Оқулық физика 9 проект башарұлы Р. т б

14
ПРОЕКТ
 
|
b

| = k · |
a
|
;

b

 = k
a
.
Бұл теңдіктерде: егер 
k 
> 0 болса, онда 
a
және 
b

векторлары бағыттас болады. Мысалы, 
k
1 
= 1,5 
және 
k
2 
= 3 
болса, онда 
b
1
= 1,5
a
және 
b
2
= 3
a
векторлары 
a
векторымен бағыттас орналаса-
ды (сурет 1.6, қызыл сызықты векторлар). Ал
k 
< 0 болса, онда 
b

векторы 
a
векторына қарама-
қарсы бағыттас болады. Мысалы, 
k
1 
= –1 және 
k
2 
= –0,5 болса, онда 
b
1
= –
a
және 
b
2
= –0,5
a
векторлары 
a
векторларына қарама-қарсы болады (сурет 1.6, көк сызық-
ты векторлар).
5.
Векторлардың проекцияларын анықтау.
Көптеген жағдайларда, 
мысалы, есептер шығарғанда векторлардың координаталар өстеріндегі 
проекциялары арқылы жазылған скалярлық теңдеулер қолданады. 
Оның үстіне проекциялар арқылы векторлардың модульдері есептеледі 
және бағыттары да анықталады. Сондай-ақ векторларды координаталар 
өстеріндегі құраушыларға жіктеу де олардың проекциялары арқылы 
орындалады. Сондықтан векторлардың проекцияларын анықтауға үлкен 
мән беріледі.
Берілген вектордың 
Ох
және 
Оу
өстеріндегі проекциясы
деп оның 
модулінің ұштарынан осы өстерге түсірілген перпендикулярлардың 
арасындағы кесінділердің оң немесе теріс таңбалы сан мәндерін 
айтады (сурет 1.7).
Проекциялардың таңбалары мен сан мәндері берілген масштаб бо-
йынша және векторлардың өстермен жасайтын бұрыштарына қарай 
анықталады. Мысалы: 
a
векторының 
Ох
және 
Оу
өсіндегі проекцияла-
ры оң таңбалы сандар болып табылады (сурет 17, 
а
). Олардың шама-
лары масштаб бойынша мынаған тең: 
а
х
= 
x
2
– 
x
1
= 25 мм – 5 мм = 20 мм; 
а
у
= 
y
2
– 
y
1
=15 мм – 5 мм = 10 мм; өстермен жасайтын бұрыштары бойынша 
мына формулалармен есептеледі: 
а
х 
= 
a
cos
α
; 
а
у 
= 
a
sin
α
. Ал келесі графикте 
(сурет 1.7, 
ә
) 
b

векторының сәйкес өстердегі проекциялары масштаб бо-
йынша: 
b
х 
= 
x
2
– 
x
1
= 20 мм – 5 мм = 15 мм-ге; 
b
у
= 
y
2
– 
y
1
= 5 мм – 15 мм = –10 мм-
ге тең, ал өстермен жасайтын бұрыштары бойынша: 
b
х 
= 
b
cos
β
; 
b
у
= –
b
sin
β
формулаларымен анықталады. Үшінші графикте 
c

векторының сәйкес 
өстердегі проекциялары мына шамаларға тең: 
c
х 
=
 
x
2
– 
x
1
 
=
 
10 мм
 
–
 
10 мм =
= 0; 
c
у 
= –10 мм немесе 
c
у 
= 
y
2
– 
y
1
 
= 5 мм
 
–
 
15 мм = –
с
= –10 мм.
a
3
a
1,5
a
–0,5
a
–
a
Сурет 1.6. Векторларды
сандарға көбейту
б
)

15
ПРОЕКТ
а
) 
ә
) 
б
)
y
y
2
y
1
y
y
α
+
–
–
+
+
x
x
1
x
2
x
x
O
O
O
a
b

β
c

a
x 
= a 
cos
α
a
y 
= a 
sin
α
b
x 
= b 
cos
β
b
y 
= 
–
b 
sin
β
c
x 
=
 
0
c
y 
=
 
–
c
x
x
A
1
y
y
0
A
z
A
A
x
A
y
z
r

r
x
r
y
z
r
z
Сурет 1.7. Векторлардың координаталар
өстеріндегі проекциялары
Сурет 1.8. Векторды
құраушыларға жіктеу
y
1
y
1
х
1
х
2
y
2
y
2
Жалпы алғанда проекциялардың таңбалары былайша анықталады: 
егер вектордың ұшының проекциясы өстің оң бағытына қарай бағытталса, 
онда проекцияның таңбасы да оң болады. Ал егер вектордың ұшының 
проекциясы өстің оң бағытына қарама-қарсы бағытталса, онда проекция 
теріс таңбаланады.
6.
Векторды құраушыларға жіктеу.
Вектордың құраушыларға қалай 
жіктелетінін 
r

радиус-вектордың мысалында көрсетейік. Радиус-вектор 
деп дененің (материялық нүктенің) кеңістіктегі орнын координаталар 
жүйесінің бас нүктесімен қосатын 
r
OA
=
бағытталған кесіндісін айт-
қанбыз (сурет 1.8).
Радиус-вектордың 
Ох
, 
Оу
және 
Оz
өстеріндегі құраушыларын тиісін-
ше 
r
x
, 
r
y
және 
r
z
таңбаларымен белгілейді. Көрсетілген үш құраушы 
вектордың бағыттары мен шамаларын анықтау үшін 
r

радиус-вектор-
дың ұшындағы 
А
нүктеден 
хОу
жазықтығына перпендикуляр түсіріп, 
А
1 
проекциясын табамыз. 
А
1
нүктесінен 
Ох
және 
Оу
өстеріне перпендику-
лярлар түсіріп, өстердің бойындағы 
А
х
және 
А
у
нүктелерін белгілейміз.
Оz
өсінің бойына 
ОА
z 
= 
АА
1
-ге тең кесіндіні салып, 
А
z
нүктесін анықтай-
мыз. Сонда 
r

радиус-вектордың өстердегі құраушылары мына векторлар 
болып табылады: 
r
OA
x
x
=
;
r
OA
y
y
=
және 
r
OA
z
z
=
. Ал олардың модулі 
(|
r
x
|, |
r
y
|, |
r
z
|) радиус-вектордың сәйкес өстердегі проекцияларына (
х
, 
у
, 
z
) 
тең: |
r
x
| = 
х
; |
r
y
| = 
у
; |
r
z
|=
z
.
Біз жоғарыда вектордың үш өлшемді кеңістікте орналасқан күрделі-
рек жағдайын қарастырдық. Көп жағдайда векторлар белгілі бір жа-
зықтықта орналасады (сурет 1.8). Мұндай жағдайларда вектор екі құ-
раушыға ғана (
r
x
және 
r
y
) жіктеледі. Ал олардың модулі (сан мәндері), 
суреттен көрініп тұрғандай, мына теңдіктермен анықталады: |
r
x
| = 
х
= 
х
2
–
– 
х
1
; |
r
y
| = 
у
= 
у
2
– 
у
1
.

16
ПРОЕКТ
Жазықтықта орналасқан вектордың модулін оның құраушылары-
ның модулі арқылы тік бұрышты үшбұрыштарға арналған Пифагор тео-
ремасы бойынша анықтайды. Мысалы: 
a
a
a
x
y
=
+
2
2
(сурет 1.7 
а
) немесе 
b
b
b
x
y
=
+
2
2
(сурет 1.7, 
ә
).
Пифагор теоремасы негізінде үшөлшемді кеңістікте (сурет 1.8) ор-
наласқан вектордың модулі де мына формула бойынша анықталады: 
r
r
r
r
x
y
z
=
+
+
2
2
2
.
1. Векторлар, скалярлар деп қандай шамаларды айтады?
2. Векторларды үшбұрыш ережесімен қалай қосады? Көп векторларды 
қалай қосады?
3. Векторларды үшбұрыш ережесімен қалай азайтады?
4. Векторларды санға көбейткенде қандай вектор алынады?
5. Векторлардың проекциялары дегеніміз не? Векторлардың проекциялары 
қалай алынады?
6. Векторлар құраушыларға қалай жіктеледі?
7. Жазықтықта және кеңістікте орналасқан векторлардың модульдері 
құраушыларының модульдері арқылы қалай анықталады?
1. Нүкте 
Ох
өсінің оң бағытында 2 м/с жылдамдықпен түзу-сызықты 
бірқалыпты қозғалады. Уақыттың бастапқы мезетінде нүктенің коор-
динатасы 
х
0
= –10 м болды. Уақытты санау мезетінен 5 с өткендегі нүк-
тенің координатасын табыңдар. Осы уақыт аралығында нүкте қанша 
жол жүрді?
2.
Ох
өсінің бойымен 4 м/с жылдамдықпен қозғалған нүктенің координа-
тасы 
х
1
= 8 м-ден 
х
1
= –8 м шамасына дейін өзгерді. Координаталардың 
өзгеруіне кеткен уақытты және осы уақыт аралығында нүктенің жүр-
ген жолын анықтаңдар.
3. Сурет 1.9 бойынша мына тапсырманы орындаңдар:
1) координаталар өстерін таңдап алыңдар. Ол үшін 
А
нүктесін бастырып, 
у
өсін тік төмен, ал 
х
өсін 
AD
бағытында сызыңдар;
2) әр вектордың модульдерін торкөздің масштабына 
сәйкес анықтаңдар;
3) әр вектордың 
Ох
және 
Оу
өстеріндегі проекция-
ларын дәптерлеріңе жеке-жеке салып, сан мәндерін 
таңбаларымен көрсетіп жазыңдар;

жүктеу/скачать 5,74 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: