Н. Ш. Альжанова Х. К. Сәбит

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н. Ш. Альжанова 
Х. К. Сәбит 
 
 
 
 
 
Экономикалық-математикалық 
әдістер 
 
 
 
Оқу құралы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Алматы 
2007 

0601000000 
00(05)-07 
ББК 65.В6 
А 49 
 
 
Пікір жазғандар: 
 
Физика-математика ғылымдарының докторы,  
профессор Оспанов С. С. 
Экономика ғылымдарының докторы,  
профессор Байзаков С. Б. 
 
 
А 49  Н. Ш. Альжанова, Х. К. Сәбит  
          Экономикалық-математикалық әдістер: Оқу құралы.—     
          Алматы: Нұр-пресс, 2007.— 144 б. 
 
ISBN 9965-813-27-2 
 
Өздеріңізге  ұсынылып  отырған  оқу-əдістемелік  құралдың    бөлім-
дерінде  экономиканың  əр  алуан  математикалық  модельдерінің  ара-
сында ерекше орын алатын желілік модельдерді зерттеу құралы ретін-
дегі желілік программалаудың əдістері мен есептері беріледі. Желілік 
бағадрламалаудың көліктік есептері жеке пунктпен бөліп көрсетілген. 
Ол  қалыптамалық  жəне  сондай-ақ  желілік  қойылымдарда  берілген. 
Сонымен  бірге  өндірісті  орналастыру  есептерін  шешуде  қолданылуы 
мүмкін көпсатылы көліктік модель де келтірілген. 
Одан  əрі  құралда  недəуір  күрделі  модельдер  мен  əдістер  қарас-
тырылады.  Бұл  динамикалық  программалау  əдісі,  экономиканы  тал-
даудың баланстық əдісі жəне күнтізбелік жоспарлаудың желілік əдісі. 
Құралда көптеген теориялық есептер дəлелдемелерсіз берілген жə-
не əдістер мен алгоритмдерді мысалдармен жəне есептермен көрнекі-
лендіруге баса назар аударылған. 
 
                                                                       
ББК 65.В6 
 
А  
 
© Альжанова Н. Ш., Сабитова Х. К., 2007. 
© Нұр-пресс, 2007. 
ISBN 9965-813-27-2 
 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
3
 
 
 
 
 
АЛҒЫ СӨЗ 
 
Экономикалық  талдау  мен  есептеу  əдістерін  жетілдіруде 
зерттеудің  математикалық  тəсілдерін  қолдану  үлкен  роль 
атқарады. Баға белгілеу заңдылықтары, өнім бірлігіне жұмсалатын 
еңбек  пен  материалдардың  толық  шығынын  зерделеу, 
салааралық байланыстарды зерттеу, капитал салымының рента-
ельділігі,  өндірісті  орналастырудың  тиімділігін  анықтау, 
өндірістік  процесті  оңтайлы  жоспарлау,  шектеулі  ресурстарды 
тиімді пайдалану секілді экономикалық проблемалар жəне басқа 
да  маңыздылығы  бұлардан  кем  емес  мəселелер  математикалық 
тəсілдерді кеңінен қолдану арқылы табысты шешіле алады. 
Мұндай  есептер  үшін  құрамына  желілік  программалау, 
динамикалық  программалау,  ойындар  теориясы  жəне  басқа 
математикалық  пəндер  кешені  экономикалық  нысандар  мен 
процестердің  математикалық  модельдерімен  бірге  кіретін 
экономикалық-математикалық  аппарат  əзірленді  жəне  одан  əрі 
жалғасуда.  Бұл  аппаратты,  əсіресе  өнеркəсіптік  өндіріс,  ауыл 
шаруашылығы,  көлік,  экономикалық  зерттеулер  жəне  т.б. 
секілді  салаларға  қатысты  есептердің  кең  айналымын  шешуге 
мүмкіндік  беретін  желілік  программалауды  зерделеу  экономистің 
тəжірибелік жұмысында күннен-күнге қажеттілікке айналуда. 
Өздеріңізге  ұсынылып  отырған  оқу-əдістемелік  құралдың 
бастапқы  бөлімдерінде  экономиканың  əр  алуан  математикалық 
модельдерінің  арасында  ерекше  орын  алатын  желілік 
модельдерді зерттеу құралы ретіндегі желілік программалаудың 
əдістері  мен  есептері  беріледі.  Бұл  көптеген  экономикалық 
нысандар  мен  процестердің  желілік  модельдермен  жеткілікті 
дəрежеде барабар сипатталатындығымен түсіндіріледі. Сонымен 
қатар  желілік  модельдер  үшін  құрамында  тиімді  əдістердің, 
алгоритмдер  мен  программалардың  толық  кешені  бар  əмбебап 
математикалық  аппарат  əзірленген.  Тағы  да  атап  өтетін  нəрсе, 
желілік программалау есептерінің классы экономикалық есептер 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
4
мен  экономикалық  зерттеулерді  шешу  тəжірибесінде  едəуір 
зерделенген жəне кеңінен қолданылады. 
Желілік  бағадрламалаудың  көліктік  есептері  жеке  пунктпен 
бөліп  көрсетілген.  Ол  қалыптамалық  жəне  сондай-ақ    желілік 
қойылымдарда  берілген.  Сонымен  бірге  өндірісті  орналастыру 
есептерін  шешуде  қолданылуы  мүмкін  көпсатылы  көліктік 
модель де келтірілген. 
Одан  əрі  құралда  недəуір  күрделі  модельдер  мен  əдістер 
қарастырылады.  Бұл  динамикалық  программалау  əдісі, 
экономиканы  талдаудың  баланстық  əдісі  жəне  күнтізбелік 
жоспарлаудың желілік əдісі. 
Құралда  көптеген  теориялық  есептер  дəлелдемелерсіз 
берілген  жəне  əдістер  мен  алгоритмдерді  мысалдармен  жəне 
есептермен көрнекілендіруге баса назар аударылған. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
5
1. ЖЕЛІЛІК ПРОГРАММАЛАУ МІНДЕТТЕРІ  
МЕН ƏДІСТЕРІ 
 
 
1.1. Модельдер жəне модельдеу 
 
Экономикалық  талдау  мен  есептеу  əдістерін  жетілдіруде 
зерттеудің  математикалық  тəсілдерін  қолдану  үлкен  роль  атқа-
рады.  Баға  белгілеу  заңдылықтары,  өнім  бірлігіне  жұмсалатын 
еңбек  пен  материалдардың  толық  шығынын  зерделеу,  салаара-
лық  байланыстарды  зерттеу,  капитал  салымының  рентабель-
ділігі, өндірісті орналастырудың тиімділігін анықтау, өндірістік 
процесті  оңтайлы  жоспарлау,  шектеулі  ресурстарды  тиімді 
пайдалану  секілді  экономикалық  проблемалар  жəне  басқа  да 
маңыздылығы  бұлардан  кем  емес  мəселелер  математикалық 
тəсілдерді кеңінен қолдану арқылы табысты шешіле алады. 
Экономикалық-математикалық  зерттеу  негізінде  зерделеніп 
отырған  экономикалық  процесті  математикалық  модельдеу,  
яғни  бұл  процестің  сандық  заңдылықтарын  математикалық 
формулалар көмегімен сипаттау жатыр. Математикалық модель-
дердің  көптеген  анықтамалары  бар.  Солардың  ішінде,  біздің 
пікірімізше, недəуір дұрыс болып табылатын біреуін берейік. 
Математикалық  модель – математикалық  символдармен 
жазылған нақты құбылыс абстракциясы. Оны талдау осы құбы-
лыстың мəнін тереңдей ашуға мүмкіндік беретіндей етіп құрас-
тырылған. 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
Модельді 
зерделеу 
I саты 
 
Модельдің құрылуы 
Зерттеу нысаны 
Модель 
Зерттеу 
нысаны 
туралы
 
білім 
Модель 
туралы 
білім
  
III саты 
 
Білімді модельден 
нысанға аудару
 
II  
саты 
 
1-сурет 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
6
Модельдеу  дегенде  біз  модельдердің  құрылуын,  оларды 
зерделеу мен қолдануды түсінеміз. Модельдеу процесінің мəнін 
сызба түрінде 1-суреттен көруге болады. 
Модельді  құрудың  бірінші  сатысында  үш  есепті  шешу 
қажет: 
- 
зерттеу мақсатын анықтау; 
- 
негізгі шектеулерді айқындау; 
- 
зерделеп  отырған  құбылыстың  барлық  мəдеметтерінің 
сандық көрінісі. 
Зерттеу  мақсаты  есепті  шешудің  əр  түрлі  нұсқалары 
салыстырылатын  жəне  олардың  ішінен  ең  үздігі  таңдалып 
алынатын  белгісімен  (критерийімен)  сипатталады.  Əр  алуан 
экономикалық  есептерде  мұндай  критерий  ретінде  барынша 
жоғары  табыс,  өндірістің  барынша  төмен  шығындары  жəне 
басқалар таңдап алынуы мүмкін. 
Əдетте,  экономикалық  есептер  қою  барынша  тиімді 
пайдалануды қажет ететін шектеулі ресурстардың бар екендігін 
білдіреді.  Сондықтан  зерделеніп  отырған  мəселе  үшін  қандай 
ресурстардың  шешуші  болып  табылатындығын,  олардың  қоры 
қандай  екендігін  анықтау  өте  маңызды.  Ресурстар  бойынша 
барлық  шектеулер  қарама-қайшы  болмауы  керек.  Кейбір 
шектеулерді есепке алмау алынған шешімнің қолдануға тиімсіз 
болып  қалуына  жəне  керісінше  ресурстар  бойынша  қатаң 
шектеулер  қою  есептің  шешімі  аясын  тым  тарылтып  жіберуге 
əкелуі  мүмкін.  Бұл  оңтайлы  шешім  табу  мүмкіндігін  жоққа 
шығарады. 
Экономикалық 
есептерді 
шешудің 
барлығында 
да 
математикалық тəсілдер қолданыла бермейтінін атап өткен жөн. 
Бұл  үшін  қажетті  шарт  зерделеніп  отырған  мəселені 
сипаттайтын  есептер  мен  тəуелдіктердің  бастапқы  деректерінің 
сандық көрінісі болып табылады. 
Математикалық  модельді  құру  сандық  мəні  есепті  шешу 
нұсқаларының  бірін  анықтайтын  айнымалылардың  кейбір 
сандарын енгізуден басталады. Оларды х, у  жəне т.б. белгілейді. 
Оңтайлылықтың  таңдалып  алынған  критерийіне  сəйкес 
мақсатты  функция  құрылады.  Содан  соң  математикалық  теңдік 
немесе  теңсіздік  түрінде  осы  процесті  сипаттайтын  өзара 
байланыстар бейнеленеді. 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
7
Жалпы  түрде  экономикалық  есептің  математикалық  моделі 
мынадай түрге ие:   
gi (x
1
, x
2
, …, x
n
) ≤ b
i
,   
m
i
,
1
=
 
x
j
  ≥0,   
n
j
,
1
=
 
болған жағдайда функцияның экстремумын табу талап етіледі: 
 
f (x
1
, x
2
, …, x
n
) 
 
Мұндай  түрдегі  экстремальды  есептерді  шешуге  эконо-
миканың əр алуан есептерін талдау əкеледі. 
Модельдеу процесінің екінші сатысында модель зерттеу-дің 
дербес  нысанасы  ретінде  көрінеді.  Модельдік  тəжірибелер 
жүргізіледі. 
Үшінші  сатыда  модель  тілінен  түпнұсқа  тіліне  өту  жүзеге 
асады. Нəтижесінде модельдің нысана-түпнұсқаға барабар еместігі 
айқындалуы  мүмкін.  Бұл  жағдайда  модельді  түзету,  яғни 1 
сатыға
 
өту жүргізіледі. 
Осылайша,  модельдеу – бұл  циклдық  процесс,  жəне  ол 
зерттеліп  отырған  нысананы  жеткілікті  дəрежеде  нақты  бейне-
лейтін модель құрылғанға дейін жалғаса береді. 
 
1.2. Экономикалық есептердің математикалық 
модельдерін құру үлгілері 
 
Мынадай есепті қарастырайық. 
Кондитерлік  фабрика  карамельдің  А,  В,  жəне  С  үш  түрін 
өндіру  үшін  негізгі  шикізаттың  үш  түрін  пайдаланады:  қант 
ұнтағы,  сірне  жəне  жеміс  езіндісі.  Шикізаттың  əр  түрінің 1 т 
карамель өндіруге жұмсалатын нормасы 1-кестеде көрсетілген. 
Онда  фабрика  пайдаланатын  шикізаттың  əр  түрінің  жалпы 
саны,  сонымен  бірге  карамельдің  осы  түрін  сатудан  түсетін 
табыс келтірілген. 
Сатудан  барынша  жоғары  табыс  түсіретін  карамель 
өндірудің жоспарын табу керек. 
 
 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
8
1-кесте 
 
1 т карамельге жұмсалатын 
шикізаттың нормасы (т) 
 
Шикізат түрі 
А 
В 
С 
 
Шикізаттың 
жалпы саны (т) 
Қант ұнтағы 
Патока 
Жеміс езіндісі 
0,8 
0,4 
- 
0,5 
0,4 
0,1 
0,6 
0,3 
0,1 
800 
600 
120 
1 т өнімді сатудан 
түсетін табыс (тг) 
 
108 
 
112 
 
126 
 
 
Көрініп  тұрғандай,  бұл  жағдайда  модель  құру  барысында 
шешілуі  тиіс  үш  есептің  үшеуі  де  шешілді.  Дəлірек  айтсақ, 
сатудан  барынша  жоғары  табыс  түсуін  қамтамасыз  ететін 
карамель өндіру жоспарын анықтауға құрылған есептің мақсаты 
айқындалды.  Сонымен  қатар  карамельдің  барлық  түрлерін 
өндірудің  негізгі  ресурстары  жəне  олардың  қоры  анықталды. 
Үшінші есеп те шешілді, яғни карамельдің əрбір түрінің бірлігін 
өндіруге  жұмсалатын  ресурстар  нормативі  жəне  өнім  бірлігін 
сатудан түсетін табыс белгіленді. 
Енді  математикалық  модельді  құруға  кірісе  беруге  болады. 
Модельді  құру,  жоғарыда  айтылғандай,  сандық  мəні  есепті 
шешу нұсқаларының бірін анықтайтын айнымалылардың кейбір 
сандарын  енгізуден  басталады.  Бұл  жағдайда  есеп  карамель 
өндірісінің  жоспарын анықтауға құрылады. Осыған орай келесі 
айнымалыларды енгізейік: х
1
 
– А карамелін өндіру көлемі, х
2
 – В 
карамелін өндіру көлемі  жəне х
3
 – С карамелін өндіру көлемі. 
Мақсатты  функция  құралық.  Кондитерлік  фабрика  А  кара-
мелінің 1 т  сатудан 108 теңге  көлемінде  табыс  алатыны  бізге 
белгілі, ал фабрика карамельдің А түрінің х
1
 тоннасын өндіреді, 
демек, А карамелінің х
1
 тоннасын сатудан фабрика 108 х
1
 теңге 
көлемінде табыс алады. Сəйкесінше, В карамелінің х
2 
 тоннасын 
сатудан  түсетін  табыс  112 х
2
  теңгені,  ал  С  карамелінің  х
3 
 
тоннасын сатудан түсетін табыс 126 х
3 
 теңгені құрайды. Сонда 
карамельдің  барлық  түрін  сатудан  түсетін  табыстың  сомасы 
мынаған  тең  болады: 108 х
1
+112  х
2
+126  х
3
.  Демек,  мақсатты 
функция  барынша  көбейтуді  қажет  ететін  мынадай  түрге  ие 
болады:  
f (х)=108  х
1 
+ 112 х
2 
+ 126 х
3
,  мұндағы  х= (х
1 
,  х
2 
,  х
3
) – 
карамель өндірісінің жоспары. 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
9
Енді есептің шектелуін құрайық. А карамелінің 1 т өндіруге 
0,8  т  қант  ұнтағы  жұмсалатыны  бізге  белгілі,  демек,  А 
карамелінің  х
1
  тоннасын  өндіруге 0,8 х
1
  тонна  қант  ұнтағы 
жұмсалады.  Сəйкесінше,  В  карамелінің  х
2
  тоннасын  өндіруге -  
0,5 х
2
 тонна, ал С карамеліннің х
3
 тоннасын өндіруге 0,6 х
1
 тонна 
қант  ұнтағы  жұмсалады.  Осылайша,  карамельдің  барлық 
түрлерін  өндіруге  0,8х
1 
+ 0,5х
2 
+ 0,6х
3
  тонна  қант  ұнтағы 
жұмсалады.  Бұл  шығындар  фабрикадағы  қант  ұнтағы  қорынан, 
яғни 800 тоннадан  асып  кетпеуі  қажет.  Сонымен  қант  ұнтағы 
ресурсы бойынша бірінші шектелім мынадай түрде болады: 
 
0,8х
1 
+ 0,5х
2 
+ 0,6х
3 
≤ 800 
 
Сəйкесінше, карамельдің əрбір түрінің 1 тоннасына арналған 
сірне  мен  жеміс  езіндісі  шығындарының  берілген  нормативін, 
сонымен  бірге  осы  ресурстардың  фабрикада  бар  көлемін 
пайдалану арқылы шикізаттардың бұл түрін пайдалану бойынша 
шектеулер құрылады, дəлірек айтар болсақ, 
0,4х
1 
+ 0,4х
2 
+ 0,3х
3 
≤ 600 
           0,1х
2 
+ 0,1х
3 
≤ 800 
Бұл шектеулерге айнымалылардың теріссіздігі шартын қосу 
қажет  х
1 
≥ 0, х
2 
≥ 0, х
3 
  ≥  0,  себебі  карамель  өндірісінің  көлемі 
теріс бола алмайды. Осылайша, берілген экономикалық есептің 
келесі математикалық моделін алдық. 
 
          0,8х
1 
+ 0,5х
2 
+ 0,6х
3 
≤ 800 
          0,4х
1 
+ 0,4х
2 
+ 0,3х
3 
≤ 600 
          0,1х
2 
+ 0,1х
3 
≤ 800 
             х
1 
≥ 0, х
2 
≥ 0, х
3 
 ≥ 0 
 
шектеулері жағдайында  max f (х)=108 х
1 
+ 112 х
2 
+ 126 х
3
 табу 
керек.  
Математикалық  модельді  құруға  арналған  тағы  бір  есепті 
қарастырып көрейік. 
Мал азығының рационына құрамына үш өнім кіреді: пішен, 
сүрленген  шөп  жəне  ақуыз,  кальций  жəне  витаминдер  секілді 
қоректік заттары бар концентраттар. Сəйкес азық құрамындағы 

Экономикалық-математикалық әдістер 
 
10
қоректік  заттар (1 кг-ға  г-мен)  жəне  олармен  қоректенудің 
минималды қажетті нормасы төмендегі кестеде берілген: 
 
          Қоректік заттар 
 
Азық 
Ақуыз 
Кальций 
Витаминдер 
1 
Пішен 50 
6 
2 
2 
Сүрленген шөп 20 
4 
1 
Концентраттар 180 
3 
1 
3 
Тұтыну нормасы 2000 
120 40 
 
Минималды  құн  шарты  бойынша  малды  азықтандырудың 
оңтайлы рационын анықтау керек, егер 1 кг пішеннің бағасы – 3 
теңге, сүрленген шөп – 2 теңге, концентраттар 5 теңге тұратын 
болса. 
Математикалық  модельді  құру  үшін  айнымалыларды 
енгіземіз: 
х
1  
 - рациондағы пішен көлемі (кг)  
х
2
 – рациондағы сүрленген шөп көлемі (кг) 
х
3
 – рациондағы концентраттар көлемі (кг). 
Есептің  мəні  мынада:  қоректік  заттардың  минималды 
қажетті  нормасы  болатын  жəне  барынша  арзанға  түсетін 
рационды х= (х
1
, х
2
  х
3
) анықтау керек. 
Əуелі мақсатты функция құралық. Бізге белгілі, 1 кг пішен 3 
теңге  тұрады,  ал  оның  рациондағы  көлемі  х
1
  кг  болуы  қажет, 
демек рациондағы барлық пішен құны 3 х
1
 теңгеге тең болады, 
осыған сəйкес рациондағы сүрленген пішеннің құны 2 х
2
 теңге, 
ал  концентраттар  құны  5  х
3
  теңге  болады.  Осылайша, 
рационның жалпы құны 3х
1 
+ 2х
2 
+ 5х
3
 тең болады да, мақсатты 
функция мынадай түрге ие болады:  
f (х)=3х
1 
+ 2х
2 
+ 5х
3
 , 
жəне  осы  функцияның  минимумын  табу  керек.  Енді  есептің  
шектеуін құрамыз. 1 кг пішенде 50 г ақуыз болатындықтан, х
1
 кг 
пішендегі  ақуыз (50 · х
1
)  г  болады.  Сонымен  қатар 1 кг 
сүрленген  шөпте 20 г  ақуыз  бар,  демек  х
2
  кг  сүрленген  шөпте 
(20 · х
1
)  г  ақуыз  болады.  Ақуыз  концентраттарда  да  болады, 
дəлірек айтсақ, (180· х
3
) г. Осылайша, толық рациондағы ақуыз 
көлемі  50х
1 
+ 20х
2 
+ 180· х
3  
болады  жəне  ол  тұтынудың 

Әлжанова Н.Ш., Сәбитова Х.К. 
 
11
минималды қажетті нормасынан кем болмауы қажет, яғни 2000 
г-нан кем болмайды. Сонымен мынадай қатынас аламыз: 
50х
1 
+ 20х
2 
+ 180х
3  
≥ 2000 
Осындай  жолмен,  əрбір  кг  пішендегі,  сүрленген  шөп  пен 
концентраттағы  кальций  мен  витаминдердің  нормативін, 
сонымен  қатар  оларды  тұтынудың  минималды  қажетті 
нормасын пайдалана отырып, төмендегі шектеулерді аламыз: 
6х
1 
+ 4х
2 
+ 3х
3  
≥ 120, 
2х
1 
+ х
2 
+ х
3  
≥ 40 
Айнымалылардың  теріс  еместігі  бойынша шектеулерді  қоса 
отырып, берілген экономикалық есептің  
50х
1 
+ 20х
2 
+ 180х
3   
≥ 2000 
6х
1 
+ 4х
2 
+ 3х
3  
≥  120 
2х
1 
+ х
2
+ х
3 
≥ 40 
х
1 
≥ 0, х
2 
≥ 0, х
3 
 ≥ 0 
шектеулері  жағдайындағы  мынадай  математикалық  моделін 
аламыз: 
minf (х)=3х
1 
+ 2х
2 
+ 5х
3
 
 
1.3. Желілік программалау есептерін қою, оны шешудің 
негізгі қасиеттері 
 
ЖП жалпы есебі мынадай түрге ие: 
n
r
m
k
где
r
j
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
j
m
n
mn
m
m
k
n
n
k
k
k
k
n
kn
k
k
n
n
<
<
=
≥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
+
+
=
+
+
+
+
≤
+
+
+
≤
+
+
+
+
+
+
,
,
,
1
,
0
,
2
2
1 1
1
1
2
12
1
,
1
1
2
2
1 1
1
1
2
12
11 1
Λ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Λ
Λ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Κ
Λ