Легко показать, что Dx = M(x - Mx )²= Mx ² - M(x )².
Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx ²>для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам
, .
Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение , связанное с дисперсией соотношением .
Основные свойства дисперсии:

дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx 0;

дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

для произвольной константы D(cx ) = c²D(x );

дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).

Моменты
В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. a _k= Mx ^k.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m _k, определяемая формулой m _k = M(x - Mx )^k.
Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a ₁= Mx , а дисперсия - центральный момент второго порядка,
a ₂= Mx ² = M(x - Mx )²= Dx .
Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:
m ₂=a ₂-a ₁², m ₃= a ₃- 3a _2a 1+ 2a ₁³.
Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

Асимметрия

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой ,
где m ₃- центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение.

Эксцесс
Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс.

жүктеу/скачать 68,32 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3