Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер

Жалпы қисық сызықты координаталар жүйесінде нүктесін және онымен көршілес нүктесін қарастырайық. Бұл екі нүктелерде координаттық сызығында жатады. Осы сызықтың доғасының ұзындығының координатасының өсімшесіне қатынасын қарастырайық:

Егер бұл қатынастың ұмтылғанда шегі бар болатын болса, онда ол шекті нүктесінің координатасының Ламе коэффициенті деп атайды да, оны арқылы белгілейді:

мұндағы . Жалпы алғанда Ламе коэффициенті нүктесінің орнына байланысты. Сондықтан біз оны кейде былайша белгілейміз:

Дәл осылайша нүктесінің екінші координатасы үшін Ламе коэффициенті анықталады:

мұндағы және доғасы координаттың сызығының бойында жатады.

Ламе коэффициенттерін осыған ұқсас түрде үшінші координата үшін де анықтауға болады:

мұнда , ал доғасы координаттық сызығында жатады.

Координаталар өсімшелері үлкен болмаған жағдайда белгілі Ламе коэффициенттерін пайдаланып координаттық сызықтардың доғаларының ұзындығын есептеп шығаруға болады. Шынында, егер аз болса, онда Ламе коэффициенттерінің анықтамасынан төмендегідей жуық теңдіктер шығады:

бұдан

1. 
   Декарт координаталар жүйесінде кез келген нүктеде барлық Ламе коэффициенттері бірге тең болады.
   

Сондықтан

2. 
   Цилиндрлік координаталар жүйесінде Ламе коэффициенттері мынадай болады :
   

осыған ұқсас:

3. 
   Сфералық координаталар жүйесінде Ламе коэффициенттері:
   

Шынында,

Сондықтан

Осыған ұқсас түрде төмендегідей Ламе коэффициенттерін де табуға болады:

§5. Қисық сызықты координаталарда өрістердің берілу градиенті.

векторлық өрісті сол кеңістікте аналитикалық түрде кескіндеу үшін кеңістіктің әрбір нүктесіндегі векторының бірлік оттардағы проекциялары берілуі қажет.

Ал векторы нүктесінің орнына байланысты, демек векторының проекциялары да осы нүктенің координаттарына тәуелді, басқаша айтқанда бұл проекциялардың әрқайсысы айнымалыларының функциялары болып табылады:

Сондықтан