Процессы управления и устойчивость

то система (7) имеет асимптотически устойчивое T -периодиче-

ское решение с точками переключения управления s

j

, j = 1, 2m .

4. Вынужденные колебания ЦСУ. Рассмотрим теперь систе-

му (7) с внешним воздействием

x

k+1

= M x

k

+ p

1

cos 2πrk + p

2

sin 2πrk + qu

k

,

k ≥ k

0

,

(8)

здесь r ∈ Q. Решение системы (8) имеет вид

x

f

(k, k

0

, x

0

, u) = M

k−k

0

(x

0

− w

1

(u) − w

2

(k

0

)) + w

1

(u) + w

2

(k),

где

w

2

(k) = −P (ˆ

p

1

cos 2πrk + ˆ

p

2

sin 2πrk) ,

P = E − 2 cos 2πrM + M

2 −1

,

ˆ

p

1

= (M − cos 2πrE)p

1

+ sin 2πrp

2

,

ˆ

p

2

= (M − cos 2πrE)p

2

− sin 2πrp

1

.

Предположим, что можно выбрать компоненты вектора γ таким

образом, чтобы выполнялось равенство

γ P ˆ

p

1

= 0.

(9)

Пусть

T =

2l + 1

r

∈ N,

m

1

= −m

2

,

l

1

= −l

2

,

(10)

и выполнены условия леммы 2 для m = 1, тогда система (7) имеет

T -периодическое решение x с двумя точками переключения

s

1,2

= ± E + M

T /2

−1

M

T /2

w

1

(m

1

) + Ew

1

(m

2

) .

Для того, чтобы система (8) имела T -периодическое решение с дву-

мя переключениями управления в моменты времени k

0

, k

0

+ T /2 в

точках ˆ

s

1,2

, необходимо, чтобы ˆ

s

1,2

= ±w

2

(k

0

) + s

1,2

. Заметим, что

w

2

(k + T /2) ≡ −w

2

(k), w

2

(k + T ) ≡ w

2

(k). Тогда

x

f

(k, k

0

, ˆ

s

1

, m

1

) − x(k, k

0

, s

1

, m

1

) =

= M

k−k

0

(ˆ

s

1

− s

1

− w

2

(k

0

)) + w

2

(k) ≡ w

2

(k),

k = k

0

, k

0

+ T /2,

x

f

(k, k

0

+ T /2, ˆ

s

2

, m

2

) − x(k, k

0

+ T /2, s

2

, m

2

) =

= M

k−k

0

(ˆ

s

2

− s

2

− w

2

(k

0

)) + w

2

(k) ≡ w

2

(k),

k = k

0

+ T /2, k

0

+ T ,

92

и, в силу условия (9),

γ (x

f

(k, k

0

, ˆ

s

1

, m

1

) − x(k, k

0

, s

1

, m

1

)) = α

2

sin πrk,

k = k

0

, k

0

+ T /2,

γ (x

f

(k, k

0

+ T /2, ˆ

s

2

, m

2

) − x(k, k

0

+ T /2, s

2

, m

2

)) = α

2

sin πrk,

k = k

0

+ T /2, k

0

+ T ,

где α

2

= γ P ˆ

p

2

.

Выберем k

0

= 0, если α

2

> 0, и k

0

=

1

2r

, если α

2

< 0. В последнем

случае дополнительно положим, что

1

2r

∈ N . Тогда γ s

i

= γ ˆ

s, и,

суммируя все сказанное выше, сформулируем

Утверждение. Пусть выполнены условия леммы 2, а также

условия (9), (10), тогда, если для некоторого вещественного δ > 0

γ x(k, k

0

, s

1

, m

1

)+α

2

sin 2πrk < l

2

−δ, k−k

0

∈ N ∩

T

2

−

3

4r

,

T

2

−

1

2r

,

где x — рбшение системы (7), то система (8) имеет асимптотиче-

ски устойчивое T -периодическое решение с точками переключения

ˆ

s

1,2

.

Аналогичным образом могут быть получены условия, гаранти-

рующие существование периодических решений системы (8), в том

случае, когда гистерезисная петля несимметрична, число точек пе-

реключения больше двух, и т.д.

Литература

1. Косякин А.А., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автомати-

ческих системах. М.: Наука, 1983. 334 с.

2. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем.

М.: Мир, 1971. 312 с.

3. Степанов А.В. О существовании почти периодических решений

одной дискретной системы управления // Материалы ВВМШ

"Понтрягинские чтения – XVI". Воронеж, ВГУ, 2005. С. 148.

4. Степанов А.В. О свойствах решений одной цифровой системы

управления // Материалы конференции "Современные пробле-

мы прикладной математики и математического моделирования".

Воронеж, ВГА, 2005. С. 213.

5. Камачкин А.М. Существование и единственность периодического

решения релейной системы с гистерезисом // Дифференциальные

уравнения, 1972. Т. 8, № 8. С. 1505–1506.

93

Стрекопытова М.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Периодические решения и их орбитальная

асимптотическая устойчивость

В этой работе даются условия орбитально асимптотической устой-

чивости периодического решения системы дифференциальных урав-

нений.

Рассмотрим систему

dy

s

dt

= f

s

(y

1

, y

2

, y

3

),

s = 1, 2, 3.

(1)

Предположим, что ее правые части заданы в некоторой области

трехмерного евклидова пространства, дважды непрерывно диффе-

ренцируемы там, и система (1) имеет периодическое решение

y

s

= ψ

s

(t),

s = 1, 2, 3,

(2)

периода T = 2π, орбита которого расположена целиком внутри

упомянутой области. Обозначим через F (Y ) – векторную функцию

F (Y ) = (f

1

, f

2

, f

3

), где вектор Y = (y

1

, y

2

, y

3

). Тогда систему (1)

можно записать в форме

dY /dt = F (Y ).

Задача – изучить поведение решений системы (1) в окрестности

периодического решения (2). Построим решение Y = Y (t, Y

0

) си-

стемы дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями

Y = Y

0

при t = t

0

, начинающееся на плоскости, ортогональной к

периодической кривой, и в момент времени t = 0 проходящей через

точку периодической кривой, (Y − ψ(0), F (ψ(0))) = 0 – неподвижная

плоскость [1].

Тогда при достаточно малом значении величины ρ(Y

0

, ψ

0

), где

ψ

0

= ψ(0),

ρ(Y

0

, ψ

0

) = Y

0

− ψ

0

=

3

i=1

(y

0i

− ψ

0i

)

2

,

94

решение Y (t, Y

0

) пересечёт подвижную плоскость, ортогональную к

периодическому решению в момент τ = τ (t, Y

0

):

(Y (τ, Y

0

) − ψ(t), F (ψ(t))) = 0.

(3)

Введём на подвижной плоскости специальную систему коорди-

нат, выбрав в качестве её начала точку ψ(t), а в качестве единичных

ортов осей – вектора: B

1

(t) – орт нормали к периодической кривой,

B

2

(t) – орт бинормали к периодической кривой, взаимно ортогона-

льные и непрерывно дифференцируемые. В качестве вектора B

3

(t)

возьмём орт касательной к периодической кривой в точке ψ(t). В

новой системе координат обозначим координаты точки Y : x

1

= ρ,

x

2

= ϕ, x

3

= ξ. Тогда

y

s

= ψ

s

(t) +

3

j=1

b

sj

(t)x

j

,

s = 1, 2, 3,

(4)

где b

sj

есть s-я компонента вектора B

j

(t), j = 1, 2, 3. Здесь ρ, ϕ,

ξ – криволинейные цилиндрические координаты точки, в которой

решение Y (t, Y

0

) пересекает подвижную плоскость (3) [2].

Можно показать, что значение x

3

во всё время движения посто-

янно. Возьмём x

3

(0) = 0, тогда x

3

(t) = 0, т. е. ξ = 0. Пользуясь

равенством (4) и тождеством (3) для момента τ и переменных ρ, ϕ

выпишем дифференциальные уравнения

dτ

dt

= T (ρ, ϕ, t),

dρ

dt

= P (ρ, ϕ, t),

dϕ

dt

= Φ(ρ, ϕ, t).

Если правые части системы (1) аналитические в окрестности пери-

одического решения, то функции T , P , Φ разлагаются в ряд по сте-

пеням ρ [3]:

T = 1 + ρT

1

+ ρ

2

T

2

+ . . . + ρ

m

T

m

+ . . . ,

P = P

1

+ ρP

2

+ . . . + ρ

m

P

m

+ . . . ,

95

Φ = Φ

1

+ ρΦ

2

+ . . . + ρ

m

Φ

m

+ . . . ,

где T

m

, P

m

, Φ

m

есть функции аргументов ϕ, t, 2π-периодические по

ϕ и 2π-периодические по t.

Видно, что система дифференциальных уравнений

˙ρ = P (ρ, ϕ, t),

˙

ϕ = Φ(ρ, ϕ, t)

(5)

не зависит от τ и может быть исследована отдельно.

Разделив первое уравнение системы (5) на второе, и считая, что

dϕ = 0, будем иметь

dρ/dϕ = (P

1

/Φ

1

)ρ + ( ¯

P

2

/ ¯

Φ

2

)ρ

2

+ ( ¯

P

3

/ ¯

Φ

3

)ρ

3

+ . . .

Ограничимся первым членом разложения и будем считать, что P

1

,

Φ

1

– функции только ϕ и не зависят от t. Тогда будем иметь урав-

нение первого приближения

dρ/dϕ = (P

1

(ϕ)/Φ

1

(ϕ))ρ.

Интегрируя в квадратурах, получим

ρ = ρ

0

exp{

ϕ

ϕ

0

P

1

(θ)/Φ

1

(θ)dθ}.

Разложим периодическую функцию P

1

(ϕ)/Φ

1

(ϕ) в ряд Фурье:

P

1

(ϕ)/Φ

1

(ϕ) = a

0

+ a

1

cos ϕ + b

1

sin ϕ + . . . + a

k

cos kϕ + . . . ,

где

a

0

= 1/2ϕ

2ϕ

0

P

1

(ϕ)/Φ

1

(ϕ)dϕ.

Тогда

ρ = ρ

0

exp{a

0

(ϕ − ϕ

0

)+

+

∞

k=1

(a

k

/k(sin kϕ − sin kϕ

0

) + + b

k

/k(cos kϕ

0

− cos kϕ))}.

96

Определение. Периодическое решение (2) системы (1) назы-

вается орбитально устойчивым, если для каждого ε существует

δ(ε) > 0 такое, что при ρ(Y, M ) < δ выполняется ρ(Y (t, Y

0

), M ) < ε

для любого t ≥ 0. Если к тому же число δ(ε) можно выбрать так,

что ρ(Y (t, Y

0

), M ) → 0 при t → ∞, то периодическое решение (2)

системы (1) называется асимптотически орбитально устойчивым

или периодическим автоколебанием.

Здесь Y = Y (t, Y

0

) – интегральная кривая системы (1), график

которой проходит через точку Y

0

в момент t = 0; ρ(Y, M ) – расстоя-

ние от точки Y до множества M – орбиты периодического решения

ρ(Y, M ) = inf

Y ∈M

ρ(Y, Y ),

ρ(Y, Y ) = Y − Y =

3

i=1

(y

i

− y

i

)

2

.

Теорема. Если выполнены условия Φ

1

(ϕ) = 0, a

0

= 0, a

0

Φ

1

< 0,

то периодическое решение (2) будет орбитально асимптотически

устойчивым решением системы (1) или периодическим автоколе-

банием системы (1).

В настоящей работе для исследования периодических орбит в

трехмерном пространстве используется преобразование координат,

сводящее исходную систему трех уравнений к трём уравнениям для

новых координат, одно из которых интегрируется независимо от двух

других.

Литература

1. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.:

Судпромгиз, 1962. 631 с.

2. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

3. Стрекопытова М.В. Качественный анализ равновесных траекто-

рий. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. 85 с.

97

Травин А.Ю.

Санкт-Петербургский государственный университет

Абсолютная устойчивость

дифференциально-разностных систем

с одним запаздыванием

Рекомендовано к публикации доцентом Купцовым С.Ю.

Рассмотрим систему

˙x(t) = Ax(t) + Bx(t − h),

(1)

где A, B — постоянные вещественные (n × n)-матрицы, h ≥ 0 —

запаздывание системы.

Определение 1. Асимптотическую устойчивость по Ляпунову

системы (1) при любых h ≥ 0 будем называть абсолютной устойчи-

востью системы (1).

Сформулируем следующую задачу. Выяснить, при каких услови-

ях на матрицы A и B система (1) будет абсолютно устойчива вместе

со своей некоторой окрестностью, т.е. при всех достаточно малых

вариациях коэффициентов матриц A и B.

Пусть g(λ, h) = det G(λ, h), где G(λ, h) = A − λE + Be

−λh

. В [1]

(стр. 21, 32) можно найти доказательство того, что нулевое решение

системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову, если и только

если для всех корней уравнения g(λ, h) = 0 выполняется условие

Re λ < 0.

Теорема 1. Если система (1) абсолютно устойчива, то у мат-

рицы A + B нет собственных чисел в открытой правой полуплос-

кости.

Доказательство. Предположим обратное. Пусть у матрицы

A + B есть собственное число λ

0

, лежащее в открытой правой по-

луплоскости, т.е. Re λ

0

> 0.

Рассмотрим окружность C

∆

(λ

0

) радиуса ∆ с центром в точке λ

0

такую, что она целиком лежит в открытой правой полуплоскости,

и другие собственные числа матрицы A + B не принадлежат этой

окружности. Тогда существует ∆

0

> 0 такое, что на этой окружности

выполняется | det (A + B − λE)| ≥ ∆

0

.

Обозначим X = A+B−λE, Y = B(e

−λh

−1). Так как |e

−z

−1| ≤ |z|

для Re z ≥ 0, то Y

≤ B

(|λ

0

|+∆)h, и, следуя [2], получим ∆

1

=

98

| det (X + Y ) − det X| → 0, равномерно по λ ∈ C

∆

(λ

0

) при h → +0

и, следовательно, существует h

0

> 0: ∆

1

< ∆

0

для всех λ ∈ C

∆

(λ

0

).

Здесь и далее под векторной нормой понимается эрмитова векторная

норма

x =

√

x

∗

x, а под матричной нормой — максимум из норм

столбцов матрицы. Таким образом, в силу теоремы Руше, получим,

что внутри круга, ограниченного окружностью C

∆

(λ

0

), при h = h

0

существует корень уравнения g(λ, h) = 0. Пришли к противоречию.

Таким образом, у матрицы A + B не может быть собственного числа

в открытой правой полуплоскости. Теорема доказана.

Теорема 2. Система (1) абсолютно устойчива вместе со сво-

ей некоторой окрестностью, если и только если все собственные

числа матрицы A + e

iθ

B лежат в открытой левой полуплоскости

для любого θ ∈ [0, 2π].

Необходимость. Пусть система (1) абсолютно устойчива вместе

со своей некоторой окрестностью. Докажем, что собственные числа

матрицы A + e

iθ

B лежат в открытой левой полуплоскости. Сначала

докажем от противного, что она не имеет чисто мнимых собственных

чисел. Пусть g

θ

(λ) = det (A + e

iθ

B − λE), и существует θ ∈ [0; 2π]

такое, что g

θ

(iω) = 0 при некотором ω ∈ R

1

.

При этом возможна одна из двух ситуаций: 1) ω = 0 или 2) ω = 0.

Рассмотрим сначала второй случай. Матрица A + e

iθ

B − iωE осо-

бая, а равенство e

iθ

= e

−iωh

будет выполнено для всех h =

2πk−θ

ω

,

причем, за счет выбора целого k, можно добиться соотношения h > 0.

Таким образом, если ω = 0, то получаем явное противоречие с

абсолютной устойчивостью системы (1). Если же ω = 0, выберем

произвольное ε > 0, а элементы матриц A и B проварьируем

∆A =

ε

2

cos (

εh

2

)

sin (

εh

2

)

E, ∆B = −

ε

2

1

sin (

εh

2

)

E,

εh ∈ [π;

4π

3

],

∆A

+

∆B =

ε

2

cos (

εh

2

)

sin (

εh

2

)

+

ε

2

1

sin (

εh

2

)

=

ε

2

1 − cos (

εh

2

)

sin (

εh

2

)

< ε,

так как функция

1−cos (

εh

2

)

sin (

εh

2

)

возрастает при εh ∈ [π;

4π

3

] и принимает

максимальное значение при εh =

4π

3

.

Пусть λ = i

ε

2

, тогда матрица G + ∆G = A + Be

−i

ε

2

h

особая, так

как равенство e

−i

ε

2

h

= e

iθ

будет выполнено для всех h =

2(2πk−θ)

ε

,

причем, за счет выбора целого k, опять же, можно добиться соот-

ношения h > 0. Полученное противоречие доказывает, что чисто

99

мнимых собственных чисел у матрицы A + e

iθ

B нет.

Покажем теперь, что их не может быть и в открытой правой полу-

плоскости. Пусть существует θ

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: