ISSN 1991- Образ Полу характери проведен  методом  с таблице 3 -3494

Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан  
 
 
   
16  
Таблица 3 – Содержание нефтепродуктов в составе нефтяных шламов 
 
Содержание 
нефтепродуктов,  
мг/кг 
№ 1 
№ 2 
№ 3 
№ 4 
№ 5 
269,9 35,384 151,8 432,3 222,18 
 
Анализ  полученных  результатов,  обзор  литературных  источников  и  изучение  производ-
ственных  процессов  дают  основание  на  предположение,  что  нефтешламы  нефтяных  место-
рождений Западных регионов Казахстана могут быть рассмотрены в качестве источников топлива, 
применяться в производстве строительных и гидроизоляционных материалов, битумов и керамзита 
и др. 
 
ЛИТЕРАТУРА 
 
[1]
 
Боковикова  Т.Н.,  Шпербер  Е.Р.,  Шпербер  Д.Р.  Разработка  ресурсосберегающих  технологий  утилизации 
нефтешлама // Защита окружающей среды в нефтегазовом комплексе. – 2009. – № 10. – С. 35-38. 
[2]
 
Ягафарова  Г.Г.,  Насырова  П.А.,  Шахова  Ф.А.  Инженерная  экология  в  нефтегазовом  комплексе. – Уфа:  Изд-во 
УГНТУ, 2007. – С. 33-34. 
[3]
 
Жаров  О.А.,  Лавров  В.Л.Современные  методы  переработки  нефтешламов // Экология  производства.  –  2004.  –              
№ 5. – С. 43-51. 
[4]
 
Магид А.Б, Купцов А.В, Шайбаков Р.А. Технологические процессы переработки нефтешламов // Вестник АтИНГ. 
– 2005. – С. 82-86. 
 
REFERENCES 
 
[1]
 
Bokovikova T.N., Sperber E.R., Sperber D.R. Protection of the environment in the oil and gas sector, 2009, 10, 35-38. (in 
Russ.) 
[2]
 
Yagafarova G.G., Nasyrova P.A., Yadav F.A. Engineering ecology in oil and gas complex. Ufa:  Izd.  UGNTU,  2007.                  
P. 33-34. (in Russ.) 
[3]
 
Zharov O.A., Lavrov V.L. Ecology of production, 2004, 5, 43-51. (in Russ.) 
[4]
 
Magid A.B., Kuptsov A.V., Shaybakov R.A. Technological processes of oil sludge processing // Bulletin AtING, 2005, 
82-86. (in Russ.) 
 
 
МҰНАЙ ШЛАМДАРЫН ЗЕРТТЕУ ЖƏНЕ ӨНДІРІСТЕ ҚОЛДАНУ 
 
М. Ж. Алмагамбетова, Г. Х. Қонырбаева  
 
Жəңгір хан атындағы Батыс Қазақстан аграрлық-техникалық университеті, Орал, Қазақстан 
 
Тірек сөздер: мұнай шламдары, фракциялы құрамы, асфальтендер, шайырлар, рентгенді-флуоресцентті 
спектрометр. 
Аннотация. Мақалада Батыс Қазақстан аймағының кен орындарының мұнай шламдарын зерттеу мəлі-
меттері  келтірілген.  Мұнай  шламдарының  физика-химиялық  қасиеттерін  зерттеу,  оларды  екіншілік  ресурс 
ретінде өңдеп, қолдануға қорытынды жасауға мүмкіндік береді. 
 
Поступила 15.01.2015 г. 
 
 
 

ISSN 1991-3494                                                                                                                                                № 1. 2015 
 
 
17 
BULLETIN OF NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES  
OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN 
ISSN 1991-3494 
Volume 1,  Number 353 (2015),  17 – 25 
 
 
DISCRETE CHARACTER OF THE LAW  
OF CHI-SQUARE DISTRIBUTION CRITERION  
FOR SMALL TEST SELECTIONS OF VALUES 
 
B. B. Akhmetov
1
, A. I. Ivanov
2
, N. I. Serikova
3
, Ju. V. Funtikova
2 
 
1
International Kazakh-Turkish University named after Kh.A. Yassavi, Turkestan, Kazakhstan, 
2
 Penza scientific-research electrotechnical institute, Penza, Russia, 
3
 "Rubin" JSC, Penza, Russia. 
E-mail: berik.akhmetov@iktu.kz; ivan@pniei.penza.ru 
 
Key words: chi-square distribution of values, fractals, fractional exponent of number of degrees of freedom, 
histogram, reduction of volumes of test selection, discrete law of distribution of values. 
Abstract. It is proved that at small test selections the number of states of the chi-square distribution is finite and 
generates a discrete range of possible output states. The number of degrees of freedom of chi-square distributions is 
always fractional. Today practiced usage of the whole values of an indicator of number of degrees of freedom leads 
to unjustified overestimate of volumes of test selection and decrease in reliability of estimates. Attempts of reduction 
of volume of test selection inevitably result in need to consider the number of degrees of chi-square distributions as 
fractal size. 
 
 
УДК 519.2; 519.66; 57.087.1 
 
ДИСКРЕТНЫЙ ХАРАКТЕР ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ  
ХИ-КВАДРАТ КРИТЕРИЯ ДЛЯ МАЛЫХ ТЕСТОВЫХ ВЫБОРОК  
 
Б. Б. Ахметов
1
, А. И. Иванов
2
, Н. И. Серикова
3
, Ю. В. Фунтикова
2
  
 
1
Международный Казахско-Турецкий университет им. Х. А. Ясави, Туркестан, Казахстан,  
2
Пензенский научно-исследовательский электротехнический институт, Россия, 
3
ОАО «Рубин», Пенза, Россия 
 
Ключевые слова: хи-квадрат распределение значений, фракталы, дробный показатель числа степеней 
свободы, гистограммы, сокращение объемов тестовой выборки, дискретный закон распределения значений. 
Аннотация.  Доказано,  что  при  малых  тестовых  выборках  число  состояний  хи-квадрат  распределения 
конечно и порождает дискретный спектр возможных выходных состояний. Число степеней свободы хи-квад-
рат распределений всегда является дробной величиной. Практикуемое сегодня использование целых значе-
ний показателя числа степеней свободы приводит к неоправданному завышению объемов тестовой выборки 
и снижению достоверности оценок. Попытки сокращения объема тестовой выборки неминуемо приводят к 
необходимости считать число степеней хи-квадрат распределений фрактальной величиной. 
 
Введение. В настоящее время критерий хи-квадрат проверки статистических гипотез является 
основой  большинства  отраслевых  методик.  Это  обусловлено  тем,  что  имеются  рекомендации 
Госстандарта России [1]. В частности, по этим рекомендациям необходимо для проверки гипотезы 
нормальности  закона  распределения  на N опытах  построить  гистограмму,  содержащую k 
 N/5 
интервалов,  равномерно  разбивающих  весь  динамический  диапазон  экспериментальных  данных. 
Далее следует рассчитать значение хи-квадрат критерия по следующей формуле:  

Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан  
 
 
   
18  












k
1
i
i
2
i
i
2
p~
p~
N
b
N
 ,                                                           (1) 
где  b
i
 – число  опытов,  попавших i-тый  интервал  гистограммы, 
i
p~
 – ожидаемая  теоретическая 
вероятность  попадания  в i-тый  интервал  гистограммы  при  нормальном  законе  распределения 
значений. 
Для  последующей  проверки  гипотезы  используется  хи-квадрат  распределение  с m=k-3 
степенями  свободы.  Обоснование  такого  выбора  числа  степеней  свободы  обусловлено  тем,  что 
Пирсон  доказал  сходимость  распределения (1) к m=k-1 при  большом  числе  опытов,  однако  это 
значение  понижают  на 2 из-за  того,  что  на  той  же  тестовой  выборке  вычисляют  математическое 
ожидание и среднеквадратическое отклонение нормального закона распределения.  
В итоге возникает тупиковая ситуация при N=10, k=2, тогда m= -1. Аналогично при N=15, k=3, 
тогда m= 0. Отрицательным и нулевым число степеней свободы быть не может и соответственно 
хи-квадрат для малых тестовых выборок оказывается не применим. 
Численный  эксперимент,  доказывающий  существование  дискрентного  спектра  состоя-
ний хи-квадрат распределений при малом числе степеней свободы нормального закона рас-
пределения  значений.  Ряд  фундаментальных  континуально-квантовых  эффектов,  присутст-
вующих  при  привычной  всем  статистической  обработки  данных  трудно  наблюдаемы  (не 
очевидны).  Нужно  специально  организовывать  численный  эксперимент,  который  позволит  на-
дежно зафиксировать эффект.  
Проще  всего  эффект  наблюдается,  если  использовать N=10, применить  гистограмму, 
состоящую  из  двух  столбиков  с  разделителем  в  точке  математического  ожидания  исследуемого 
распределения. Реализуется этот эксперимент использованием нормального генератора вектора из 
10  случайных  чисел  с  нулевым  математическим  ожиданием  и  единичной  дисперсией.  Много-
кратный запуск этого генератора дает следующие примеры векторов: {5, 5}, {4, 6}, {5, 5}, {7, 3}, 
{6, 4},…. Ожидаемые  вероятности  попадания  в  первый  и  второй  интервалы  будут  всегда 
одинаковы 
5
.
0
p~
p~
2
1


. Как следствие, выражение (1) дает дискретный спектр конечного числа 
состояний: 0.0 – 139 раз, 0.2 – 6 раз, 0.4 – 183 раз, 1.0-6 раз, 1.6 -133 раза, 2.6 – 1 раз, 3.6-53 раза, 
6.4- 13 раз, 10.0 – 1 раз из 535 опытов. Пример одной из реализаций спектра состояний выражения 
(1), отображен на рисунке 1.  
 
 
 
Рисунок 1 – Пример конечного спектра выходных состояний хи-квадрат распределения 10 опытов  
(минус одна степень числа степеней свободы в теории [1]) 
 
 
Если  мы  будем  использовать  выборку  из 15 опытов,  полученных  от  генератора  случайных 
чисел с нормальным законом  распределения  значений  и  повторим  эксперимент 535 раз, то  полу-
чится хи-квадрат спектр, отображенный на рисунке 2.  

ISSN 1991-3494                                                                                                                                                № 1. 2015 
 
 
19 
 
 
Рисунок 2 – Пример конечного спектра выходных состояний хи-квадрат распределения 15 опытов нормальный закон 
(нулевой показатель числа степеней свободы в теории [1]) 
 
 
Значительный  рост  числа  спектральных  линий  обусловлен  тем,  что  для 15 опытов  строится 
гистограмма, содержащая три  интервала. Каждый из 535 опытов  дает  соответствующие  примеры 
частот попадания в три разных интервала: {2, 8, 5}, {4, 9, 2}, {5, 8, 3}, … Для нормального закона 
распределения значений ожидаемые теоретические вероятности составят 
,
159
.
0
p~
1

 
682
.
0
p~
2

, 
159
.
0
p~
682
.
0
p~
3
2


.  Подстановка этих данных в выражение (1) приводит к появлению серии 
из 22 спектральных линий в интервале от 0 до 7 разной интенсивности. 
Еще  большее  усложнение  спектра  происходит,  если  использовать  тестовые  выборки  из                 
20  опытов.  В  этом  случае 535 опытов  дает  спектр  хи-квадрат  распределения,  отображенный  на 
рисунке 3.  
 
 
 
Рисунок 3 – Пример дискретного спектра выходных состояний хи-квадрат распределения для 20 опытов  
при нормальном законе распределения данных (единичный показатель числа степеней свободы в теории [1]) 
 
 
Всего  в  интервале  от 0 до 7 удается  обнаружить 53 спектральные  линии  с  разной  степенью 
интенсивности. Данные об этих спектральных линиях приведены в таблице 1.  
Дальнейшее  увеличение  размеров  тестовой  выборки  приводит  к  еще  большему  росту  числа 
спектральных  линий.  Спектр  состояний  хи-квадрат  для 25 опытов  имеет  уже  более 300 линий 
(рисунок 3).  
 
 

Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан  
 
 
   
20  
Таблица 1 – Положение и интенсивность 85 обнаруженных спектральных линий хи-квадрат распределения  
для выборки из 20 данных, полученных от генератора псевдослучайных данных с нормальным законом распределения  
в серии из 631 повторения 
 

2
 
b
i
 
0.199 
21 
0.43 
23 
0.475 
46 
0.751 
6 
0.937 
31 
0.982 
17 
1.123 
21 
1.647 
34 
1.675 
14 

2
 
b
i
 
1.692 
12 
1.861 
13 
1.923 
20 
2.109 
32 
2.243 
5 
2.278 
9 
2.474 
14 
2.616 
20 
2.750 
9 

2
 
b
i
 
2.829 
2 
3.033 
13 
3.095 
7 
3.167 
16 
3.212 
6 
3.246 
15 
3.326 
15 
3.460 
19 
3.770 
6 

2
 
b
i
 
3.894 
5 
3.922 
10 
4.018 
6 
4.136 
1 
4.322 
6 
4.418 
11 
4.446 
2 
4.749 
3 
4.846 
5 

2
 
b
i
 
4.980 
1 
5.094 
1 
5.173 
12 
5.387 
3 
5.521 
4 
5.673 
1 
5.735 
6 
5.973 
2 
6.197 
6 

2
 
b
i
 
6.231 
4 
6.266 
5 
6.473 
2 
6.524 
1 
6.952 
8 
7.121 
2 
7.166 
2 
7.465 
6 
8.079 
1 

2
 
b
i
 
8.320 
2 
8.472 
1 
8.506 
1 
8.513 
2 
8.575 
4 
8.799 
2 
8.868 
1 
8.934 
2 
8.934 
2 

2
 
b
i
 
10.39 
1 
10.95 
2 
11.35 
2 
11.41 
1 
11.46 
2 
11.52 
1 
11.64 
1 
12.80 
2 
13.09 
2 

2
 
b
i
 
14.23 
1 
14.58 
1 
15.03 
1 
17.89 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 3 – Пример спектра выходных состояний хи-квадрат распределения 25 опытов нормальный закон  
(степень свободы для хи-квадрат распределения 2 в теории [1]) 
 
Численный эксперимент, доказывающий существование дискретного спектра состояний 
хи-квадрат  распределений  при  малом  числе  степеней  свободы  равномерного  закона 
распределения значений. Следует подчеркнуть, что методика проверки статистических гипотез с 
помощью критерия хи-квадрат [1] универсальна. В связи с этим повторим численный эксперимент 
для равномерного закона распределения значений при тех же условиях 10, 15, 20, 25 опытов. При 
этом  возникает  тот  же  эффект  дискретных  спектров  возможных  состояний  хи-квадрат  распре-
делений. 
В  частности,  для 10 опытов  в  тестовой  выборке  при  проведении 535 экспериментов  хорошо 
наблюдаются 5 спектральных линий: 0.0 – 126 раз, 0.4 – 224 раза, 1.6 - 136 раз, 3.6 - 39 раз, 6.4 – 7 раз. 
Пример распределения спектров данных, полученных для 535 экспериментов, дан на рисунке 4.  
Если  сравнить  рисунок 1 и  рисунок 4, станет  очевидным  различие  спектров,  которые  дают 
нормальный и  равномерный законы распределения значений. Спектр  нормального  закона  богаче, 
он  дает 4 дополнительных  линий: 0.2, 1.0, 2.6, 10.0. Появление  дополнительных  спектральных 
линий  в  спектре  хи-квадрат  распределения  нормального  закона  нельзя  списать  на  ошибку  про-
граммирования.  Это  устойчиво  повторяющийся  факт.  Многократное  повторение  численных 
экспериментов  всегда  приводит  к  появлению  дополнительных  спектральных  линий  нормального 
закона распределения. 

ISSN 1991-3494                                                                                                                                                № 1. 2015 
 
 
21 
 
Рисунок 4 – Спектр хи-квадрат распределения (1) для 10 отсчетов равномерного закона распределения 
 
В целом же  спектры нормального  и  равномерных законов  имеют очень  большие  отличия  по 
положению  самих  спектральных  линий  и  их  интенсивности.  Для  того  чтобы  убедиться  в  этом, 
достаточно  сравнить  спектр  рисунка 2 и  спектр  рисунка 5, построенные  для  одной  и  той  же 
выборки в 15 опытов для нормального и равномерного законов.  
 
 
Рисунок 5 – Пример конечного спектра выходных состояний хи-квадрат распределения 15 опытов  
с равномерным законом (нулевая степень свободы в теории [1]) 
 
Участок  спектра  нормального  закона  распределения  от 0 до 7 (рисунок 2) имеет 22 спек-
тральные линии. На рисунке 5 тот же динамический диапазон хи-квадрат имеет 51 спектральную 
линию.  Чем  выше  размерность  задачи,  тем  существеннее  различия  между  спектрами.  Следует 
отметить, что сложность спектра (число линий в спектре) является не монотонной функцией. Этот 
эффект  ярко  выражен  и  хорошо  наблюдаем.  В  частности,  если  перейти  к 20 опытам (4 столбцам 
гистограммы), равномерное распределение дает упрощение спектра (рисунок 6). 
 
Рисунок 6 – Упрощение спектра при переходе к 20 опытам для равномерного закона распределения значений 

Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан  
 
 
   
22  
Таблица 2 – Положение и интенсивность 29 обнаруженных спектральных линий хи-квадрат распределения выборки  
из 20 данных, полученных от генератора псевдослучайных данных с нормальным законом распределения значений  
в серии из 631 повторений 
 

2
 
b
i
 
0.00 
4 
0.40 
5 
0.80 
70 
1.20 
97 
1.60 
67 
2.00 
62 
2.40 
20 
2.80 
91 
3.20 
4 

2
 
b
i
 
3.60 
43 
4.00 
18 
4.40 
19 
4.80 
16 
5.2 
41 
6.00 
13 
6.40 
3 
6.80 
10 
7.20 
8 

2
 
b
i
 
7.60 
7 
8.00 
1 
8.40 
4 
8.80 
3 
9.20 
4 
9.60 
1 
10.00 
7 
10.80 
4 
11.20 
2 

2
 
b
i
 
12.40 
2 
22.00 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
В  таблице 2 приведены  значения  положений  и  интенсивности 29 обнаруженных  в  спектре 
линий. 
Проверка утверждения Пирсона. Проверим утверждение Пирсона о том, что число степеней 
свободы хи-квадрат распределения в пределе действительно являются целыми величинами m = k-1. 
Для  этой  цели  будем  считать  математическое  ожидание  данных  и  среднеквадратическое 
отклонение  известными  величинами.  Далее  будем  вычислять  хи-квадрат  критерий (1) для  нор-
мального и равномерного законов распределения значений. При этом будем повторять опыты, пока 
не убедимся, что результат вычислений стабилизировался. Обычно результат стабилизируется при 
проведении  нескольких  миллионов  опытов.  Данные  численных  экспериментов  для  нормального 
закона приведены в таблице 3. Данные численного эксперимента для равномерного закона приве-
дены в таблице 4. 
 
Таблица 3 – Целые показатели числа степеней свободы - m для плотности распределения значений хи-квадрат  
при поверке гипотезы нормального закона распределения значений по гистограмме, состоящей из k – столбцов 
 
Число опытов 
Столбцы 
гистограммы k 
11 
 
2 
12 
 
2 
13 
 
3 
14 
 
3 
15 
 
3 
16 
 
3 
17 
 
3 
18 
 
4 
Вычисленное 
m  1.0 1.0 2.0 2.0 2.0 2.0 
2.0 
3.0 
Теоретическое 
m 1 1 2 2 2 2 
2 
3 
 
Число опытов 
Столбцы 
гистограммы k 
19 
 
4 
20 
 
4 
21 
 
4 
22 
 
4 
23 
 
5 
24 
 
5 
25 
 
5 
26 
 
5 
Вычисленное 
m  3.0 3.0 3.0 3.0 4.0 4.0 
4.0 
4.0 
Теоретическое 
m 3 3 3 3 5 5 
5 
5 
 
Число опытов 
Столбцы 
гистограммы k 
27 
 
5 
28 
 
6 
29 
 
6 
30 
 
6 
31 
 
6 
32 
 
6 
33 
 
7 
34 
 
7 
Вычисленное 
m  4.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 
6.0 
6.0 
Теоретическое 
m 4 5 5 5 5 5 
6 
6 
 
Число опытов 
Столбцы 
гистограммы k 
35 
 
7 
36 
 
7 
37 
 
7 
38 
 
8 
39 
 
8 
40 
 
8 
41 
 
8 
42 
 
8 
Вычисленное 
m  6.0 6.0 6.0 7.0 7.0 7.0 
7.0 
7.0 
Теоретическое 
m 6 6 6 7 7 7 
7 
7 
 
Сравнивая  таблицу 3 и  таблицу 4, легко  заметить,  что  утверждение  Пирсона  верно  для                    
18  опытов  и  более.  В  этом  случае  число  степеней  свободы  в  пределе  действительно  являются 
целыми  величинами m = k-1. Для  числа  опытов  менее 18 показатель  числа  степеней  свободы 
вполне  может  являться  дробной  величиной  для  всех  законов  распределения  значений,  кроме 
нормального закона. 
 

жүктеу/скачать 3,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: