Организации и эволюции природных структур

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
Вып. 12, Т.1, 2010                                                   
50 
 

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
Вып. 12, Т.1, 2010                                                  
54 
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛОГ ФОРМУЛЫ СОМИЛЬЯНЫ  
ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 
В ПЬЕЗОУПРУГИХ СРЕДАХ  
Закирьянова Г.К. 
Институт математики, Казахстан, г. Алматы 
 
Рассматривается  гиперболо-эллиптическая  система  уравнений,  характер-
ных для задач динамики пьезоупругих тел. Построен динамический аналог форму-
лы Сомильяны для решения краевых задач в пьезоупругих средах, позволяющий по 
известным начальным и граничным значениям перемещений, поверхностных нагру-
зок,  электрического  потенциала,  плотности  потока  заряда  восстанавливать  пе-
ремещения, напряжения и напряженность электрического поля в среде. 
 
Важное  место  в  исследованиях  по  тео-
рии упругости занимают связанные задачи, в 
которых  учитывается  связь  поля  механиче-
ских  напряжений  и  деформаций  с  физиче-
скими  полями  другой  природы  (тепловыми, 
электромагнитными  и  др.).  Интерес  к  изуче-
нию пьезоэффекта, обнару-женного француз-
скими  исследователями  Пьером  и  Жаком 
Кюри  в  1880г.,  объясняется  широким  спек-
тром  его  приложения:  в  радиотехнических 
устройствах  для  стабили-зирования  и  кон-
тролирования  частот,  в  кварцевых  часах, 
приборах для обнаружения подводных лодок 
и  многих  других.  Об  актуальности  данной 
проблемы  свидетельствует  и  большое  коли-
чество публикаций в данной области. К пер-
вым исследователям пьезоэффекта относятся 
Кельвин  (молекулярная  теория  и  механиче-
ская  модель  для  объяснения  пьезоэффекта), 
Поккельс  (определение  пьезоэлектрических 
постоянных  ряда  матери-алов,  развитие  тео-
рии  электрооптического  эффекта  в  кристал-
лах),  Дюгем  (формулировки  пьезоэлектриче-
ских явлений), Фойгт (систематизация иссле-
дований  по  пьезоэлектричеству  до  первой 
мировой  войны),  В.  Коленко  (установление 
зависимости  пироэлектрического  эффекта  от 
симметрии кристаллов), Ю.В. Вульф (откры-
тие  существования  двух  типов  пироэлектри-
чества).  В  исследование  этого  явления  весо-
мый вклад внесли также Р.Е Гиббс, Борн, П. 
Ланжевен,  Никольсон,  У.  Кэди,  У.  Мэзон, 
Г.Липпман,  А.Р.  Хатсон,  Дж.  Мак-Фи,  Д.Л. 
Уайт,  Ф.Г.  Басс,  С.А.Гредескул,  М.И.  Кага-
нов, Ю.В. Гуляев, В.И. Пустовойт, В. Новац-
кий,  М.К.  Балакирев,  И.А.  Гилинский  и  др. 
[1-3]. 
Здесь  рассматриваются  анизотропные 
пьезоэлектрические  среды,  характеризую-
щиеся  отсутствием  центральной  симметрии. 
В  пространстве  обобщенных  функций  запи-
саны  уравнения  движения  и  их  решения  для 
рассматриваемых  сред.  Построен  динамиче-
ский  аналог  формулы  Сомильяны  для  реше-
ния краевых задач в пьезоупругих средах, по-
зволяющий  по  известным  начальным  и  гра-
ничным  значениям  перемещений,  поверхно-
стных  нагрузок,  электрического  потенциала, 
плотности потока заряда восстанавливать пе-
ремещения,  напряжения  и  напряженность 
электрического поля в среде. 
 
1.
 
Уравнения  состояния  и  движения  пье-
зоупругих сред.  
Пьезоэлектрический  эффект  имеет  ме-
сто  в  анизотропных  средах,  не  обладающих 
центром  упругой  симметрии,  в  этом  случае 
пьезоэлектрические 
константы 
lij
e
≠0. 
Поскольку  в  пьезоупругих  средах  упругое  и 
электрическое  поля  связаны  между  собой,  в 
общем случае такие среды описываются пье-
зоэлектрическим  тензором,  содержащим  45 
констант (
)
( E
ml
ij
C
– 21, 
lij
e
– 18, 
il

– 6): 
 

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
55                                            
 Вып. 12, Т.1, 2010
 
 
















M
l
i
N
m
j
M
i
N
l
m
j
e
M
m
N
l
j
i
e
N
l
m
j
i
C
C
il
iml
lij
E
ml
ij
ml
ij
,
    
,
,
    
,
  
,
,
,
      
,
   
,
,
1
,
,
    
,
,
1
,
,
,
       
,
)
(

  (1) 
где 
)
( E
ml
ij
C
– матрица упругих констант, изме-
ренных при постоянном электрическом поле, 
удовлетворяющая условию  








  
0
)
(
,
,
,
)
(
N
l
m
j
i
j
l
i
m
E
ml
ij
C
W
,  
lij
e
– пьезоэлектрические константы, 
il

– ди-
электрические  проницаемости,  измеренные 
при  постоянной  деформации, 
N
  –  размер-
ность  пространства  (
2

N
  при  плоской  де-
формации, 
3

N
  соответствует  пространст-
венному  случаю), 
1


N
M
.  Константы 
)
( E
ml
ij
C
, 
lij
e
, 
il

  обладают  следующими 
свойствами  симметрии  по  отношению  к  пе-
рестановке индексов: 
 
li
il
lji
lij
E
ij
ml
E
ml
ji
E
lm
ij
E
ml
ij
e
e
=
=
=
C
C
C
C




,
,
)
(
)
(
)
(
)
(
 
(2) 
и имеют вид, например, для кристалла трик-
линной системы с кристаллической решеткой 
с наименьшей симметрией: 
  
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
12
12
)
(
31
31
)
(
23
23
)
(
33
33
)
(
33
22
)
(
22
22
)
(
33
11
)
(
22
11
)
(
11
11




















E
E
E
E
E
E
E
E
E
C
C
C
C
C
C
C
C
C
 
 






























312
231
123
33
22
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
   
,
0
0
0
  
e
e
e



(*) 
Первые две матрицы в (*) симметричные, по-
этому  члены  ниже  главной  диагонали  отно-
сительно ее симметричны. Для ромби-ческой 
системы  имеют  место  9  коэффициентов 
)
( E
ml
ij
C
, по 3 коэффициента 
lij
e
 и 
il

 




















)
(
12
31
)
(
12
31
)
(
31
31
)
(
12
23
)
(
31
23
)
(
23
23
)
(
12
33
)
(
31
33
)
(
23
33
)
(
33
33
)
(
12
22
)
(
31
22
)
(
23
22
)
(
33
22
)
(
22
22
)
(
12
11
)
(
31
11
)
(
23
11
)
(
33
11
)
(
22
11
)
(
11
11
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
 
 






























312
231
123
33
22
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
   
,
0
0
0
  
e
e
e



 
В силу (2) имеем 
ji
lm
ml
ij
C
C

. 
В  пьезоупругих  средах  упругое  и  элек-
трическое  поля  связаны  между  собой  и  опи-
сываются линейными уравнениями состояния 
[3]: 
 
l
lij
l
m
E
ml
ij
ij
E
e
u
C


,
)
(

,   
N
l
m
j
i
,
1
,
,
,

 (3) 
 
l
jl
l
m
jml
j
E
u
e
D



,
,   
N
l
m
j
,
1
,
,

  (4) 
где 
)
,...,
(
1
N
u
u
u

    –  перемещения  упругой 
среды, 
ij

–  компоненты  тензора  напряже-
ний, 
i
D
  –  компоненты  вектора  электриче-
ских смещений, 
l
E
– компоненты вектора на-
пряженности 
электрического 
поля, 
j
i
i
j
j
i
x
u
u
u





/
,
,
N
N
R
x
x
x


)
,
...
,
(
 
1
 
Здесь  и  всюду  по  одноименным  индексам  в 
произведении  проводится  суммирование  в 
указанных  выше  пределах  изменения  индек-
сов. 
Подставим соотношения (3), (4) в урав-
нения движения для электроупругой среды:  
 
tt
i
i
j
ij
u
G
,
,




, 
 
e
j
j
D


,
 
где 

  –  плотность  среды, 
i
G
  –  компоненты 
массовой  силы, 
2
2
/
,
t
u
u
i
tt
i



,  t  –  время, 
e

  –  плотность  электрического  заряда.  Учи-

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
Вып. 12, Т.1, 2010                                                  
56 
тывая,  что  пьезоэлектрики  являются  диэлек-
триками,  которым  свойственно  отсутствие 
свободных  электрических  зарядов  (
0

e

), 
получим  следующую  систему  уравнений  ди-
намики для пьезоупругих сред: 
 
i
tt
i
lj
lij
lj
m
E
ml
ij
G
u
e
u
C



,
,
,
)
(


 
(5) 
 
0
,
,


lj
jl
lj
m
jml
u
e


,   
m
m
E
,



 
(6) 
Таким  образом,  для  исследования  не-
стационарных процессов в пьезоупругих сре-
дах необходимо рассматривать систему урав-
нений  смешанного  типа: уравнения  гипербо-
лического типа (5), описывающие анизотроп-
ные  упругие  среды,  и  уравнение  эллиптиче-
ского  типа  (6)  –уравнение  электрического 
поля. 
 
2.
 
Обобщенные решения уравнений 
движения пьезоупругой среды. Условия на 
фронтах. 
Введем вектор 


1
1
,...


N



, объеди-
няющий упругие перемещения и электриче-
ский потенциал: 
 







1
,
,
1
,
:
N
j
N
j
u
j
j


, 
(7) 
матрицу напряжений 
ij

, содержащую тензор 
напряжений  Коши  и  электрический  вектор 
перемещений,  а  также  матрицу  деформаций 
ml

,  содержащую  тензор  упругих  деформа-
ций 


m
l
l
m
ml
u
u
,
,
5
,
0



  и  вектор  напряжен-
ности электрического поля: 
 







M
j
D
N
j
i
ij
ij
,
,
1
,
:

, 
 








M
m
E
N
m
l
ml
ml
,
,
1
,
:

 
(8) 
векторный  поток
i
p
,  объединяющий  вектор 
нагрузки 
j
ij
i
n
g


 и плотность потока заря-
да 
j
j
n
D
q

,  и  вектор  источников
i
G
~
,  содер-
жащий массовые силы 
 






M
i
q
N
i
g
p
i
i
,
,
1
,
:
, 
 






M
i
N
i
G
G
i
i
,
0
,
1
,
:
~
 
(9) 
Аналог закона Гука (связь между 

 и 

) и 
соотношение для вектора потока запишем в 
виде: 






M
m
N
l
ml
ml
ij
ij
C
1
1
, 
,N
j
N
i
1
    
,
1
,
1



(10) 
 




N
j
j
ij
i
n
p
1
   
    
1
,
1


N
i
 
(11) 
Таким  образом,  с  учетом  введенных 
выше  обобщений  (1),  (7)  –  (9),  уравнения 
движения для пьезоупругой среды можно за-
писать в следующем операторном виде: 
 
0
)
,
(
~
)
,
(
)
,
(




t
x
G
t
x
L
i
m
t
x
im

  (12) 
 
2
~
)
,
(
t
im
l
j
ml
ij
t
x
im
C
L









, 
 
1
,
1
,


N
m
i
,   
N
l
j
,
1
,

 
 








1
,
0
,
1
,
,
:
~
N
m
i
N
m
i
im
im


, 
где 
 
),
,...,
(
1
N
x




N
R
S
x



 
, 
ij

– 
символ  Кронекера.  Поскольку  электрическое 
поле квазистатическое, система (12) гипербо-
ло-эллиптического типа. В силу положитель-
ной  определенности 
W
  характеристическое 
уравнение  системы  (12)    имеет  действитель-
ные  корни 
c
,  в  общем  случае  зависящие  от 
направления распространения волны [4]. 
Как  известно  [5],  решения  гиперболи-
ческих уравнений могут иметь характеристи-
ческие поверхности, на которых наблюдают-
ся скачки производных. Для вывода условий 
на  скачках  удобно  воспользоваться  аппара-
том теории обобщенных функций [6-8]. 
 
Обозначим  через 
)
(
1


N
M
R
D
  простран-
ство  обобщенных  вектор  –  функций 


M
f
f
t
x
f
ˆ
,...,
ˆ
)
,
(
ˆ
1

,  определенных  на  про-
странстве
)
(
1

N
M
R
D
  финитных  бесконечно 

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
57                                            
 Вып. 12, Т.1, 2010
 
дифференцируемых  вектор  –  функций 


M
t
x



,...,
)
,
(
1

. Для  регулярных 
fˆ
 


)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
),
,
(
ˆ
x
dV
x
x
f
d
t
x
t
x
f
i
R
i
N





 




)
(
1



N
M
R
D

, 
N
dx
dx
dV
....
1

,  
M
i
,
1

 
Пусть 
)
,
(
t
x

  –  решение  (12),  непрерывное, 
дважды  дифференцируемое  почти  всюду,  за 
исключением  характеристической  поверх-
ности 
F
, неподвижной в 
1

N
R
, и подвижной 
в 
N
R
  (волновой  фронт 
t
F
),  на  которой  про-
изводные могут иметь скачки. Уравнение для 
такой  поверхности  F  подобно  характеристи-
ческому  уравнению  системы  (12)  и  имеет 
вид: 
 
0
det
2












j
l
jl
j
l
jml
j
l
lij
t
ij
j
l
ml
ij
n
n
n
n
e
n
n
e
n
n
n
C


,  
 
N
l
j
M
m
i
,
1
,
   
,
,
1
,


  
Здесь 
)
,
(
t
n
n
 – вектор нормали к 
F
 в  
1

N
R
, 
n
  –  единичный  волновой  вектор  в 
N
R
,  на-
правленный  в  сторону  распространения 
t
F
. 
Предполагается,  что    поверхность 
F
  кусоч-
но-гладкая  с  непрерывной  нормалью  на  ее 
гладкой  части.  Скорость  движения    поверх-
ности 
F
  в  пространстве
N
R
,  как  известно, 
равна  
 
N
R
t
n
n
c
/
,


 
(13) 
Решение 
)
,
( t
x

,  рассматриваемое  как 
регулярная  обобщенная  функция,  обозначим 
через 
)
,
(
)
,
(
ˆ
t
x
t
x



. 
Аналогично 
)
,
(
~
)
,
(
ˆ~
t
x
G
t
x
G

. 
Пусть 
)
,
(
ˆ
t
x

 – решение (12) в простран-
стве 
)
(
1


N
M
R
D
. Такое решение будем назы-
вать обобщенным решением (12) или решени-
ем в обобщенном смысле. Обозначим 
 
f
F
t
– 
скачок  f  на волновом  фронте 
t
F
:  
 




)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
0
t
n
x
f
t
n
x
f
t
x
f
t
F









 

жүктеу/скачать 5,02 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: