Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015
жүктеу/скачать 12,35 Mb. Pdf көрінісі
|
| §; ‘ ; ;і ■
' гщ: ' J ** -:;* л - 4. (адА = -— + С мұндағы а >0, а ^ І ; r j to а доііЦВІНрИДО 5. Jexdx = e* + С ; 6 . jsinxdx = -c o s .r + C ; 7. Jcos x(& = sin jt + С ; » A * ; -:- r- f 8. I----- г = arctgx + С = —arcctgx + С ; 1 + jc _ f <£r 1 . - T + l 1 J f - 1 9. , = In + C = - in + С ; J l - j r 2 2 j t — 1 2 T + l 10. J— = In ЛГ + JT ± I + C; \ - _:f ■ V JT ± 1 f 4 f -V " •■ v:^- . 1 1 . J - i... . as arcsin л + С = - arccos Y + С ; 12. f * 2 = tg x + C . COS JT / і - 13. j * -c^pr f С ; g f a '* 1 > w * ei x $ Ч Р у'.**'* 14. * b u j f j j + C ; Щ | V ■>. Js mx z i af r 2-: - ' | Д И ' ;; £ у • - + \ % * '5: ,4-"."' ! & j — * ‘b t g \ * + * ) + С ; С08ЛГ 1 . V * 4 / ^ ^ І І § £ U 16« j . v / m i t * с А ♦ С : і £ і Й ^ С ^ ;- J •*- ■ *&- э- м ‘ ■ !- . | '- 17* |сАдгя6ғ * $.А ♦ С ; 18. f “ • t k x + C ; ’ d f i t 1 9 .1 - % m -c*te + C; # *Sh2* Осы кестедпс интеграл iap іын комсгімен бсрілггм чысалларлы ю т т с һ іп : ■ '■ .лЯІРЙ--* * 1 ' ^ в в Н М в ! I. |(2.tJ - 5 jc 2 + 7 лг - з }/ г интегралы и есептеніх Шешут: Бул ннгеграллы табу үшін 4) және 5) ерсжелерлі қолдяиамы г. | ( 2 r ^ 5 t - f ? ^ 3 k r * 2jjc'dhr —5| jt 2A >7jjttlr-3j< = 2 Т ' * Т + 7 ~ - 3 * + С « і д г 4 - ! * 5 + ! * 2 - 1 г + С . 2 . интегралын есептеңіз. х Шешуі. Бұл интегралды табу үшін, ең ал дымен интеграл астындагы функцияны түрлендіріп кестелік интегралга келтіреміз: \^ jd x = j5x~7dx = 5 \x~ 1dx = 5 ~ + C = — ~<+С. X - 6 бх6 Бұл интегралга карап келесі кортынды интегралды алуга болады V (к - 1)х з г3 * 5 + х 3 — 7 . J ------- j------ интегралын есептеңіз. ІНешуі. Бұл интегралды табу үшін, бірінші интеграл астындагы өрнектің алымын бөліміне жеке — жеке бөліп шыгамыз: Ш ж Ш Ш X j — - d x m ^ З д г 3 + і - - ^ \ * = 3 /д :3Л ч - j x i i x - 7 j ~ Я Ш И Н 4 2 Л ** + интегралын есептеңіз. Шешуі. Бұл интегралды табу үшін, бірінші интеграл астындагы өрнекті квадраттаймыз, сонан соң әрбір косылгышты жеке-жеке интегралдаймыз: і ь / і I I І і К х + dx % X у x - f - 2 x 6 + jc 3 V ‘ Р • і J У jxdx + 2 f x 6dx + j x *dx- — + 2- — + — + С = ^ - + — jc6 j c + 33 j c + C . 6 3 _ г sin 2 jc J------- dx интегралын есептеңіз. cosjc Шешуі. Бүл интегралды табу үшін, интеграл астындагы өрнектің алымындагы sin 2 x = 2 sinxcosjc болатынын ескеріп интегралдаймыз: rsin 2 x f 2 sinjccosjc , . . J я* — J-------— Щ&Ьс = 2 sin xdx = - 2 cosx + C. cosx J cosjc \ J б Г l + 2 x 2 _ " * * " £ f m J~ 2 Т. ----- Т Ф интегралын есептеңіз. М І 172 Шешуі: Бұл интегралдын алымын мынадай 1 + 2х 2 =1 + х 2 + х 2 жіктеу аркылы ннтегралдаймыз: г 1 + 2д;2 ,1 + х 2 +х 2 г 1+х2 г дг2 rdx е dx 1 _ = J - у + I ----- =- = — + arctgx + С . jc 1 + x x 7.26 Аныкталмаған интегралда айнымалыны алмастыру АныкталмаҒан интегралда айнымалыны алмастьфу төмендегідей екі түрдегі ауыстырудыц көмегімен орындалады. 1) Егер x = үздіксіз дифференциалданатын функция болса, онда J f\x )d x интегралын жана айнымалы t аркылы мына формуламен өрнектейміз: • № ) * = = ■ <7.з i > 2) Егер u = g(t), мұндагы w жана айнымалы болса, онда du = g'(t)dt . Сондыктан интегралын жана айнымалы көмегімен мына турде жазамыз: J/Ы ')]#'(')* = . (7.32) 1. Jx х — 1 dx интегралын есептеңіз. Шешуі: Бұл интегралда түбірден кұтылу үшін х - 1 = / 2 айнымалыны алмастьфуын енгіземіз, сонда х = t2 + 1 бұдан dx = 2 tdt болатынын көреміз, (7.31) формула негізінде Х - 1 = Г І ' : ; * -}Г j • .!* * і ФЩ X X ldx • X ж t * + 1 = j(t2 + 1 ) • 2 tdt = 2 f(r 2 + \ ) 2dt ж dx = 2 tdt = 2 f ( / 4 + Л = - Г 5 + 2 / 3 + C = 2 (x - l)f + ? (* - 1)| + C JV r 5 3 5 3 болады. л r " IV 2 . Іе х dx интегралын есептеніз. Шешуі: Бұл интегралда х аргументіиін ен үлкен дәрежесін t айнымалысымен алмастырамыз, ягни х 3 = / , онда i x 2dx = dt бұдан x 2dx = - dt болады, сондыктан Г73 X3 = t f e x x 2 dx = Ъх2dx = dt = \e‘ - dt = - e' + С = - ex* + С 1 J 3 3 3 x 2dx = dt 3 теңцігі орындалады. 3. ](5 + лг/ dx интегралын есептеніз. Шешуі: Интегралды есептеу үшін 5 + x = t алмастыруын колданамыз, сонда dx = dt болатындыгын ескерсек, онда r/c \і9 і 5 + х = / . ]9 t20 ( 5 + x ) 20 J(5 + *)‘ dx= = У dt = — + C = ^ - ^ — + C dx = dt 1 2 0 2 0 теңдігін аламыз. 4. Jsin x cos xdx интегралын есептеңіз. Шешуі: Интегралды есептеу үшін cosxa!r = ^ (sin x ) болатынын ескеріп, и — s i n x алмастыруын колданамыз, онда du = c o s j c dx , сондыктан /sin 3 xcosxdx = fu3du = — + С = — - + С 4 4 болады. Кейбір есептерде айнымалыны ауыстырумен бірге интеграл астындагы өрнектің айнымалы көбейткіштерін дифференциал таңбасының астына енгізе отырып, интегралдау колданылады, ол үшін f \ x ) d x = d f( х) және ~ ~ d{ax ± Ь) болатынын ескеру керек. Себебі аргументтің теракты көбейткіші дифференциал таңбасының алдьгаа шыгарылады және тұрактының дифференциалы нөлге тең, сондыктан интеграл астындагы өрнектің тұрактысына сэйкес кез келген тұрактыны дифференциал таңбасының астына енгізуге болады. Мысалы, Jcos xdx = sin x + C , J— = ln x + C жэне (xndx = - __ + C X /1 + 1 болатынын ескере отырып, төмендегі интегралдарды есептейміз: 1 . Jcos(x + 6 )dx= I cos(x + 6)d(x + 6 ) = sin(x+ 6 ) + С . 2. Jcos(4x- 7)dx = - jc o s(4 x -7 )d (4 x - 7) | і И И і 7) 1 С . 4 4 / 3. Jcos(5 — 2x)dx = — ^\|cos(5 — 2x)d(5 — 2x) = - —s in (5 -2 x ) + C . с dx 1 rd ( 8 x - 3 ) І . ‘ p i (6x — 5 ) d x = J(6jc — 5 ) 3 dx = — J(6x — 5 ) 3 d( 6 x — 5 ) = 174 . i G * z d + c . ± , £ ^ + c . ! 6 5 1 0 v f 3 6‘ I (9x^-2 ? = ^ 9X~ 2^ 4dX 1 9 ^ 9X І 4rf^9jc" = . = 1 ( 9 ^ + С = _ _ 1 _ _ + С 9 - 3 27(9x - 2 f Сонымен бірге келесі формулаларды f f " W ’(x )d x I J/"(x>/(/(x))= + С , J и + 1 = J - t / W ) I in / ( * ) + с жэне fXMffa = 1 2 7PJ+II J / ( * ) J / ( x ) VV J 7 5 1 J 77І1 1 У оолатынын колдана отырып, төмендегі интегралдарды есептейміз: fco sx A . - Г * - 2 . . . v sin " 2 4 " 1 х 1 1. I ---- ті — = (a (sin jc ) = cos xdx) = J sin xa(sin x) = -------— + C = ------- + C . ' sin x - 2 + 1 sinx 2. J-^-^чАг = = \\n 5 xd(\nx) = ^ т ^ + С . 3 = Г———- = - d(arctg3x)\ = - [arctg3xd ( arctg3x) = J l + 9x~ vl + 9x 3 ; 3 J _ 1 arctg23x ^ = arctg23x f 3 2 6 4. dx = (sin xdx = -г /(cosx)) = —2 cosx + C . cosx Жоғарыда келтірілген кестелік интегралдар формуласын келесі косымша формулалармен толыктырамьп: 20 . f = in f { x ) + С . S f i x ) 21. f = 2 f i x ) + С . \ f ( x ) J K l „ г A I x - л 2 2 . 1 — 3 ---- =• = - arctg + C , мұндагы a * 0 . jr + a a a # „ r 1 . x - a ~ ___ _ ____ л 23. I--=■-----= — In —— i + С , мұндагы a * 0 . V - a 2 2 a x + o 24. f = arcs in ? + C , мұндағы w e 25. J = In x + x 2 + A + С , мұндагы Я накты сан жэне Л * 0 х 2 + Я 175 26. J-т— = In + С . sin x 2 [ 2 7 . j - ^ - = b U | + 5 | + C. cosx ^2 4 28. \tgxdx = - In cos x + C . 29. J ctgxcbc = Insin x + С . Студент назарына: бүл беріліп отырган 1 — 29 формулоларды ж аттап алу керек, себебі ж аттыгу сабагында берілетін көптеген интегралдар осы формулаларга келтіріледи Берілген формулаларға мысалдар келтіреміз: і с dx 1 х ' ЩіЦШЙ ] Ш I ж . . 2 . = - і - b + с = - і Іп^— U С . зё - 2 5 2-5 дс + 5 10 х + 5; 3. f— = arcsin -І= + С . і , 1 —х 7 I . е dx , р 5 -----і ■' 4. J—=—— = In л: + х —5 + С . ШШЯ ■ ■ . X - 5 к [ & 1 1 Зх _ 1 Зх ]9 ? i T i ‘ * i ° rc,g ^ + c ~ n a r a g - ; + c - 7.27 Бөліктеп интегралдау. % Бөліктеп интегралдау әдісі мына формулаға негізделген: \udv = u v - jvdu , ( 7 . 3 3 ) мұндағы и(х), v(jc) - үзіліссіз дифференциалданатын функциялар. Берілген (7.33) формуласы бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Рул формуланың колданылу максаты он жактағы интегралдың есептелуі, сол жактағы интегралға Караганда жеңілдеу болуы керек. Сондыктан и - деп дифференциалдану кезінде жеңілденетін функцияны аламыз, ал dv- деп интеграл астындағы өрнектің, интегралы белгілі немесе оңай алынатын бөлігі алынады. Мэселен, мына түрдегі интегралдар үшін jP (x)eaxdx, jP(x) sin axdx , jP(x) cos axdx, мұндағы P(x)- көпмүпіелік, и- деп P(x)- көпмүшелігін ал dvs, деп интеграл астындағы сэйкес келесі өрнектерді белгілейміз e^d x, sin axdx, cos axdx ; келесі түрдегі f P(x) In xdx , |Д дг) arcsin дгійг, J / >(x)arccosx<& интегралдар үшін и - деп сэйкес lnx, arcsin х, arccosx функцияларын, ал dv- деп P(x)dx- өрнегін кабылдаймыз 176 белгілейміз. Дербес жағдайда, бөліктеп кері интегралдауды тригонометриялык және логарифмдік функциялардың интегралдарын тапканда колданамыз. Төмендегі мысалдарды бөліктеп интегралдау аркылы есептейміз: 1 . jxe~2xdx интегралын есептеңіз. Шешуі: Бөліктеп интегралдау әдісін колданамыз. Интеграл астында ісөпмүшелік пен көрсеткіштік функциялар көбейтіндісі берілген. Демек и = х, dv = e~2xdx деп белгілесек, онда d u - d x , v = \e~2xdx = — e~2x + С . 2 мұндагы С - тұракты формуласын колдана с и — х dv = е~2х —2х хе dx du = dx 1 хе —2х Ф — Те 2х dx — 2 J 1 ~2* + С 4 v = 2 . \ х 2 cos 2 xdx интегралын есептеңіз. Шешуі: Интеграл астында көпмүшелік пен тригонометриялык функциялардын көбейтіндісі берілген жэне көпмүшелік екінші ретті болгандьпстан, бөліктеп интегралдауды екі рет колданамыз: ■ ШЯЛ I ШШЛ \х2cos2xdx = и = X dv - cos 2xdx du = 2 xdx 1 . ~ v = —sin 2x 2 = — X 2 sin 2x — fxsin 2xdx = 2 u — x 1 2 • —x sinZx 2 dv = sin 2 xdx ~ du = dx 1 0 v = — cos 2 x 2 - x 2 sin 2 x + — x co s 2 x — — \cos2xdx 2 2 J 2 1 2 • о , 1 о 1 . 0 ^ = x sm 2 x 4 - —xcos2x — - sm 2x + C. 2 ¥ 4 3. fxarctgxdx интегралын есептеңіз. Шешуі: Интеграл астында көпмүшелік пен кері тригонометриялык түрде есептеиміз: 177 f xarctgxdx = и = arc tgx dv = xdx du = dx 1 + x 2 V = 2 x = — a/ 2 1 Л + д: - 1 x“ 1 f 1 - dx < ctgx - — J------- -—dx = — arctgx ----f dx + — f------ - = 2 1 + x 2 2 2 2 I + x 2 x 2 1 1 = — a r c t g x x + —arctgx + С . 4. Jin xdx; интегралын есептеңіз. Шешуі: Интеграл астында логарифмдік функция берілген, сондыктан деп логарифмдік функцияның өзін белгілейміз. и - и = lnx dv = dx \ \ a x d x = dx = x \ n x - [ du = — * dx x — = x \ n x — Jdx = xln x — x + C . X v = x 5. JVT cos xdx интегралын есептеңіз. Шешуі: Интеграл астында экспоненттік жэне тригонометриялык функциялардың көбейтіндісі берілген, мұндай жагдайда кандай функцияны и - деп белгілесек те бастапқы берілген интегралга кайтып келеміз, сондыктан / — \ех cos xdx белгілеуін енгіземіз. / = je* cos xdx = и = e X dv = cos xdx du = exdx v = sin x ex sinx — je x sin xdx = ex sinx и me dv = sin xdx du = exdx = ex sin j' ex sinx + ex cosx — / v cosx Бұл теңдіктегі I - ді теңдеудің сол жагына шыгарамыз, сонда 21 = ех sinx + ex cosx бұдан / ex sinx + ex cosx 2 ягни берілген интеграл Jex cosxdx = ex sinx + ex cosx 2 болады. 178 Төмендегі аныкталмаған интегралдарды есептейміз 1. J 5х7 - З 5 х3 + = 5 Jjc7<&-3 J5 x3dx + 3 = х 8 3 5 ----- 3 Jjc 5 cfr + 3 ]х~4яЬс 8 5 jc 8 8 ~X 5 + 1 3т Г 3 5 -4 + 1 - 4 + 1 + C = 5x 8 15x5 x 3 8 8 Ъ х - 2 - t 1 2. J5 3 x - 2 d x = 3 d x - d t = J5 td t = dx = — dt 3 жүктеу/скачать 12,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|