Алданов е. С. «Бір айнымалыдан функцияның интегралдық есептеулері»

Часть I: 7-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 648 с. 
Часть II: 4-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -464 с.  

96 
 
Математикалық талдау негіздері. 
1  томында  нақты  сандар  теориясы,шектер    және  үзіліссіздік  теориясы,  бір 
айнымалыдан  функцияның  дифференциалдық  және  интегралдық  теориялары,  сандық 
қатарлар  теориясы,    көп  айнымалыдан  функцияның  дифференциалдық  есептеулері 
баяндалған. 
2  томындафункционалдық  қатарлар  мен  тізбектер  теориясы,  еселі  (соның  ішінде 
меншіксіз), қисық сызықты және беттік, параметрге тәуелді интегралдар теориясы, қатарлар 
теориясы және Фурье интегралдары қамтылған. 
5.  Никольский С.М. Курс математического анализа. Физматлит, 2001. 592 стр. ISBN 
5-9221-0160-9. 
Математикалық  талдау  курсы.Жоғары  оқу  орындарының  физика  және  механика-
математика  мамандықтарына  арналған  оқулық  Мәскеу  физика-техникалық  институтының 
студенттеріне оқылған дәрістер негізінде жазылған.  
Мазмұны.  Бір  және  көп  айнымалыдан  функциялардың  дифференциалдық  және 
интегралдық  есептеулері,  өрістер  теориясы,  Фурье  қатарлары  мен  интегралдары,  банах 
кеңістіктері теоиясының бастамалары және жалпыланған функциялар теориясы. 
Оқулық  бакалавр  атағын  алу  үшін  математика  бағдарламасының  сәйкес  бөлімін  түгел 
қамтиды. 
Кітап  1990  жылы  «Ғылым»  (Мәскеу)  баспасынан  шыққан  «Математикалық  талдау 
курсы» екі томдық кітабының қысқаша жақсартылған нұсқасы. 
6. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Высшая школа, 
1981. Том 1 - 687 стр. Том 2 - 584 стр. 
Математикалық 
талдау 
курсы. 
Кітапты 
жазған 
профессор, 
физика-
математикағылымдарының  докторы,  Мәскеу  физика-техникалық  институтының  жоғары 
математика  кафедрасының  меңгерушісі.Оқулықта  негізінен  сапалы  және  аналитикалық 
әдістерге  ерекше  көңіл  аударылған, онда  талдаудың  кейбір  геометриялық  қолданыстары  да 
келтірілген.Кітаптың  бірінші  томында  бір  айнымалыдан  функцияның  дифференциалдық 
және интегралдық есептеулері, көп айнымалыдан функциялар мен қатарлар теориясы туралы 
қарапайым ұғымдар баяндалады.Екінші томда көп айнымалыдан функцияның интегралдық 
және  дифференциалдық  есептеулері,  дифференциалданатын  бейнелеулер,  Фурье  қатарлары 
мен  түрлендірулері  теориясы,  функционалдық  талдау  элементтері  мен  жалпыланған 
функциялар  теориясы  орын  алады.  Университеттердің  физика-техникалық,  механика-
математикалық мамандықтары студенттері мен басқа да математиканы тереңдетіп оқытатын 
оқу орындарының студенттеріне арналған. 
7.  Зорич  В.  А.  Математический  анализ.  Часть  I.  —  Изд.  4-е,  испр.  —  М.:  МЦНМО, 
2002. —XVI+ 664 с. ISBN 5-94057-055-0 ISBN 5-94057-056-9 (часть I)  
Математикалық  талдау.  Университеттің  физика-математика  мамандықтарына 
арналған  оқулық.Жоғары  оқу  орындарының  басқа  математиканы  тереңірек  оқытатын 
факультеттері  студенттері  мен  математика  және  оның  қолданыстары  бойынша  мамандарға 
да пайдалы болуы мүмкін. 
Математикалық талдау курсының математиканың басқа да курстарымен байланыстары 
көрсетілген 
(алгебрамен, 
дифференциальдық 
геометриямен, 
дифференциальдық 
теңдеулермен, комплекс және функционалдық талдаумен). 
Бірінші  бөлімнің  негізгі  тараулары:  талдауға  кіріспе  (логикалық  символика,  жиын, 
функция,  нақты  сан,  шек,  үзіліссіздік);  бір  айнымалыдан  функцияның  дифференциальдық 
және  интегралдық  есептеулері;  көп  айнымалыдан  функцияның  дифференциальдық  және 
интегралдық есептеулері. 
Екінші бөлімнің негізгі тараулары: көпөлшемді интеграл, дифференциальдық формалар 
және  оларды  интегралдау,  қатарлар  және  параметрге  тәуелді  интегралдар  (соның  ішінде, 
Фурье қатарлары мен интегралдары, сондай-ақ асимптотикалық жіктелу). 
  8.   Темірғалиев Н.  
Математикалық анализ. Т. I. Алматы: Мектеп, 1987. 288 б. 

97 
 
Математикалық анализ. Т. II. Алматы: Ана тiлi, 1991. 400 б. 
Математикалық анализ. Т. III Алматы: Бiлiм, 1997.Б. 432 б. 
Автордың  оқулыққа  алғысөздерінен:  Қазіргі  уақытқа  дейін  математикалық 
анализден  қазақ  тілінде  мынадай  оқулықтар  жазылған:  О.А.  Жәутіковтің  «Математикалық 
анализ курсы» (1958 ж), осы аттас Х.И. Ибрашев пен Ш.Т. Еркеғұловтың екі томдығы ( 1963 
ж.-I т., 1970 ж.-II т. ) және Б.Т. Төлегеновтың «Математикалық анализден лекциялар курсы» ( 
1973 ж.-I б., 1969 ж.-II б. ). 
Бұл кітап математикалық анализдің толық курсының бірінші бөлігін құрайды. 
Оның кейбір өзіндік ерекшеліктерін атап өтейік. 
Нақты  сандар  аксиоматикалық  әдіспен  анықталған.  Нақты  сандар  жиынын  рационал 
сандар  жиынынан  айыратын  толықтық  аксиомасының  (оны  үзіліссіздік  аксиомасы  деп  те 
атайды)  бірнеше  эквивалентті  түрлері  бар.  Мәселен,  ол    Коши  тізбектерінің  кемімейтін, 
жоғарыдан шенелген тізбектердің әрқашан да нақты мәнді шегі бар деген түрлер де беріледі. 
Сонан  соң  толықтық  аксиомасының  тағы  бір  эквивалентті    түрі  болатын  әрбір  жоғарыдан 
шенелген  нақты  сандар  жиынының  супремумы  бар  екендігі  туралы  тұжырым  дәлелденеді. 
Дәл  осы  қасиет  кітапта  толықтық  аксиомасы  ретінде  алынды.  Супремум  ұғымын 
пайдаланып, әрбір оң санның арифметикалық түбірі мен логарифмі  бар болатыны, әрбір оң 
санның  нақты  мәнді  дәрежесі  анықталып,  логарифм  мен  дәреженің  және  нақты  сандардың 
басқа да  негізгі қасиеттері ұтымды дәлелденеді. 
Функцияның шегінің «

 
» тіліндегі анықтамасы, анықталмағандықты ашу әдістері, 
анықталмағандық табиғатын ақырлы және ақырсыз сандар арифметикасымен байланыстыру, 
әрбір  нақты  мәнді  функцияның  кез-келген    нүктенің  маңайындағы  жалпы  құрылысының 
геометриялық  талқылауы,  функцияның  үзілу  нүктелерінің  толық  зерттеуі  –  осы  және  т.с.с. 
мәселелер кітапта өзгеше берілген. 
Сонымен қатар, математика тілінің негізгі элементтеріне: анықтама және оның маңызы, 
белгілеулер,  соның  ішінде  символдармен  белгілеу  мәселелері,  кері  тұжырым  құру  ережесі, 
теорема, лемма, қажеттілік, жеткіліктілік, критерий,  т.с.с. арнайы көңіл бөлінген. 
Кітапта логикалық символдар кеңінен қолданылған. 
Кітапта  жазу  әдісі  оқырманды  математикалық  тұжырымды  анық,  дәл  және  толық 
түсініп, айта алуға үйретуге бағытталған. 
Математикалық анализге қазақ терминология мәселелері жоғарыда аталған үш еңбекте 
дамытылған. Ұсынылып отырған еңбек сол қалыптасқан терминология негізінде жазылған. 
Қазақ  ССР  ҒА  академигі  О.А.  Жәутіков,  профессорлар  М.Өтелбаев  пен  Д.Ү. 
Үмбетжанов,  доценттер  Ш.  Т.  Еркеғұлов,  Б.Т.  Төлегенов,  Т.Б.  Досымов  және  Р.  Ойнаров 
көптеген пайдалы кеңестер берді. 
Екінші бөлімнің алғы сөзінен үзінді: Бірінші бөлімдегі сияқты, бұнда да әр тараудың 
бастапқы  параграфтарында  педагогикалық  және  техникалық  жоғары  оқу  орындары  мен 
университеттер  программаларына  енетін  мәселелер  берілсе,  соңғы  параграфтар  көбіне 
университеттер  оқу  программаларына  сай  материалдарға  арналған  (әрине,  оларды 
пединституттарда  курстық  жұмыстар  тақырыбы  ретінде  ұсынуға  болады).  Осыған  орай, 
қойылған  шарттардын  жеңілдетілген  не  жалпы  жағдайына  сәйкес  кейбір  теоремалар  екі 
түрде беріледі. 
Материал  мүмкіндігінше  қарапайым  жазылған.  Негізгі  анықтамалар  мен  теоремалар 
оларды жан-жақты талқылайтын мысалдармен және ескертулермен жабдықталған. Дегенмен, 
каншама  қарапайым  және  анық  жазылса  да,  оқырман  өзі  бар  зейінін  салып,  ықыласпен 
тоқымай, оларды терең игеру мүмкін емес. 
Математикалық пәндер біріне-бірі жалғасатын сұрақтар мен оларға теоремалар түрінде 
берілетін  жауаптардан  құрылады.  Сондықтан,  ең  алдымен  қандай  мәселе,  қандай  сұрақ 
қойылып тұрғанын толық түсініп алған жөн. Мәселе, сұрақ математикалық анықтамалар мен 
терминдер арқылы қойылады. Сол анықтамалардың өздерін түсіну, дәл айта алу оңай іс емес, 
көп  ойлауды,  жан-жақты  талқылауды  қажет  етеді.  Дәл  айта  алуға  оқырманның  назарын 

98 
 
ерекше аударамыз: бір ғана сөздік қалып кетуі не екі сөздің орны ауысып кетуі анықтаманың 
мазмұнын мүлдем өзгертіп жіберуі мүмкін. 
Екіншіден, теореманың оқылуын түсіну маңызды: шарттары қандай, қорытындысында 
не  айтылған.  Әсіресе,  әр  шарттың  керектігін  тексеру  өте  пайдалы:  ол  шарт  орындалмай, 
басқа шарттар орындалса да, қорытындыны канағаттандырмайтын функция мысалын кұруға 
бола ма? Ол шартты оның салдары болатын шартқа қорытындыны сақтай ауыстыруға  бола 
ма? 
Үшіншісі  —  теореманың  дәлелдеуін  түсіну:  әр  шарт  қай  жерде  пайдаланғанын, 
дәлелдеу  үстінде  бір  тұжырымнан,  тендіктен,  теқсіздіктен  екіншісіне  көшу  жолын  толық 
білу  керек,  жалпы  дәлелдеу  логикасын  талдап,  сондағы  техникалық  әдістерді  ұғып,  есте 
сақтап, басқа да жағдайларда қолдана алатындай дәрежеге жету керек. 
Осы талаптардың бәрін орындағанда ғана математиканы нәтижелі игеруге болады... 
Үшінші  бөлімнің  алғы  сөзінен  үзінді:  Ұсынылып  отырған  оқу  құралындағы  негізгі 
қойылған  мақсат  -  біріншіден,  оқулықты  әр  түрлі  мамандықтар  бойынша  оқып  жүрген 
студенттер  де  пайдалана  алатындай  мейлінше    қарапайым  әрі  анық  жазу,  ал  екіншіден, 
оқырманы  әлемнің  қай  түкпіріне  барып  одан  ары  оқуын  жалғастырамын    десе  де,  осы 
кітаптан алған білімі қажетіне жететіндей етіп, оның мазмұнын толықтырып жазу болды. Бұл 
міндетті орындап шығу үшін осы сала бойынша бұрын-соңды жазылып, қолға түскен барлық 
оқулықтарымен  (соның  ішінде  жоғарыда  аталғандардың  бәрімен  де)  танысып  шығып, 
кітапты жазу үстінде қажетті деп тапқан тұстары кеңінен пайдаланылды... 
Оқу  құралының  сапалы  шығуына  автордың  ғылыми  ұстаздары  СССР  (қазіргі  Ресей) 
Ғылым  академиясының  корреспондент-мүшесі,  МГУ  профессоры  Петр  Лаврентьевич 
Ульянов  пен  МИАН-ның  маңдай  алды  қызметкері  Сергей  Михайлович  Ворониннің  үлкен 
әсерлері болды. 
Осы  кітапта  келтірілген  жаңа  әдістер  Қазақ  Әл-Фараби  атындағы  мемлекеттік  ұлттық 
университетінде жиырма жылға жуық уақыт бойы дәріс берген кезде тексеріліп шыңдалды. 
 
Н.Темірғалиев 
1979-1994 жылдар 
 
 
Кітаппен қатынас, адамдармен арадағы қатынас сияқты:  
1) 
Көп  адамдармен  (кітаптармен)  танысасың,  бірақ  олардың 
бәрімен достық қарым-қатынас орнату оңай емес. 
2) 
Жалпы  сөзі  дұрыс  адамдармен  (кітаптармен)  көбірек  таныс 
болғанның зияны жоқ. Достасып кетуің мүмкін. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

99 
 
2 ҚОСЫМША 
 
Әлем тарихы дегеніміз –ол ұлы адамдардың тарихы 
 
Исаак Ньютон 
 
Сэр  Исаак  Ньютон  (1642  —  1727)  —  ағылшын 
физигі,  математигі  және  астрономы,  классикалық 
физиканы 
құрушылардың 
бірі. 
Ол 
«Натурал 
философияның 
математикалық 
негіздері» 
ғылыми 
тұғырлы еңбектің авторы. Бұл еңбегінде ол классикалық 
физиканың  негізі  болған  бүкіл  әлемдік  тартылыс  заңы 
мен 
механиканың 
үш 
заңын 
баяндайды. 
Дифференциалдық  және  интегралдық  есептеулерді,  түс 
теориясын  және  көптеген  математикалық,  физикалық 
теорияларды жасап шығарды.  
  Исаак Ньютон, жеткілікті дәулеті бар ұсақ фермердің ұлы, азамат соғысы 
қарсаңында  Вулсторп  деревнясында  (Линкольншир  графтығы)  дүниеге  келді. 
Ньютонның  әкесі  баласының  туығанын  көрмей  кетті.  Бала  уақытына  жетпей 
туды  да  әлжуаз  болды,  соңынан  ол  кішкене  қатайған  соң  оған  әкесінің  атын 
беріп  Исаак  деп  атады.  Денсаулығынң  әлсіздігне  қарамастан  ол  84  жыл  өмір 
сүрді.  
 1661  жылы  маусымда  18  жасар  Ньютон  Кембриджге  келеді.  Ереже 
бойынша ол латын тілі білімінен емтихан тапсырады, сонан соң оған Кембридж 
университетінің  Тринити-колледжіне  түскені  туралы  хабарлайды.  Ньютон 
өмірінің  30  жылы  байланысты  осы  оқу  орнымен  болды.  Осы  жылдары 
Ньютонның  мінез-құлқы  толығымен  қалыптасып  бітті  –ол  істі  аяғына  дейін 
жеткізу,  алдау-арбауға,  жала  мен  басынуға  төзбеу,  мақтанпаздық,  даңққа 
салқынқандылық.  
Ньютонның  математикаға  қызығушылығы  тез  арта  бастады.  Ол  өзінің 
алғашқы  маңызды  математикалық  жаңалығын  ашты:  кез-келген  рационал 
көрсеткіш  үшін  биномдық  жіктеу,  және  сол  арқылы  өзінің  негізгі 
математикалық  әдісі  –функцияны  ақырсыз  қатарға  жіктеу.  Соңынан  Ньютон 
бакалавр  болды.  Ньютонның  негізгі  ғылыми  дем  берушілері  мен  тіректері 
физиктер болды: Галилей, Декарт және Кеплер. Ньютон солардың жұмыстарын 
аяқтап,  бір  әмбебап  жүйеге  біріктірді.  Олардан  аздау  ықпал  етушілердің 
қатарында келесі математиктер мен физиктер болды: Евклид, Ферма, Гюйгенс, 
және оның тікелей мұғалімі Барроу.  
 23  жасында  Ньютон  дифференциалдық  және  интегралдық  есептеулердің 
базалық әдістерін еркін меңгерді. 
 1669  жылы  Исаак  Ньютон  университет  профессоры  болды  және  өзінің 
оқытушысы, сол кездің атақты математигі Исаак Барроудың орнына кафедраны 
басқарады.  Дәл  сол  кезде  ол  өзінің  алғашқы  ірі  жаңалығын  ашты.  Ол  неміс 
математигі  Лейбницпен  бірдей  уақытта  дерлік  кезеңде  математиканың  ең  ірі 

100 
 
бөлімдері  –дифференциалдық  және  интегралдық  есептелерді  құрды.  Бірақ 
Ньютон ашқан жаңалықтар тек математикаға ғана қатысты болып қойған жоқ.  
Исаак  Ньютон  мемлекеттік  істерге  де  қатысты.  1701  жылы  Исаак  Ньютон 
парламент  мүшесі,  ал  1703  жылы  ағылшын  Королы  қоғамының  президенті 
болып  сайланды.  Көп  ұзамай  монета  сарайының  басқарушысы  болып,  сонан 
соң монета  ісінің бас директоры болды  да осы қызметті өмірінің соңына дейін 
істеді.  
Ол  өте  қарапайым  әрі  ұялшақ  боды.  Өзінің  жаңалықтарын  көп  уақытқа 
дейін  жариялағысы  келмей,  тіпті  өзінің  өлмес  мұрасы  жоғары  да  айтылған 
«Бастаулардың» кейбір тарауларын жойып жібергісі де келіпті. «Менің жоғары 
тұруымның себебі, мен алыптардың иығына шығып тұрмын, -деді Ньютон».  
Ньютон ақшаға ешқашан есеп жүргізбеген. Оның қайырымдылығы шексіз 
болған.    Ньютон  былай  деді:  «Адамға  көзі  тірісінде  ешқашан  көмектеспеген 
адамдар,  ешқашан  ешкімге  көмектеспегендер».  Өмірінің  соңында  Ньютон  бай 
болды  және  ақша  үлестірумен  жүрді.  Бірақ  бұрынғыдай,  өзі  мұқтаж 
болғандағыдай, өзінің жақын және алыс туысқандарына да көмектесті.  
Соңыра  Исаак  Ньютон  ірі  қаражатты  өзі  туған  деревняға  қайырымдылық 
ретінде  бөлді,  жастарға  стипендиялар  бөліп  тұрды.  Мысалы,  1724  жылы  ол 
соңында  атақты  математик  болған  Маклорен  үшін  арнайы  стипендия 
тағайындап,  оны  өз  есебінен  Эдинбург  университетіне  атақты  шотланд 
математигі Джеймс Грегоридің көмекшісі етіп жібереді.  
 
Готфрид Вильгельм Лейбниц 
 
 
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), неміс 
философы,  физигі,  математигі  және  тілтанушы. 
Лейбництің  әкесі  университет  профессоры 
боды,  оның  баласы  жастайынан  ғылымға 
қызығушылық  танытты.  Мектеп  бітіргеннен 
кейін  Лейбниц  білім  алуды  Лейпциг  (1661-66) 
жалғастырды  және  Йен  университетінде  1663 
жылы бір семестр оқыды. Осы кезде ол артынан 
көп  пайдасы  тиген  математик  және  философ  Э. 
Вейгелдің идеяларымен танысты. 
  
Лейбниц  1668  жылы  университеттен  кетіп, 
мемлекеттік қызметке заңгер болып ауысады.  
1671  жылы  Лейбниц  "Жаңа  физикалық  гипотеза"  жұмысын  жариялайды. 
1672  жылы  ол  дипломатиялық  миссиямен  Парижге  келеді  де  онда  1676  жылға 
дейін  қалады.  Парижде  ол  ғалымдар  және  философтармен    кеңірек  таныса 
бастайды, математикалық мәселелерді  шешуге қызу атсалысады, сөйтіп негізгі 
арифметикалық амалдарды орындай алатын "компьютер" (Блез  Паскалдің есеп 
машинасын 
жетілдіру 
арқылы) 
құрастырады. 
1675 
жылы 
Лейбниц 
дифференциальдық  және  интегралдық  есептеулерді  құрастырады  және  өзінің 
жаңалықтарының негізгі нәтижелерін 1684 жылы, осы нәтижелерді одан бұрын 

101 
 
алған  бірақ  әлі  жарияламаған  И.  Ньютонның  (себебі  оның  жоғарыдағы  өмір 
жолында  айтылды)  алдын  алып  жариялап  жібереді  (Лейбницке  Ньютон  алған 
нәтижелердің  кейбіреуі  дербес,  ресми  емес  жағдайлармен  белгілі  болатын). 
Соңынан бұл тақырыпта артықшылықты кімге беру жөнінде көп жылдық айтыс 
туындайды.  
 Лейбництің  математикадағы  негізгі  жаңалығы  (И.  Ньютонмен  бірге)  осы 
дифференциалдық  және  интегралдық  есептеулер  болды.  Өзінің  алғашқы 
нәтижелерін  ол  1675  жылы  ол  Х.  Гюйгенстің  ықпалымен  алады.  Оның 
еңбектеріне  одан  бұрын  болған  Б.  Паскаль  (сипаттаушы  үшбұрыш),  Р.  Декарт, 
Дж.  Валлис  және  Н.  Меркатор  еңбектері  тікелей  әсер  етті.  Өзінің  жүйелі 
очерктерінде  дифференциал  мен  интегралға  анықтама  беріп,  d  және  т 
белгілеулерін  енгізді,  дифференциалдау  (қосындыны,  көбейтіндіні,  бөліндіні, 
кез-келген  тұрақты  дәрежені,  күрделі  функцияны  (1-ші  дифференциалдың 
инварианттығы)  ережелері),  экстремумдар  мен  иілу  нүктелерін  іздеу    (2-ші 
дифференциал  көмегімен)  ережелерін  ұсынды.  Лейбниц  дифференциалду  мен 
интегралдау  амалдарының  өзара  –кері  сипатын  анықтады.  1695  жылы  ол 
көбейтіндіні  көп  дүркін  дифференциалдау  формуласын  қорытып  шығарды 
(Лейбний 
формуласы). 
1702-1703 
жылдары 
рационал 
бөлшектерді 
интегралдауға 
негіз 
болған 
маңызды 
трансценденттік 
функцияларды 
дифференциалдау 
формуласын 
ойлап 
тапты. 
"Дифференциал", 
"дифференциалдық 
есептеу", 
"дифференциалдық 
теңдеу", 
"функция", 
"айнымалы",  "тұрақты",  "координаталар",  "абсцисса",  "алгебралық  және 
трансценденттік  қисықтар",  "алгоритм"  атауларын  енгізген  де  осы  Лейбниц 
болды.    Лейбниц  математиканың  басқа  да  салаларында  көптеген  жаңалықтар 
ашады: 
комбинаторикада, 
алгебрада 
(анықтауыштар 
теориясының 
бастамалары), геометрияда (қисықтардың жанасу теориясының  негіздері)  және 
т.б. 
Лейбниц  электронды-есептеуіш  машиналарды  құру  тарихында  маңызды 
роль ойнады; ол есептеу математикасында  бинарлық санақ жүйесін қолдануды 
енгізуді  ұсынды,  адам  миының  функциясын  модельдеудің  мүмкіндігі  туралы 
жазды. «Модель»  атауы да Лейбницке тиісті. 
 
 
Іс бітеді, бірақ  жақсы орындалған  жұмыс  жоғалмайды (!?). 
 
 
 
 
 
 
 

102 
 
МАЗМҰНЫ 
 
АЛҒЫ СӨЗ.................................................................................................... 
3 
ИНТЕГРАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРГЕ КІРІСПЕ...................................... 
4 
1 АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛ.......................................................... 
7 
1.1   Алғашқы функция және анықталмаған интеграл ұғымдары..... 
7 
1.2  Анықталмаған интегралдың қасиеттері....................................... 
8 
1.3 Анықталмаған интегралдарды есептеудің әдістері...................... 
1.3.1 Функцияны дифференциал таңбасының астына кіргізу..... 
1.3.2 Айнымалыны ауыстыру.......................................................... 
1.3.3 Бөліктеп интегралдау ............................................................. 
11 
11 
12 
12 
1.4 Квадрат үшмүшеліктермен берілген өрнектерді интегралдау.... 
15 
1.5 Рационал функцияларды интегралдау........................................... 
1.5.1 Рационал бөлшекті элементар бөлшектерге зерттеу........... 
1.5.2 Элементар бөлшектерді интегралдау ................................... 
17 
17 
21 
1.6 Тригонометриялық функцияларды интегралдау.......................... 
23 
1.7 Иррационал функцияларды интегралдау...................................... 
25 
1.8 «Алынбайтын» интегралдар ұғымы.............................................. 
26 
Қайталауға арналған сұрақтар мен өз бетімен шығаруға есептер....... 
27 
2. АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛ 
 
2.1. Анықталған интеграл ұғымына  әкелетін есептер........................ 
2.1.1 Қисық сызықты трапецияның ауданы ................................... 
2.1.2 Сызықты біртексіз өзек массасы ........................................... 
2.1.3 Түзусызықты жол кесіндісінде айнымалы күштің     
жасайтын жұмысын есептеу 
31 
31 
32 
33 
2.2. Интегралдық қосынды және анықталған интеграл..................... 
34 
2.3. Анықталған интегралдың қасиеттері............................................ 
36 
2.4. Анықталған интегралды есептеу. Ньютон-Лейбниц 
формуласы....................................................................................................... 
 
38 
 
2.5 Анықталған интегралды есептеудің әдістері................................ 
2.5. 1 Айнымалыны ауыстыру әдісі................................................ 
2.5.2 Анықталған интегралды бөліктеп интегралдау .................... 
40 
40 
42 
2.7 Меншіксіз интегралдар.................................................................... 
2.7.1. I-ші текті меншіксіз интегралдар ......................................... 
2.7.2. II-ші текті меншіксіз интегралдар......................................... 
2.7.3. I және II текті меншіксіз интегралдардың 
43 
43 
46 
 

103 
 
жинақтылық.....белгілері.....................................................................................
....................... 
51 
ӨЗ БЕТІНШЕ ЕСЕПТЕУГЕ ЖАТТЫҒУЛАР МЕН ҚАЙТАЛАУҒА 
АРНАЛҒАН СҰРАҚТАР............................................................................... 
 
52 
3 АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДАРДЫҢ ҚОЛДАНЫСТАРЫ 
 
3.1 Анықталған интегралдың геометриялық қолданыстары.............. 
56 
3.1.1 Жазық фигураның ауданын есептеу....................................... 
56 
3.1.2 Айналу денелерінің көлемін есептеу...................................... 
61 
3.1.3 Жазық доғаның ұзындығын есептеу....................................... 
66 
3.1.4 Айналу денесінің бетінің ауданын есептеу............................ 
68 
ӨЗ БЕТІНШЕ ЕСЕПТЕУГЕ ЖАТТЫҒУЛАР МЕН ҚАЙТАЛАУҒА 
АРНАЛҒАН СҰРАҚТАР................................................................................. 
 
68 
3. 2 Анықталған интегралдың физикалық қолданыстары.................... 
71 
3.2.1 Кейбір қажетті ұғымдар.......................................................... 
71 
3.2.2 Жазық пластинаның ауырлық центрі..................................... 
73 
3.2.3 Біртекті жазық доғаның ауырлық центрі............................... 
76 
3.2.4 Сұйықтың вертикаль пластинаға жасайтын қысымы........... 
77 
3.2.5 Анықталған интегралды қолданып күштің жұмысын........... 
есептеу............................................................................................................... 
 
79 
ӨЗ БЕТІНШЕ ЕСЕПТЕУГЕ ЖАТТЫҒУЛАР МЕН ҚАЙТАЛАУҒА 
АРНАЛҒАН СҰРАҚТАР................................................................................ 
 
80 
4 АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДАРДЫ ЖУЫҚТАП ЕСЕПТЕУ 
 
4.1 Тіктөртбұрыштар формуласы............................................................ 
83 
4.2 Трапециялар формуласы.................................................................... 
84 
4.3 Симпсон формуласы........................................................................... 
85 
АНЫҚТАЛМАҒАН ЖӘНЕ АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДАРДАН 
ЕМТИХАН СҰРАҚТАРЫ............................................................................. 
 
86 
ӘДЕБИЕТТЕР 
88 
ҚОСЫМШАЛАР 
89