Национальной академии наук республики казахстан

Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан  
 
 
   
22  
Heat equations are solved by the help of so called IEF method (Integral Error Functions or Hartree 
functions method) and  properties of Integral Error Functions which were introduced by Hartree in 1935 
and reasonably sometimes called Hartree functions. 
The integral error functions were determined by recurrent formulas 
v
erfcvd
i
erfcx
i
x
n
n




1
,      n=1,2,…        
v
d
v
erfcx
erfcx
i
x





)
exp(
2
2
0

 
  (1) 
where  
 





x
dv
v
erfcx
erfx
0
2
)
exp(
2
1

   
 
(2) 
One can obtain from                                                                                                   





x
n
n
dv
v
x
v
n
erfcx
i
)
exp(
)
(
!
1
2
2

 
 
 
 
 
 
 
 
(3) 
Expressions (1) satisfy the differential equation 
0
2
2
2
2



erfcx
ni
erfcx
i
dx
d
x
erfcx
i
dx
d
n
n
n
 
 
 
 
 
 
 (4) 
and recurrent formulas 
erfcx
xi
erfcx
i
erfcx
ni
n
n
n
1
2
2
2




 
 
 
 
 
 
 
   (5) 
Integral  Error  Functions  are  very  useful  for  investigation  of  heat  transfer,  diffusion  and  other 
phenomena which can be described by the equation                    
2
2
2
x
u
a
t
u





 
 
 
 
 
 
 
 
(6)          
region  
))
(
0
,
0
(
t
x
t
D




  with free boundary  
)
(t
x


  , since the functions 
t
a
x
erfc
i
t
t
x
u
n
n
n
2
)
,
(
2



 
suffice the equation  (6) as well as their linear combination or even series 
)]
,
(
)
,
(
[
)
,
(
0
t
x
u
B
t
x
u
A
t
x
u
n
n
n
n
n






 
For any constants A
n
, B
n
.We can choose these constants to satisfy the boundary conditions at x=0 and 
x=a(t), if  given boundary functions can be expanded into Maclaurin series with powers t or 
t
. 
1.2 Properties of Integral Error Functions 
It is possible to derive properties of Integral Error Functions. 
If  
n
 is an integer, then    
2
2
!
2
1
)
(
!
2
1
)
1
(
)
(
1
1
x
n
n
x
n
n
n
n
n
n
n
e
dx
d
e
n
ix
H
i
n
erfcx
i
x
erfc
i








with
1


i
    and    Hermite 
polynomials  
)
(x
H
n
  in the right side.  Indeed, using formula (1) one can write 
)
(
!
2
1
)
exp(
)
(
!
2
)
exp(
)
(
!
2
)
1
(
  
          
)
exp(
)
(
!
1
2
)
1
(
)
(
    
          
1
2
2
2
ix
H
i
n
dv
v
x
v
n
dv
v
x
v
n
dv
v
x
v
n
erfcx
i
x
erfc
i
n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
n
n



























 
(7) 
Using formula for Hermite polynomials one can derive                                           

ISSN 1991-3494                                                              
№ 5. 2014 
 
 
23 













2
0
1
2
2
)!
2
(
!
2
)
1
(
)
(
n
m
m
m
n
n
n
n
m
n
m
x
erfcx
i
x
erfc
i
  
 
 
 
 
(8) 
If
2
n
k

, then 
2(
)
2
2
2
1
0
 
 (
)
2
!(2
2 )!
k m
k
k
k
m
m
x
i erfc x i erfc
x
m
k
m




 


 
In particular 
 
 (
)
2
erfc x erfc
x

 
, 
2
2
2
1
 
 (
)
2
i erfc x i erfc
x
x

  
 , 
4
4
2
4
1
1
1
 
 (
)
8
4
12
i erfc x i erfc
x
x
x

  

. 
If
2
1
n
k


, then 
2(
) 1
2
1
2
1
2
1
0
(   )
 
2
!(2
2
1)!
k m
k
k
k
m
m
x
i
erfc
x
i
erfc x
m
k
m












 
 
 
 
 
(9) 
In particular 
(   )
 
2
ierfc
x
ierfc x
x
 

, 
3
3
3
1
1
(   )
 
2
3
i erfc
x
i erfc x
x
x
 


 , 
5
5
3
5
3
1
1
2
 (- )
 
2 2!
2 2! 3!
5!
i erfc
x
i erfc x
x
x
x





 
. 
The proof of the formula 
)
(
!
2
1
)
1
(
)
(
2
2
1
erfx
e
dx
d
e
n
erfcx
i
x
erfc
i
x
n
n
x
n
n
n
n






 
 
 
 
 
(10) 
where 





x
dv
v
erfcx
erfx
0
2
)
exp(
2
1

 
can be obtained by mathematical induction method using recurrent formula (5). 
 
 
 
(11) 
Using L’Hopital rule and representation (1), it is not difficult to show that 
!
2
)
(
lim
n
x
x
erfc
i
n
n
x




 
 
 
 
 
 
 
    (12) 
Using  property 2 one can derive following formula  
 
Where 
u(x,t) 
is 
Heat 
polynomial 
which 
exactly 
satisfy 
Heat 
Equation 
where
 
2. Problem Statement 
2.1  It  is  required  to  find  the  solution  of  Heat  Equation  with  moving    (known)  boundary  that 
degenerate at the initial time 
 
 
 
 
                       (13) 

Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан  
 
 
   
24  
where
 
 
 
 
 
(14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(15) 
   
 
 
 
 
 
 
 
(16) 
   
 
 
 
 
 
 
 
            (17) 
From property (4) section 1.2 we consider solution in the form of Heat Polynomials 
 
 
(18) 
2.2 Method of solution 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
(19) 
Taking k times derivatives from both sides of expression (16) we get 
 coefficients as following 
 
yields 

ISSN 1991-3494                                                              
№ 5. 2014 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
(20) 
   
 
 
 
 
 
 
(21) 
To  find  the  remaining  unknown  coefficients 
    we  use  multinomial  coefficients  of  Newton’s 
Polynomial. 
Newton’s Polynomial 
   
 
(22) 
 
is a multinomial coefficient 
In our case where 
   
 
           (23) 
we have 
= 
             (24) 
where  
 
 
 
           (25) 
isa multinomial coefficient in our case. 
 
 
 
 
 (26) 
We substitute (21) into (22) and get 
 

Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан  
 
 
   
26  
=
(27) 
Since 
  function  is  analytic  and  can  be  expanded  into  Maclaurin  series  we  can  easily  derive 
recurrent  formula  for 
  coefficients  by  taking  both  sides  of  expression  (27)  2k  and  2k+1  times 
derivatives and equate coefficients of both sides. 
 
=
(28) 
 
 
=
(29) 
 
 
=
(30) 

ISSN 1991-3494                                                              
№ 5. 2014 
 
 
27 
 
 
=
(31) 
Where 
  for  even 
derivatives 
and  
 
for odd derivatives. 
Thus coefficients of second type b.v.p. can be obtained from above two recurrent formulas 
3. Discussion and conclusion 
Main  result  namely  coefficients
, 
  of  expression  (18)  are  obtained  by  recurrent  formulas 
(30), (31) and (21) respectively.This method can be applied in the heat and mass transfer problems which 
include phase transformations particularly in mathematical models of arc phenomena in electrical contacts 
which are based on Stefan type problems. 
Acknowledgements 
First author would like to thank research supervisor Academician of National Academy of Sciences 
of Kazakhstan, Prof., Dr., S.N.Kharin for his great support, comments and suggestions.  
 
REFERENCES 
 
[1] V. Alexiades and A. D. Solomon, Mathematical Modeling of Melting and Freezing Processes, 
Taylor and Francis, Washington, DC, 1993. 
[2] J. Crank, Free and Moving Boundary Problems, Clarendon Press, London, 1984. 
[3] A. Friedman, Free boundary problems for parabolic equations I. Melting of solids,J.Math. 
Mech., 8 (1959), pp. 499–517. 
[4] S. C. Gupta, The Classical Stefan Problem: Basic Concepts, Modelling and Analysis,North– 
Holland Ser. Appl. Math. Mech., Elsevier, Amsterdam, London, 2003. 
[5] L. I. Rubinstein, The Stefan Problem, Transl. Math. Monogr. 27, AMS, Providence, RI, 1971. 
[6]  D.  A.  Tarzia,  A  bibliography  on  moving-free  boundary  problems  for  the  heat-diffusion  equation.  The  Stefan  and  related 
problems, MAT - Ser. A, 2 (2000), pp. 1–297. 
[7] A.N. Tikhonov, A.A. Samarski, Equations of Mathematical Physics. Gostechteorizdat, 1951.  
[8] Malik Mamode, Two phase stefan problem with boundary temperature conditions: an analytical approach, 2013, Siam J. Appl. 
Math.Vol. 73, No. 1, pp. 460–474 
 
ЖЫЛУ ӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІНІҢ ЖЫЛУ ПОЛИНОМДАРЫ АРҚЫЛЫ ШЕШІМІ 
 
М.М. Сарсенгельдин, А. Арынов, А. Жетибаева, С. Гуверджин 
 
Аннотация.  Бастапқы  уақытта  құлдырайтын,жылжымалы  шекарасы  бар  аймақтарда  жылу  өткізгіштік 
теңдеудің жылу полиномдар арқылы аналитикалық шешімі табылған.  
 
 

Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан  
 
 
   
28  
BULLETIN OF NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES  
OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN 
ISSN 1991-3494 
Volume  5,   Number   5(2014),  28 – 34 
 
 
UDC: 519.7; 519.66; 612.087.1 
 
ALGORITHM OF ARTIFICIALLY INCREASING THE NUMBER  
OF DEGREES OF FREEDOM IN THE ANALYSIS OF BIOMETRIC 
DATA BY CHI-SQUARED CONSENT 
B.S.Akhmetov
1
, А.I.Ivanov
2
, N.I. Serikova
3
 , Yu.V. Funtikova
3
 
b_akhmetov@ntu.kz, ivan@pniei.penza.ru 
1
Kazakh national technical university named after K.I.Satpayev, Almaty 
2
Penza scientific-research electrotechnical institute, Russia 
3
Penza university, 
 
Penza, Russia 
 
Key  words:  the  selection  of  the  biometric  data,  artificial  neural  network,  assessment  of  the  reliability  of 
statistical hypotheses, the Chi-square. 
Abstract.  The  procedure  of  "smoothing"  histograms  in  assessing  the  reliability  of  statistical  hypotheses  is 
considered.  It  is  shown  that  for  small  samples,  classical  histograms  poorly  approximate  the  observed  law  of 
distribution  of  biometric  parameters  values.  Smoothing  of  histograms  by  digital  filter  can  theoretically  make  the 
number of degrees of  freedom  of the  chi-square consent  higher than  the number of examples  in the test sample of 
biometric data. This allows to increase the power of the chi-square consent and, consequently, increase the accuracy 
of decisions. 
 
УДК: 519.7; 519.66; 612.087.1 
 
АЛГОРИТМ ИСКУССТВЕННОГО ПОВЫШЕНИЯ ЧИСЛА 
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ПРИ АНАЛИЗЕ БИОМЕТРИЧЕСКИХ 
ДАННЫХ ПО КРИТЕРИЮ СОГЛАСИЯ ХИ-КВАДРАТ 
 
Б.С. Ахметов
1
,  А.И. Иванов
2
, Н.И. Серикова
3
,  Ю.В. Фунтикова
3
 
 
1
Казахский национальный технический университет имени К.И. Сатпаева, г. Алматы 
2
Пензенский научно-исследовательский электротехнический институт, Россия 
3
Пензенский государственный университет, Россия 
 
Ключевые  слова:  выборка  биометрических  данных,  искусственные  нейронные  сети,  оценка 
достоверности статистических гипотез, критерий хи-квадрат. 
Аннотация.  Рассматривается  процедура  «сглаживания»  гистограмм  при  оценке  достоверности 
статистических гипотез. Показано, что при малых выборках классические гистограммы плохо приближают 
наблюдаемый  закон  распределения  значений  биометрического  параметра.  Сглаживание  гистограмм 
цифровым фильтром теоретически позволяет сделать число степеней свободы хи-квадрат критерия согласия 
выше,  чем  число  примеров  в  исследуемой  выборке  биометрических  данных.  Это  позволяет  увеличивать 
мощность хи-квадрат критерия согласия и, соответственно, увеличить достоверность принимаемых решений. 
 
Введение. Классическая статистика создавалась в конце 19 века и начале 20 века. В это время  
не  было  возможности  создавать  сложные  алгоритмы  обработки  данных  из-за  отсутствия  ЭВМ.  
Ситуация изменилась в конце 20 века, однако ряд заложенных ранее стереотипов в статистических 
пакетах обработки данных сохранились.  
___________________ 
1  Статья  подготовлена  в  рамках  выполнения  проекта  «Исследование  вариантов  реализации  и  разработка 
действующего  лабораторного  образца  ON-LINE  системы  биометрического  обезличивания  электронных  историй 
болезней для медицинского учреждения»  в соответствии с Приказом Председателя Комитета науки МОН РК №17-нж от 
08.04.2013 г  

ISSN 1991-3494                                                              
№ 5. 2014 
 
 
29 
В  биометрии,  как  и  в  других  областях  знаний,  активно  используется  хи-квадрат  критерий 
проверки  статистических  гипотез.  Если  идти  по  пути  создания  классических  гистограмм  с 
последующим их использованием для проверки гипотезы нормальности, то требуется  выборка от 
50  до  200  данных  [1],  например,  полученных  предъявлением,  соответствующей,  базы 
биометрических образов «Чужой» и/или «Свой» [2].  
При  минимальном  размере  50  примеров  можно  ожидать,  что  в  динамическом  диапазоне 
наблюдаемого  параметра  может  быть  размещено  10  столбиков  гистограммы  со  средним  числом 
попаданий в каждый из интервалов 5 раз.  
Если  учитывать,  что  математическое  ожидание  и  среднеквадратическое  отклонение 
вычисляются по этой же выборке, то возможно использование хи-квадрат критерия с 8 степенями 
свободы.   
Мощность критерия хи-квадрат согласия растет с ростом числа степеней свободы (с ростом, 
числа  столбиков  гистограммы).  Возникает  вопрос  о  том,  можно  ли  на  той  же  самой  выборке 
статистических  данных  увеличить  число  степеней  свободы  хи-квадрат  критерия  или  снизить 
требования к размерам исходной выборки.  
Ответ  на  этот  вопрос  положителен,  так  как  люди  способны  обучаться  распознавать  образы 
весьма и весьма эффективно. Человеку достаточно увидеть три-четыре раза один биометрический 
образ, и он начинает эффективно распознавать его в различных ситуациях. Это эквивалентно тому, 
что  человек обучился (запомнил и может эффективно экстраполировать многомерные статистики 
биометрических данных) при сложной обработке информации естественными нейронными сетями 
головного мозга.  
При  обработке  биометрических  данных  искусственными  нейронными  сетями  [2–4], 
обученными  по  ГОСТ  Р  52633.5-2011  [5]  возникает  аналогичная  ситуация.  Современные 
нейросетевые преобразователи биометрия-код способны обучаться на 20 примерах образа «Свой» 
и  принимать  решения  сопоставимые  по  ошибкам  первого  и  второго  рода  с  решением 
принимаемым  человеком.  Это  является  следствием  создания  (обучения)  и  применения  сложной 
нейросетевой обработки данных. Более того, ставится задача снизить размеры обучающей выборки 
с  20  примеров  образа  «Свой»  до  10  примеров,  что  делает  возможность  алгоритмов  обучения 
искусственных  нейронных  сетей  с  алгоритмами  обучения  естественных  нейронных  сетей, 
используемых  людьми.  При  этом  сдерживающим  фактором  становятся  ставшие  классическими 
каноны традиционной статистической обработки.   
Используемые  сегодня  процедуры  статистической  обработки,  просты,  понятны,  но  дают 
плохие результаты при исследовании малых обучающих выборок из 8 – 10 примеров.   
Снижение ошибки дискретизации статистических данных «сглаживанием» случайных скачков 
столбиков гистограмм 
Будем  полагать,  что  в  исследуемой  выборке  содержатся  только  данные  8  примеров 
биометрического  параметра.  Если  предположить,  что  среднее  число  попаданий  в  один  из 
столбиков  гистограммы должно  быть 2,  то  динамический диапазон  исследуемых  данных  следует 
разбивать на 4 интервала. Пример расположения обрабатываемых данных и, соответствующей им 
гистограммы приведен на рисунке 1. 
 

Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан  
 
 
   
30  
 
Рисунок 1– Классическая гистограмма представления 8 примеров биометрических данных  
(данные получены от генератора случайных чисел с нормальным законом распределения значений) 
 
 
Из рисунка 1 видно, что шаг квантования данных слишком велик (динамический диапазон 
данных разбит всего на 4 интервала), как следствие гистограмма  имеет сильно отличающиеся по 
высоте  соседние  столбики.  Для  сглаживания  данных  создадим  цифровой  фильтр  усредняющий 
результат по окну из 5 наблюдений и размещающий результат в центре окна (в 3 отсчет). Для того, 
чтобы осуществлять «сглаживание» каждый интервал гистограммы разобьем на четыре интервала 
внутренний дискретизации. Далее каждому интервалу будем присваивать состояние «0», если он 
пустой,  состояние  «1»,  если  туда  попал  один  отсчет.    Будем  присваивать  состояние  «2»,  если  в 
интервал  попали  два  отсчета.  Правый  и  левый  полуинтервалы  вне  динамического  диапазона 
наблюдаемых  данных  так  же  разобьем  на  микро  интервалы.  В  итоге  мы  получим  некоторую 
цифровую последовательность состояний «0», «1», «2», которую можно подать на сглаживающий 
данные  усреднением  цифровой  фильтр.  Процедура  введения  дополнительной  (не  традиционной) 
дискретизации  данных,  полученная  цифровая  последовательность  и  результат  сглаживания 
приведен на рисунке 2. Из рисунка 2 видно, что после сглаживания результирующая гистограмма 
будет  иметь  меньшие  ступенчатые  скачки,  растет  так  же  и  число  столбцов  «сглаженной» 
гистограммы (число столбцов увеличивается с 4-x до 20). Из-за увеличения числа столбцов с 4 до 
20 теоретически возможно  увеличить число степеней свободы  хи-квадрат критерия согласия с 2 
до  18,  то  есть  появляется  теоретическая  возможность  увеличить  достоверность  статистических 
оценок без роста размеров исходной выборки.  
 
 
Рисунок 2 – Результат сглаживания потока данных, полученных дополнительным 4-кратными квантованием 
динамического диапазона и примыкающих полуинтервалов 
 
 
Казалось бы, что увеличивая число степеней свободы при оценке статистической гипотезы 
мы  получаем  некоторою  дополнительную  информацию.  Чем  больше  мы  используем 
дополнительных  искусственных  микро  квантов,  тем  больше  будет  выигрыш.  К  сожалению, 

жүктеу/скачать 6 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: