Оқушылардың Республикалық математикалық олимпиадасының мектепішілік кезеңі 2023-2024 оқу жылы 8 сынып І кезең Барлығы 6 тапсырмадан тұрады. Әр тапсырма 7 ұпаймен бағаланады. 1-есеп Теңбүйірлі ABC үшбұрышында AB=AC және В бұрышы 36 градус. Егер B төбесінен түсірілген биссектрисаның ұзындығы 10 болса, A төбесінен түсірілген биіктіктің ұзындығын табыңыз.
2-есеп n4-2n3+23n2-22n+16 санын толық квадрат ететін n натурал сандарының барлығын табыңыз
3-есеп 100 оқушы қатысқан «Жібек Жолы» олимпиадасында төрт есеп берілді. 1-есепті 90 оқушы, 2-есепті 80 оқушы, 3-есепті 70 оқушы, 4-есепті 60 оқушы шығарды. Ешбір оқушы төрт есептің бәрін шығара алмады. Неше оқушы дәл үш есептен шығарды? Жауабыңызды негіздеңіз.
ІІ кезең
1-есеп Бізге 1, 3 және 5 цифрларын қолданып жазылған 2019 таңбалы сан берілген. Осы санның бөлгішінің соңғы цифры 7 болса, біз оны көңілді деп атаймыз. Санның бөлгіштерінің жартысынан кемі көңілді болатынын дәлелдеңіз.
2-есеп ABC үшбұрышының ішінен P нүктесі таңдап алынған. Егер PAB, PBC, PCA үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса, P нүктесі ABC үшбұрышының ортоцентрі екенін дәлелдеңіз.
3-есеп abc=2 шартын қанағаттандыратын кез келген оң нақты a,b,c сандары үшін a3+b3+c3≥ab+c+bc+a+ca+b теңсіздігін дәлелдеңіз.
