Процессы управления и устойчивость
жүктеу/скачать 30,48 Mb. Pdf көрінісі
|
|
(X, Y ) и M k (X, Y ) определены и непрерывны на множестве k = 0, 1, . . . , r(X) < H, r(Y ) < H и удо- влетворяют условиям P k
D k (X, Y ) ≤ c 1 r λ (X), |M ki (X, Y )| ≤ ψ i (X, Y )r σ+m i (X), где ψ i (X, Y ) → 0 при r(X) + r(Y ) → 0, c 1 > 0, λ > 0, i = 1, n 1 ,
Наряду с уравнениями (1) рассмотрим систему, состоящую из двух изолированных подсистем X k+1
= X k + F (X k ), (2) Y k+1
= P k (Y k ), (3) которую будем называть системой первого приближения для (1). Пусть нулевое решение обобщенно-однородной системы диффе- ренциальных уравнений . X = F (X) (4) асимптотически устойчиво. Кроме того, предположим, что суще- ствует функция Ляпунова V 1k (Y ), заданная при k = 0, 1, . . . , r(Y ) < H и обладающая свойствами: 1) V
1k (Y ) непрерывно дифференцируема по Y , причем ее частные производные ∂V 1k /∂Y j , j = 1, n 2 , ограничены; 2) V 1k (Y ) — положительно-определенная функция; 3) приращение V 1k (Y ) на решениях системы (3) неположительно. Таким образом, нулевое решение уравнений (2) асимптотически устойчиво, а нулевое решение уравнений (3) является устойчивым. Теорема 1. При выполнении неравенства λ > σ нулевое решение системы (1) устойчиво по всем переменным и асимптотически X- устойчиво. Доказательство. В работе [1] доказано, что из асимптотиче- ской устойчивости нулевого решения системы (4) следует суще- ствование обобщенно-однородных функций Ляпунова. Рассмотрим 58
функции Ляпунова V (X) и W (X) обобщенно-однородные класса (m 1 , . . . , m n 1 ) порядка m − σ и m соответственно, для которых верно равенство dV /dt = W . Здесь m — положительное рациональное чис- ло. Причем V (X) — положительно-определенная функция, а W (X) — отрицательно-определенная. Для функций V (X) и W (X) имеют место следующие неравенства a 1 r m−σ
(X) ≤ V (X) ≤ a 2 r m−σ (X),
(5) ξ 1 r m (X) ≤ W (X) ≤ ξ 2 r m (X), где a
1 , a
2 > 0, ξ
1 , ξ
2 < 0. Рассмотрим приращение функции
V (X) на решениях системы (1). Получим, что при всех k = 0, 1, . . . , r(X k ) < H, r(Y k ) < H, имеют место соотношения ∆V = V (X k + F (X k ) + M
k (X k , Y k )) − V (X k ) = (V (X k ))
G k (X k , Y
k )+ + 1 2 (G k (X k , Y k )) ∗ V (X
k + θG
k (X k , Y k ))G k (X k , Y k ), где G k (X, Y ) = F (X) + M k (X, Y ), θ ∈ (0, 1). Тогда, в достаточно малой окрестности точки X = 0, Y = 0 при всех k = 0, 1, . . . , получаем ∆V = (V (X k )) ∗ F (X
k ) + (V (X k ))
M k (X k , Y
k )+ + 1 2 n 1 i,j=1
G ik (X k , Y
k )G jk (X k , Y k )V ij (X k + θG k (X k , Y k )) ≤ ≤ ξ 2 r m (X k ) + a ψ(X k , Y k )r m (X k ) + r m+σ (X k ) . Здесь a — положительная постоянная. Следовательно, существует число η > 0 такое, что если при k = k
0 , . . . , k 1 решение (X ∗ k , Y ∗ k ) ∗ системы (1) остается в области r(X) ≤ η, r(Y ) ≤ η, то для этих значений k справедлива оценка ∆V ≤
ξ 2 2 r m (X k ). (6) 59 Далее рассмотрим приращение функции
V 1k (Y ) в силу
системы (1). Имеем V 1k (Y k+1
) − V 1k (Y k ) = [V
1k (P k (Y k ) + D k (X k , Y k )) − V 1k (P k (Y k ))]+ +[V 1k (P k (Y k )) − V 1k (Y k )].
Принимая во внимание указанные выше свойства функции V 1k (Y ), приходим к неравенству ∆V 1k (Y k ) ≤ V 1k (P k (Y k ) + θD k (X k , Y k )) D k (X k , Y
k ) ≤ b
1 r λ (X), где b
1 > 0, θ ∈ (0, 1). Рассмотрим оценку (6). Учитывая, что обобщенно-однородная функция V (X) при всех X ∈ E n 1
получаем V (X
k+1 ) ≤ V (X
k ) +
ξ 2 2 r m (X k ) ≤ V (X
k ) +
ξ 2 2 V (X) a 2 m m−σ
. При этом будем считать, что число η выбрано настолько малым, чтобы выполнялось условие −ξ 2 m η σ 2a 2 (m − σ)
≤ 1. Используя лемму 8.1 [2], приходим к неравенству r(X k
1 r(X
k 0 ) (1 + a 2 r σ (X k 0 )(k − k 0 )) − 1 σ , (7)
которое справедливо при k = k 0 , . . . , k 1 + 1. Здесь a 1 и a
2 — положи- тельные постоянные, не зависящие от начальных данных рассмат- риваемого решения. Далее имеем V 1k (Y k 1 +1 ) − V
1k (Y k 0 ) ≤ b
1 k 1 k=k 0 r λ (X k ) ≤ ≤ b
1 r λ (X k 0 ) 1 + a λ 1 k 1 k=k 0 +1 (1 + a 2 r σ (X k 0 )(k − k 0 )) − λ σ ≤ ≤ b
1 r λ (X k 0 ) 1 + a λ 1 k 1 k 0 (1 + a 2 r σ (X k 0 )(t − k
0 )) − λ σ dt .
60 Так как (1 + a 2 r σ (X k 0 )(k − k
0 )) − λ σ ≥ 0, то k 1 k 0 (1 + a
2 r σ (X k 0 )(t − k 0 )) − λ σ dt ≤ +∞ 0 (1 + a 2 a t) − λ σ dt. Здесь a = r σ (X
0 ). Пусть at = τ , тогда dt = (1/a) dτ . Отсюда +∞ 0
2 a t)
− λ σ dt = 1 a +∞ 0 (1 + a 2 τ )
− λ σ dτ = = r
−σ (X k 0 ) +∞ 0 (1 + a
2 τ )
− λ σ dτ. Значит, справедлива оценка V 1k
k 1 +1 ) ≤ V 1k (Y k 0 ) + b 1 r λ (X k 0 ) + b 1 a λ 1 a 3 r λ−σ (X k 0 ), (8)
где a 3 = +∞ 0 (1 + a 2 τ )
− λ σ dτ . Задаем сколь угодно малое положительное число ε, ε < η. Пусть β = inf
k≥0,r(Y )=ε V 1k (Y ). Выберем δ > 0 так, чтобы выполнялись усло- вия a
1 δ < ε, 3b 1 δ
< β, 3b 1 a λ 1 a 3 δ λ−σ ≤ β,
V 1k (Y ) < β/3 при r(Y ) < δ, k = 0, 1, . . . Из оценок (7) и (8) следует, что если начальные данные реше- ния (X
∗ k , Y ∗ k ) ∗ удовлетворяют неравенствам k 0 > 0, r(X
k 0 ) < δ, r(Y k 0 ) < δ, то при всех k ≥ k 0 имеем r(X k ) ≤ ε, r(Y k ) < ε, и при этом r(X k ) → 0 при k → ∞. Теорема доказана. Аналогичные исследования для случая, когда функция F (X) яв- ляется однородной, были проведены в работе [2]. 2. Условия сохранения устойчивости при возмущениях, порядок которых может быть ниже порядка функций, вхо- дящих в правую часть системы. Рассмотрим систему X k+1 = X k + F (X k ) + L
k (X k , Y k ), Y k+1
= P k (Y k ) + D
k (X k , Y k ). (9) 61
Здесь векторная функция L k (X, Y ) = R k (X) + M
k (X, Y ). Компонен- ты вектора R k (X) имеют вид R ks (X) = l s j=1 b ksj
q sj (X), где b ksj
— постоянные коэффициенты, q sj (X) — непрерывно диффе- ренцируемые на множестве X ∈ E n 1 обобщенно-однородные класса (m 1 , . . . , m n 1 ) порядка µ + m s > 1 функции, s = 1, n 1 , l
s – натураль- ные числа. Тогда функцию L k (X, Y ) можно представить в виде L k (X, Y ) = B k Q(X) + M
k (X, Y ).
Здесь B k – постоянные (n 1 ×l)-матрицы, l = n 1
l i , элементы которой b ksj
= b ksj
при j ∈ [l s−1
, l s ] и b ksj = 0 при j / ∈ [l s−1
, l s ], l 0 = 0, т.е. B k
b k11 b k12 . . . b k1l
1 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 b k21
b k22
. . . b k2l
2 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 b kn1
b kn2
. . . b knl
n , а Q(X) — вектор размерности l следующего вида Q(X) = (q 11 , . . . , q 1 l 1 , q 21 , . . . , q 2 l 2
n1 , . . . , q n l n
∗ , где q sj = q
sj (X).
В дополнение к условиям, наложенным на функцию Ляпунова V (X), будем считать, что она дважды непрерывно дифференцируе- ма. Для этого достаточно, чтобы правые части уравнений (4) были дважды непрерывно дифференцируемыми [1]. Рассмотрим последовательность (n 1 × l)-матриц C 0 = 0, C k = k−1 j=0
B j , k = 1, 2, . . . . (10) 62
Теорема 2. Если последовательность (10) ограничена, то при выполнении неравенств µ > σ/2, λ > σ нулевое решение
системы (9) устойчиво по всем переменным и асимптотически X-устойчиво. При доказательстве теоремы функция Ляпунова выбирается в виде
V 1k (X) = V (X) − ∂V (X) ∂X ∗ C k Q(X). Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Следствие. В случае, если функция F (X) является однородной порядка σ > 1, Q(X) — однородная порядка µ, а D k (X, Y ) удовлетво- ряют условию D k (X, Y ) ≤ c 1 X λ , для сохранения устойчивости по всем переменным и асимптотической X-устойчивости нулевого решения достаточно, чтобы имели место следующие неравенства µ >
σ + 1 2 , λ > σ − 1. Литература 1. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автома- тического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1974. 336 c. 2. Александров А.Ю., Жабко А.П. Устойчивость разностных си- стем. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. 112 c. 63
Михеев В.С., Михеев С.Е. Санкт-Петербургский государственный университет Точная релаксация модифицированного метода Ньютона Пусть имеется некоторое отображение A : B → B, где B – банахово пространство. Рассматривается метод простой итерации x k+1
= A(x k ), k = 0, 1, . . . , поиска неподвижной точки α отобра- жения A. Об A часто бывает известна некоторая дополнительная информация I. Например, такая A(x k
k − α ,
c < 1. Для ускорения метода простой итерации, а точнее, создания нового итеративного процесса с базовым отображением A предлагается Принцип минимальности (ПМ). Введем в состав итератив- ной информации I k величину A(x k ) и оценку текущей погрешности d k
ции, есть I k . Следующей итерацией назначим минимайзер величины ∆ k (y) := max z∈I k y − z , иными словами, x k+1
= min y∈B
max z∈I
k y − z .
Итеративный метод, полученный применением принципа мини- мальности к какому-либо методу простой итерации, будем называть точной релаксацией (ТР) соответствующего метода. Подвергнем точной релаксации модифицированный метод Нью- тона (ММН) решения скалярного уравнения g(x) = 0: x k+1 = x k − J −1 (x 0 )g(x k ) =: A(x k ), (1) где J := g . ММН является методом простой итерации с линей- ной сходимостью. Поскольку речь идет о практической реализации, в вычислительном процессе должен присутствовать критерий оста- новки, например, по малости невязки: g(x k
оценки погрешности: d k
x k
k , α — искомое решение уравнения, которое, очевидно, является неподвижной точкой базово- го алгоритма A. Для ТР наиболее удобен последний критерий. Его и возьмем для исследования. В этом случае о сходимости и скоро- сти сходимости ММН имеется теорема Мысовских [2] (теорема 4), но ее заключение о скорости сходимости имеет форму, непригодную для использования в ТР. Однако непосредственно из доказательства 64
этой теоремы извлекается достаточно информации нужного вида. Приведем её формулировку. Теорема Мысовских (ТМ). Если уравнение g(x) = 0 имеет решение α в шаре S d 0
0 и если выполнены условия: 1) существует оператор J −1 (x 0 ) и
J −1 (x 0 ) ≤ r
0 , J := g ; 2) g (x) ≤ L ∀ x ∈ S
d 0 +P M d 0 /2 x 0 ; 3) P
M := r
0 Ld 0 < 2 √ 2 − 2; то решение α единственно в шаре S d 0 x 0 , и к нему сходятся итера- ции (1), а быстрота сходимости характеризуется рекуррентными формулами c 0 := P
M /2,
x k − α ≤ c k−1 d k−1 =: d k , c k = P M + L − r 0 2 d k−1 , k = 1, 2, . . . Отметим, что в этой теореме условия 2 и 3 взаимозависимы. Это представляет заметное неудобство в ее непосредственном примене- нии. Чтобы уйти от дополнительной проблемы, огрубим несколько результаты, заменив в радиусе шара из условия 2) величину P M на
√ 2 − 2 < 0, 83 или даже на единицу: 2’) g (x) ≤ L ∀x ∈ S 1,5d
0 x 0 . Первое приближение по ММН и по обычному методу Ньютона совпадают и имеют квадратичное изменение оценки погрешности: x 1 − α ≤ r 0 L x 0 − α
2 /2, которая в сравнении с линейной из ТМ приводит к существенно иной формуле ТР, что повышает сложность программирования. Поэтому огрубим квадратичную оценку до ли- нейной |x
− α ≤ P M 2 x 0 − α ≡ c 0 x 0 − α ,
что позволяет использовать с переменным c на всех итерациях фор- мулы ТР для скалярного случая [1]: r := A(y k ) − y
k , r := |r |, y k+1
= y k + d k sgn r + r/(1 + c) 2 ∧ d k
y k + r/(1 − c 2 ) ∧ d k > r/(1 − c), (2) d
= d k − r/(1 + c) 2 ∧ d k ≤ r/(1 − c), rc/(1 − c 2 ) ∧ d k > r/(1 − c). (3) Были проведены численные эксперименты с несколькими ска- лярными уравнениями по единой схеме. 65
Ш а г 1. Выбиралась скалярная функция f с известным корнем α. На некотором расстоянии от него выбиралась начальная точка x 0 ,
0 = |x
0 − α|.
Ш а г 2. Определялся сегмент σ := [x
0 − 1, 5d
0 , x
0 + 1, 5d
0 ] ⊃ [x
0 − √ 2d 0 , x 0 + √ 2d 0 ]. Ш а г 3. Находилась оценка L ≥ sup x∈σ
f (x). Ш а г 4. Выяснялось, удовлетворяют ли найденные параметры условию ТМ: P M ≡ Lr 0 d 0 ≤ 2 √ 2 − 2 или немного более сильному условию: P M ≤ 0, 83. Если нет, то возврат на шаг 1. жүктеу/скачать 30,48 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|