Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015

1  1
Д = 
= 0 ,  яғни  (1.17)  теңдеулер  жүйесінің  аныктауышы  нөлге  тең.
теңцеулер
1
 
І)
рангісі
.1
 
Ш
^
 J  J  j N
бірге  тең,  яғни 
г(Л) 
= 1.  Ал  оның  кеңейтілген  матрицасы 
В =
V1
 
1
 
2
,
лғандыктан
теңцеулер 
жүйесінің 
шешімі 
жоқ. 
Теңдеулер 
жүйесінің 
шешімі
болмайтындығын,  (1.17)  теңдеулер  жүйесіндегі  бірдей  косылғыштардың  бір
мезгілде  1 -ге жэне 2-ге теңдігінен де көруге болады.
2.  Берілген теңдеулер жүйесін шешіңіз.
г
I
2
* + 
2
>> = 
2
,
3х + 3 у  = 3. 
I 
Wf|
2  2
еулер  жүйесінің  аныктауышы  Д = 
= 0 .  (1.18)
2  2^ 
И   -  v 
I
теңдеулер  жүйесінің 
А  
= \ 
матрицасының  рангісі 
г
(
а
) 
= 1  жэне  оның
I   р
2
 
2
 
2
^ 
. 
l,
матрицасының  рангісі  де  г(і?)=1  тең,  яғни
кеңейтілген  В =
3  3  3
У
г
(
в
) =
г
(
а
) 
болатындыктан,  (1.18)  теңдеулер  жүйесінің  бір  теңдеуін
к а р а с т ы р а м ы з :
2 х  +  2 у  =  2 .  
(1.19)
Бұл  тендеуде  у   айнымалысының  коэффиценті  нөлге  тең  болмағандыктан
оны  у-ке катысты шешеміз:
2
-
2
*  
л
У =  -
—
 =  1 - х .  
(1.20)
у ь ы   у і . ш )   ф о р м у л а   (
і л у
)  
теңдеуінің  Ьарлык  шешімін  береді.  Біз  л 
(—о с < х < о о )  
кез  келген  мэн  бере  отырып,  (1.20)  формуласы  бойынша
х - к а
v
теңцеуді
жұпатрының
I 
'Ж 'X
  •  ^  
I 
ЩЛ ЩМ. 
'JL
(1.19)  теңдеуінің  барлык  шешімдерінің  жиынтығын  береді.  Берілгені 
бойынша 
г
( В ) =
г
(
а
) 
болатындыктан,  бұл  шешімдер  сонымен  бірге  (1.18)
теңдеулер  жүйесіндегі  екінші  теңдеудің  де  шешімдері  болады.  Бұлай
болатындығын  берілген  (1.18) теңдеулер жүйесінен де көруге болады.  Себебі
(1.18)  теңдеулер  жүйесіндегі  теңдеулердің  сэйкес  коэффиценттері  және  оң 
жактары пропорциональ.
28

1.8
 
№2
  өздік жүмыс тапсырмалары
Берілген тендеулер жүйесін үш эдіспен есептеңіздер:
*а) Крамер ережесімен;  б) Кері  матрица әдісімен;  в) Гаусс әдісімен.
4jcj  + 6х2  -  5х3  = 6,
1.1.  J - 3 x t  -  7
х
2  + 4х3  = -2 ,
2*і  і  Зх2  -  7х3 = 9.
Жауабы:  х }  = 3,  х2  = -1,  х3  = 0
1.3.
2х\  + х2  =13,
Xj  - 4 х 2  + 3*з  = - 1 0 , 
4*і  + х 2  — *з  = 2 4
Жауабы:  х,  = 5 ,  х 2  = 3 ,  х 3  = -1
1.5.
Зх
2х2  + 4х3  = 13
3
jcj
  + 4х2  -  2х3  = 7,
2х*  - х 7  - х ?   = - 5 .
Жауабы:  х,  =1,  х 2  = 3,  х3  = 4
1.7.
х,  -  
7
х
2
 
+ Зх3  = 5, 
2xj  -  Зх2  + х3  = -4 , 
4х2  + 5х3  = 29.
Жауабы:  Xj  = - 3 ,  х 2  =1,  х3  = 5
1.9.
2х|  + Зх7  + 4х^  = 39,
7х|  - 5
х
7  + Х-*  =38,
4х,  + х 2  + х3  = 35.
Жауабы:  х,  = 7 ,  х2  =3,  х3  = 4
1
.
11
.
r3xj  -  2
х
2  + 4х3  = 16, 
Зх|  + 4
х
2  -  2х3  = 10, 
2Х|  -  х2  -  
х
3  = -3 .
Жауабы:  х,  = 2,  х 2  = 3,  х 3  = 4
4xj  + х2  + 4х3  =18, 
1.13.  ^2Х|  + х 2  4- 2х3  =10,
х \  + х 2  + 2х3  =10. 
Жауабы:  х,  = 0,  х 2  = 2,  х3  = 4
1.15.
5Х|  +3x7  =~1,
4х,  + х 2  -  2х3 
х.  -  5х2  + 4х
3
= -5 , 
= -1 7
2х,  + 4
х
2  -  5х3  =17,
1.2.  < — 4х,  -  Зх2  + х3  = -2 8 , 
2х,  -  5
х
2  + 2х3  = -3 .
Жауабы:  Х|  = 5 ,  х2  = 3,  х3  =1
2xi  -  х ?  +3х^  =18,
1.4.  ^х,  + Зх2
х-к  = 8 ,
Х|  -  2х2  + 2х3  = 6. 
Жауабы:  хх = 2 ,  х2  = 4 ,  х3  = 6
1
.
6
.
8xj  + Зх2  -  6х3  = 3,
х3  = 3 ,
- Зх3  = —1.
х,  + х 2  -
4х, 
I  
х2
Жауабы:  х х = 0,  х 2  = 5,  х3  = 2 
5х,  —х 2  - х 3  = 9 ,
*
1.8.  •{xj  + х2  + х3  =15,
Зх|  + Зх2  -  Зх3  = 9. 
Жауабы:  Xj  = 4,  х2  = 5,  х3  = 6
1
.
10
.
Xj  + 4х2  -
х
3  = 14, 
5xj  + 4
х
2  -  4х3  = 11, 
Зх,  -  2
х
2  + 5х3  = 26.
Жауабы:  х,  = 3 ,  х2  = 4 ,  х3  =5
1
.
12
.
ЗХ|  -  2х7  -  5х3  = -3,
2х,  + 3х2  - 4 х 3  =19, 
Xj  - 2
х
2 
+ З х 3  = - 3 .
Жауабы:  Xj  = 4,  х 2  = 5,  х3  = 1
1.14.
2х|  -  х 2  + 2х3  = 9, 
4х|  + х2  + 4х3  = 33,
х,  + х 2  + 2х3  =15.
Жауабы:  х,  = 4 ,  х2  =5, х 3  =3
2Х|  + х 2  - З х 3  = - 1 0 ,
1.16.  ^Х| +  5
х
2 +  х3  =28,
ЗХ|  + 4
х
2  + 2х3  = 34.
29

Жауабы:  х,  = - 2 ,  jc
2
  = 3,  jc
3
  =  0
Жауабы:  x,  = 2,  x
2
  = 4,  x
3
  = 
6
2*i  1  x2  9  3x
3
  = 4,
W
2xj  -  4x
2
  + x
3
  = 0 ,
1.17. * 3*i  + 4*2  + 
2*3
  = 29,
1.18.  • Xj  + 3 x
2
  -  x
3
  =16,
*i  +5*2  + * з  
= 2 1
ix x  - 3 x
3
  =18.
Жауабы:  xx  = 5,  x2  =  3,  i |  =1
Жауабы:  xx  = 
6
,  x
2
  = 2,  x
3
  = 
- 4
3*!  + x2  + Щ  =  
0
,
w
3x,  - x
2
  + x
3
  =16,
1.19.
-  3Xj  + 5x
2
  + 
6
x
3
  = 40,
1
.
2 0
.  i іЦ   + x
2
  + 2x
3
  = 35,
Xj  + 4x
2
  -  2x
3
  = -2 .
Xj  +
2
x
2
  + 4 x
3
  =16.
Жауабы:  дг,  = - 2 ,  x2  i  2,  x
3
  = 4
Жауабы:  x
1
  = 
6
,  x
2
  = 3,  x
3
  = 1
3x,  -  x
2
  + x
3
  = 4 ,
2x,  + 3x
2
  = - 1 0 ,
1
.
2 1
.  «5 x ,+ x
2
  + 2x
3
  = 13,
1
.
2 2
.  • 2x,  £ x
2
  + 3x
3
  = -
6
,
X]  + 2 x
2
  + 4 x
3
  =17.
3x,  + x
2
  + x
3
  = -
8
.
Жауабы:  xx  = 1,  x2  =  2,  x
3
  = 3
Жауабы:  x,  = - 2 ,  x
2
  = - 2 ,   x
3
  = 0
2xj  + 3 x
2
  + x
3
  =19,
W
Xj  -  2x
2
  + 3x
3
  = 5,
1.23.  <2 x , + x
2
+ 3 x
3
  =17,
1.24.  | 2x,  + 3x
2
  -  4x
3
  = -1,
3x
1
  + 2x
2
  + x
3
  = 20.
3xj  - 2 x
2
  - 5 x
3
  =17.
Ж ауабы:  x,  = 4,  x ,  = 3, 
jc
3  = 2
Жауабы:  x,  = 2,  x
2
  = -3 ,  x
3
  = -1
4 x |  -  2x
3
  = -
8
,
P
x,  - 4 x
2
  - x
3
  = -1 5 ,
1.25.  - 2x,  - x
2
  - x
3
  =15,
1.26.  •
2
xj  + 3 x
2
  =
1
,
43xj  - 2 x
2
  + 4 x
3
  =13.
3xj  + 4x
2
  + x
3
  = -1 .
Жауабы: 
= 5,  x2  g  -3 ,  x
3
  =  - 2
Жауабы:  x,  = - 4 ,  x
2
  = 3 ,  x
3
  = - 1
P
4x,  - x
2
  + x
3
  = - 1 9 ,
I5x,  + 2x
2
  -  4x
3
  = - 7 ,
1.27.  - 3x,  + 2x
2
  + 5x
3
  =  -3 ,
1.28.1 X!  1 3x2  + 3x
3
  = 9,
1x,  -  3x
2
  + 4x
3
  =  0.
2x,  - 3 x
2
  = -1 8 .
ч  *  1
вбҒ4
Жауабы:  Xj  = -5 ,  x
2
  = 1,  x
3
  = 2
Ж ауабы:  x|  = -3 ,  x2  = 4,  x
3
  = 0
г
X]  + 4x
2
  -  x
3
  =
6
,
£
7xj  + 4x
2
  -  x
3
  = 24,
1.29.  • 4xt  + 5 x 3  =
6
,  ,
1.30. f  3x
1
  + 2x
2
  + 3x
3
  = 4,
3xj  -  7x
2
  + 2x
3
  = 
8
.
2Xj  -  3x
2
  + x
3
  = -4 .
Жауабы:  *,  = 4, 
* 2
  = 0, 
* 3
  = - 2
Ж ауабы:  xj  = 2,  x
2
  = 2,  x
3
  =  - 2
30

II.  Комплекс сандар
2.1  Негізгі түсінік
1 
-анъщтама.  z — x -viy  өрнегі түрінде  берілген  z  саны  комплекс сан деп 
аталады,  мұндағы  х  жэне  у  - накты сандар,  ал  і -жорамал бірлік деп аталады
жэне 
г  
= - 1
 
немесе  / = 
- 1
 
теңдіктерінен аныкталады.
Ан ыктамадағы
z  =  х + /V
(
2
.
1
)
өрнегінде  х  жэне  у   бөліктері  z  комплекс  санының  сэйкес  нақты  жэне 
жорамал бөліктері деп аталады.  Оларды сэйкес  х = R ez  жэне  у  = Im z  акылы
Ьелплеиміз.
2-анъщтама.  Егер  екі  комплекс  саннын 
z,  =  х, 
+ 
iy x 
жэне
,  = х> + zv7
накты бөлігі ( дг,  = х ,)  мен  жорамал бөліктері  (у,  = 
)тен болса, онда олар тең 
(z,  = z2)  деп аталады.
3 -анықтама.  Егер  z =  х + iy  комплекс  санында  х = 0  жэне  у  = 0  болса,
онда комплекс сан нольге тең.
4-анъщтама.  Егер 
z  
= 
х  
+ іу  комплекс  санында  х = 0  болса,  онда
О + іу = іу  саны  таза  жорамал,  ал  егер  у -  0  болса,  онда  jc + /0 = jc  саны
ш
нацты сан болады.
Комплекс санда «үлкен», «кіші» деген ұғымдар карастырылмайды.
5-аныцтама.  Жорамал  бөлігінін  танбасында  айырмашылык  болатын 
z  = х + гу  жэне  z = х -  іу  екі комплекс сан түйіндес деп аталады.
2.2  Комплекс саннын геометриялык бейнесі
Кез
келген
Z  =  X  +  /у
комплекс 
санды
Охх
жазыктыгында
координаталары  x = R ez  жэне  у - I m z   болатын  Мух, у )   нүктесі  ретінде 
көрсетуге  болады.  Жэне  керісінше,  жазыктыктың  эрбір  М \х 9у )   нүктесіне 
z  = x + iy  комплекс  саны  сэйкес  келеді.  Комплекс  саны  бейнеленген
жазыктык.  z  комплекстік айнымалы  жазықтыгы деп
аталады (1 -сурет).
z   комплекстік  айнымалы  жазыктығының  Ох 
м   (х . у ) 
өсінде  жататын  нүктелеріне  накты  сандар  сэйкес
келеді  {у  = 0).  Ал  Оу  өсінде  жататын  нүктелерін  таза
жорамал  сандар  бейнелейді  (х = 0).  Абцисса  осі 
(z = х + 0 • /)  нацты  вс  деп,  ордината  (z = 0 + y/Joci
жорамал 
өс 
деп 
аталады. 
М (х ,у ) 
нүктесін
координатанын бас нүктесімен  косу аркылы  ОМ
1-сурет 
векторын  аламыз.  Кейбір кездерде  z = х + iy  комплекс
санынын  геометриялык  бейнесі  есебінде  г = О М  = {х; у }  радиус  векторын
31

есептеу  ыңғаилы  болады.  z  комплекс  санын  бейнелейтін  ?  векторының 
ұзындығы  осы  санның  модулы  деп  аталады  жэне  z  немесе  г   болып
белгіленеді,  яғни  г  =  z  .  Накты  өс  пен  г   векторының  оң  бағыттағы
арасындағы  бұрыш  шамасы  комплекс  санның  аргументі  деп  аталады  және 
A r g z   немесе  (р  болып  белгіленеді,  яғни  
  Комплекс  санның  г  және 
ф  шамалары  х  жэне  у   аркылы мына түрде аныкталады:
г  = :;х2 + у 2 
(2.2)
жэне 
■'  . 
1
ср -  arctg —. 
(
2
.
3
)
X 
у
Сонымен
N = |*  + іу\ =   ,х 2 + у 2 
I  
(2.4)
және 
*
argz j aig(x + іу)= a
r
c
t
g
t
^   (2.5)
Егер  комплекс  санның  аргументі  Ох  өсінің  оң  бағыты  бойынша,  яғни 
сағат  тіліне  карама-карсы  есептелсе  ол  оң,  ал  сағат  тілі  бағыты  бойынша
есептелсе теріс болады. 
■
 
™
Егер 
z ^  0 
комплекс  санның  аргументі  көпмэнді  болады  жэне 
2 я  ik  \k щ0 ,—1,1,—2,2,...)  косылғышына  дейінгі  дәлдікпен  аныкталады,  яғни
A r g z  — argz + 2n • k ,  мұндағы  argz  — аргументтің бас  мэні деп  аталады  жэне 
(“ Я’, 7г\  аралығында  аныкталады,  яғни  — ; r < a r g z < ; r   орындалады  (кейде 
аргументтің бас  мэні ретінде  [0;2;г)аралығындағы шама да алынады).
2.3  Комплекс санның тригонометриялық түрі
Z  
санының  z  
=  
x 
+  
iy  түрінде  жазылуы  комплекс  санның  алгебралық 
түрі деп аталады.
Координаталар  бас  нүктесін  полюс,  ал  Ox  өсінің  оң  бағытын  полярлык 
өс  Деп  есептеп,  М (х ,у )  нүктесінің  полярлык  координатасын  ср  жэне  г
аркылы  белгілейміз.  z = х + іу  комплекс  санының  г  модулін  және  ф
аргументін  полярлык  координатор  жүйесінде  ? = ОМ  векторы  түрінде 
бейнелеуге  болады  (1-сурет).  Онда  1-суреттен  x = rcos(p  жэне  y  = rsin(p
болатынын  көреміз.  Сондыктан  z = х + іу  комплекс санын  мына түрде жазуға 
болады:
z  
= rco$(p + i-rsm (p  
( 2 .6 )
немесе
z = r(co sp  + / 's i n ^ ) .  
(2.7)
Комплекс  санның  мұндай  түрде  жазылуы  тригонометриялық  түрде 
жазылуы деп аталады.
32