Алданов е. С. «Бір айнымалыдан функцияның интегралдық есептеулері»

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ 
МИНИСТРЛІГІ 
Қ.ЖҰБАНОВ АТЫНДАҒЫ АҚТӨБЕ ӨҢІРЛІК МЕМЛЕКЕТТІК 
УНИВЕРСИТЕТІ  
 
 
 
 
 
 
 
 
АЛДАНОВ Е.С. 
 
 
 
 
 
«Бір  айнымалыдан функцияның интегралдық есептеулері» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
АҚТӨБЕ-2013 

2 
 
УДК  517.3 
ББК    
 
         Бір  айнымалыдан  функцияың  интегралдық  есептеулері.  Элективті 
курс  бойынша  оқу-әдістемелік  құрал.  /  Е.С.Алданов.  Ақтобе:  баспасы,  2014.  
103б. 
 
Бір  айнымалыдан  функциялардың  интегралдық  есептеулеріне  қатысты 
теория  тиянақты  жинақталып  беріліп,  теориялық  материалдардың  баяндалуы 
соларға  қатысты  көптеген  мысалдар  мен  есептер  арқылы  толықтырылып 
отырады  және  қосымша  өзіндік  жұмысқа  қажетті  есептер  мен  жаттығулар 
берілген.  
Оқу-әдістемелік  құрал  математикалық  талдаудың  жалпы  курсына  кіретін 
негізгі  бір  бөлімі  «Бір  айнымалыдан  функцияның  интегралдық  есептеулері» 
пәнін студенттердің өз бетінше оқып-үйренуіне лайықтап дайындалған. 
 
 
 
 
 
Пікір жазушылар: 
1.МУХАМБЕТЖАНОВ 
С.Т., 
физика 
математика- 
ғылымдарының 
докторы, профессор; 
2.САРТАБАНОВ  Ж.А.,  физика  математика-  ғылымдарының  докторы, 
профессор; 
3.ЖЕҢСІКБАЕВ  Қ.С.,физика  математика-  ғылымдарының  кандидаты, 
доцент; 
 
       Ақтөбе өңірлік мемлекеттік университетінің оқу-әдістемелік кеңесінің 
шешімі бойынша баспаға берілді. 
 
Алданов Е.С., 2014. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3 
 
Алғы сөз 
 
Математикалық  талдау  классикалық  математиканың  негізі  ретінде 
математиканың,  физика  мен  информатиканың  және  басқа  жаратылыстану 
ғылымдарының  есептерін  шығару  құралы  ретінде  міндетті  пәндердің 
негізгілерінің  бірі.  Кезінде  классикалық  университеттерге,  педагогикалық 
институттар  мен  техникалық  оқу  орындарына  арналып  жазылған,  сырт  көзге 
қалың  көрінетін,  мазмұны  да  қою  (терең  теориялық  мазмұнды),  көбіне  орыс 
тілінде  жазылған,  бәрімізге  белгілі  атақты  математик  ғалымдар  жазған 
(олардың  кейбір  негізгілерін  қосымша  ретінде  оқу  құралының  соңындағы 
тізіммен  келтіремін)  оқулықтар  мен  оқу  құралдары,  әрине  бұл  тұғырлы  пәнді 
оқып үйренуде негізгі таптырмас ақпарат көздері болып табылады. 
Қазіргі 
оқыту 
жүйесі 
бойынша 
мемлекеттік 
стандарттарда 
оқу 
бағдарламаларын  еркін  жоспарлауға  мүмкіндік  беріліп,  базалық  міндетті 
пәндердің барлығы дерлік таңдау компоненттеріне ауыстырылып отыр.  
«Бір  айнымалыдан  функцияың  интегралдық  есептеулері»  элективті  курс 
болып есептеледі.  
«Бір  айнымалыдан  функцияың  интегралдық  есептеулері»  математикалық 
анализ  курсының    бір  негізгі  бөлімі  бойынша  аттас    элективті  курстан    пәннің 
оқу  бағдарламасына  сәйкес  құрастырылғаноқу  құралы.  Бұл  оқу  құралы 
математиканы  студент  қауымына  негізгі  теорияны  тез  меңгеруге  мүмкіндік 
беретіндей,  теориялық  мәліметтер  қысқа  да  түсінікті  беріліп,  бірақ  негізгі 
мәселеге  оқушының  көзін  толық  ашатындай  (автордың  ойынша),  практикалық 
мазмұнға  бай  жұмыс  ретінде  ұсынылып  отыр.Негізінен  педагогикалық 
математика, 
физика, 
информатика 
мамандықтары 
студенттері 
үшін 
құрастырылған,  алайда  басқа  да  оқырманға  пайдасы  тиетіндей  жұмыс  болады 
деп  сенемін  және  осыған  алып-қосар  ақыл-кеңестер  мен  сындарлы  пікірлер 
болса, онда осы еңбектің көзге түскені деп қабылдаймын. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4 
 
Белгілеулер мен олардың мағынасы 
 
 
натурал сандар жиыны 
бүтін сандар жиыны
 
рационал сандар жиыны 
нақты сандар жиыны 
комплекс сандар жиыны 
ұштары 
  және 
  нүктелері  болатын  сәйкес  кесінді  мен 
интервал 
ұштары 
  және 
  нүктелері  болатын  сәйкес  жартылай 
кесінділер 
аралықтар,  жиындар  (
X
жиыны  –осылардың  біреуі 
болады) 
санның абсолют шамасы (модулі) 
берілген 
жиынына тиісті  элементі (нүктесі) 
ақырсыз алыстатылған 
 және 
 нүктелерінің бірге белгіленуі 
бар болу кванторы 
барлығына бірдейлік кванторы (
кез-келген   үшін) 
саны 
  болатын 
  қосылғыштардың  қосындысы: 
 
функцияны 
айнымалысы  бойынша  интегралдау  амалының 
белгісі 
функцияны 
айнымалысы  бойынша  дифференциалдау  амалының 
белгісі 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

N

Z

Q

R

C





b
a
b
a
,
,
,
a
b

 


b
a
b
a
,
,
,
a
b





 


b
a
b
a
b
a
b
a
,
,
,
,
,
,
,

x

 X
x
X
x











x
x



n
k
k
a
1
n
n
a
a
a
,...,
,
2
1
n
a
a
a



...
2
1
 


 dx
x
 


dx
d
x

5 
 
ИНТЕГРАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРГЕ КІРІСПЕ 
 
 
 
Интегралдықесептеулер 
–математикалық 
талдаудың 
функция 
интегралдары 
мен 
оның 
қолданыстарын 
зерттеуге 
арналған 
бөлімі. 
Математикалық талдау – Ньютон мен Лейбниц есімдерімен тығыз байланысты, 
бірақ  оларға  дейін  де  олардан  кейін  де  әртүрлі  уақытта,  әртүлі  елдерде  өмір 
сүрген  зерттеушілер  еңбектері  арқылы  даму  эволюциясынан  өтіп  қалыптасқан 
математикалық  ғылымның  бірегейі.  Өте  ерте  заманнан  бұл  зерттеушілер  өзара 
хат жазысып, жеке кездесулер жасап, өзара тығыз шығармашылық байланыста 
болған және олардың көңілі негізінен екі мәселеге бөлінді [1]. 
Біріншіден,жанама  мәселесі,  яғни  берілген  қисыққа  жүргізілген  жанама 
түзуді анықтау –дифференциалдықесептеулердіңнегізгімәселесі. 
Екіншіден,квадратура  мәселесі,  яғни  берілген  қисықпен  байланысты 
фигураның 
ауданын 
есептеу 
мәселесі 
–бұл 
интегралдықесептеулердіңнегізгіесебі. 
Осылайша  Галилей  мен  Кеплерден  бастау  алған  математикалық 
жұмыстарды  жалғастырған  зерттеушілердің  еңбегі  математикалық  анализдің 
екі негізгі тарауының құрылуына әкелді: 
I. Дифференциалдық есептеулер –функцияны дифференциалдау амалы мен 
туынды табу. 
 II. Интегралдық есептеулер –функцияны интегралдау амалы мен алғашқы 
функция табу. 
Осы зерттеулер оларға дейін де, олардан кейін де жалғасқанымен, барлық 
зерттеушілердің  ішінен  математикалық  талдауды  құрушылар  емес,  оны 
жүйелендірушілердің  негізгілері  ретінде  Ньютон  мен  Лейбництің  (қосымшаны 
қараңдар) еңбектері орасан болды. Олардың теңдессіз ұлы еңбегі  - бастапқыда 
өзара  байланысы  жоқ  көрінетін  осы  екі  мәселенің  ішкі  байланысын  сезе 
білуінде  болды.  Осылайша  олар  біріктіріп  құрастырған  әдіс  ғылымның  қуатты 
қаруына айналды. Шын мәнінде ғылымдағы бұл жетістік Лейбниц ойлап тауып 
енгізген  ерекше  символдық  белгілеулермен  (туынды,  дифференциал,  интеграл 
т.б.) де байланысты болды.  
Осы  оқу  құралында  интегралдық  есептеулерден  бастапқы  теориялық 
мәлімет келтіріліп, олардың практикалық қолданыстары көрсетіледі. 
Жазық  фигураның  ауданын  есептеу  үшін,  ең  алдымен,  аудан  бірлігі 
ретінде  қабырғасының  ұзындығы  бір  сызықтық  өлшем  бірлігі  (м,  см,  мм  т.б.) 
болып  табылатын  квадратты  таңдап  аламыз.  Мысалы, сызықтық  өлшем  бірлігі 
бір  сантиметр  болған  жағдайда,  аудан  бірлігі  ретінде  бір  сантиметр  квадрат 
алынады. 
Осылайша 
аудан 
бірлігі 
анықталғаннан 
кейін, 
оп-оңай 
тіктөртбұрыштың  ауданын  есептей  аламыз.  Мысалы,  егер  тіктөртбұрыштың 
сызықтық  өлшемдері 
p
және 
q
  болса,  онда  оның  ауданы 
pq
  квадрат  бірлікке 

6 
 
немесе,  қысқаша  айтқанда, 
pq
  көбейтіндісіне  тең.  Бұл  анықтама 
p
    және 
q
 
кез-келген -рационал немесе иррационал болғанда да дұрыс болады. 
Айталық 
Q
q
p

,
,  яғни  рационал  сандар  болсын.  Онда 
n
m
q
n
m
p




,
 
ауыстыруларын  жасай  отырып,  мұндағы 
m
m

,
-бүтін  сандар,  ал 
n
n 
,
-натурал 
сандар,  тіктөртбұрыш  қабырғаларының  ортақ  өлшемі 
N
1
  деп  алып,  оны 
былайша  анықтайық: 
n
n
n
m
n
m
p




1
  , 
n
n
n
m
n
m
q






1
,  сосын 
N
n
n
1
1


.  Сонда 
N
n
m
p
1


  және 
N
n
m
q
1


.  Осыдан  кейін,  берілген  тіктөртбұрышты 
қабырғаларының ұзындығы 
N
1
 болатын, аудандары 
2
1
N
 тең ұсақ  квадраттарға 
бөлеміз.  Мұндай  квадраттардың  жалпы  саны 
n
m
n
m



болады.  Ал  олардың 
жалпы ауданы: 
pq
n
m
n
m
n
n
n
n
n
m
n
m
N
n
m
n
m
















1
1
2
. 
Дәл осындай нәтижені иррационал
p
  және 
q
үшін алуға болады: алдымен 
r
r
q
q
p
p


,
,  мұндағы   
Q
q
p
r
r

,
,  яғни  бастапқы 
p
    және 
q
мәндеріне 
жуықрационал  сандар  деп  аламыз,  сонан  соң  осы  сандарды  сол   
p
    және 
q
 
мәндеріне ұмтылдырамыз.  
 
 
0-сурет. 
Осындай нәтижелерді қолданып, кез-келген үшбұрыштың ауданын 






pq
2
1
  
немесе  сынық  сызықтармен  шектелген  жазық  фигураның  ауданын  есептеуге 
болады (көпбұрыштарды үшбұрыштарға бөлшектеп алып).  

7 
 
Жазықтықтағы  фигуралардың  аудандарын  есептеудің  жалпы  тәсілін  табу 
қажеттілігі,  фигура  сынық  сызықтармен  шектелгенде  емес,  қисықтармен 
шектелген  кезде  туындады.  Мысалы,  парабола  сегментінің  ауданын  анықтау 
үшін  не  істейміз?  Жалпы  жағдайда,  мұндай  аудандар  төртбұрыштарға  немесе 
үшбұрыштарға  бөлінбейтіндіктен,  оларды  есептеуге  жарамды  математикалық 
формуланы көрсету де қиынға соғады. Интегралдық есептеулердің негізі болып 
табылатын  мұндай  аса  маңызды  мәселенің  жауабын  іздеу  өте  ертеде,  біздің 
эрамызға  дейінгі  уақыттан  басталды.  Біздің  эрамызға  дейінгі  III  ғасырда 
осындай  фигуралардың  ауданын  есептеумен  Архимед  айналысқан.  Архимед 
қолданған  әдістің  негізіне  -бастапқы  қисық  сызықты  фигураның  ауданын 
біртіндеп  бір-біріне  сырттай  сызылған  сынық  сызықты  аудандармен  "жабу" 
арқылы  өлшеу  алынған  (0  -сурет).Осылайша  жалғастыра  отырып,  бастапқы 
облысты  түгелдей  оған  біртіндеп  іштей  сызылған,  ал  бір-біріне  сырттай 
сызылған  көпбұрыштар  тізбегі  арқылы  өлшеуге  болады.  Осы  әдіспен  радиусы 
бірге тең шеңбердің ауданын өлшеуге болады және оның сандық мәні 

-ге тең.  
 
Студент үшін кеңес: 
Жұмысыңды 
 бар күшіңді сарыққанда емес, ары қарай 
жалғастыруға шамаң бар кезде  тоқтат.
 
СУДОКУ-Өлшемдері 9х9 шаршыдағы әрбір тік және жатық жолдар мен  кішкентай 3х3 шаршыларды 1-
ден 9-ға дейінгі цифрлармен қайталауларсыз толтыру керек 
8 
9 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
3 
 
7 
 
 
 
 
 
 
9 
 
5 
8 
3 
 
 
7 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
7 
 
6 
1 
 
 
 
5 
9 
 
 
 
 
8 
5 
 
 
 
2 
 
5 
2 
6 
 
 
 
8 
 
 
8 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 

8 
 
1 АНЫҚТАЛМАҒАН ИНТЕГРАЛ 
 
1.1Алғашқы функция және анықталмаған интеграл ұғымдары 
 
Дифференциалдық 
есептеулердегі 
негізгі 
есептің 
бірі 
–берілген 
функцияның  туындысын  табу  болып  есептеледі.  Туындыны  табу  амалын  біз 
дифференциалдау 
деп 
атаймыз. 
Математикалық 
талдау 
мен 
оның 
қолданыстарындағы  алуан  түрлі  есептер  кейде  кері  есепті  шығаруды  талап 
етеді:  берілген 
 
x
f
    функциясы  бойынша 
 
 
x
f
x
F


    теңдігі  орындалатын    
келесі
 
x
F
 функциясын табу, яғни туындысы бастапқы берілген функцияға тең 
функцияны анықтау есебі. 
Бұл  есеп  –интегралдық  есептеулердің  негізгі  есептерінің  бірі  болып 
табылады. 
Анықтама. 
 
x
F
 функциясы 
 
x
f
 функциясының қайсібір берілген  X
аралығындағы  алғашқы  функциясы  деп  аталады,  егер  барлық 
X
x 
(осы 
аралыққа тиісті нүктелер) үшін: 
 
 
x
f
x
F


 теңдігі орындалса. 
Теорема.   
Егер
 
x
F
    функциясы 
 
x
f
    функциясына  берілген 
X
аралықта алғашқы функция болса, онда  
 
С
x
F

 (
С
- тұрақты сан) функциясы 
да сол аралықта 
 
x
f
  функциясының алғашқы функциясы болады.  
Д
ә
лелдеу
.  
 


 


 
.
,
X
x
x
f
C
x
F
C
x
F








. 
Теорема  
(алғашқы функциялар туралы). 
   
x
G
x
F
,
функциялары 
 
x
f
 
функциясының берілген 
аралығындағы екі алғашқы функциясы болсын, онда 
олардың айырмасы тұрақтыға тең болады: 
 
 
C
x
G
x
F


-  тұрақты сан. 
Д
ә
лелдеу
. 
Берілген 
аралығында келесі 
 
 
 
x
G
x
F
x
V


 функциясын 
қарастырайық,  бұл  айырма 
   
x
G
x
F
,
функциялары  секілді  берілген  аралықта 
үзіліссіз  және  дифференциалданады.  Онда  кез-келген 


1
2
2
,
1
x
x
X
x
x


 
үшін 
Лагранждың ақырлы айырмалар формуласы бойынша:   
 
 
 
 

 
 




 
 




2
1
2
1
2
1
2
1
0.
V x
V x
V c x
x
F c
G c
x
x
f c
f c
x
x













 
Сондықтан,  
 


 
 
.
)
(
,
,
))
(
)
(
(
2
1
/
C
x
V
x
G
x
F
x
x
c
C
c
G
c
F







 
 
Анықтама. 
 
x
f
 функциясының берілген 
X
аралықтағы анықталмаған 
интегралыдеп,  берілген  функцияның  осы  аралықтағы  барлық  алғашқы 
функцияларының жиынын айтады:  
 
 
 



C
x
F
dx
x
f
.                                                (1.1) 
 
X
X

9 
 
Осы  теңдіктің  сол  жағындағы  өрнек  –анықталмаған  интегралдың 
белгіленуі  және  ол  былай  оқылады: 
 
x
f
  функциясынан 
x бойынша 
анықталмаған  интеграл. 


интеграл  белгісі,  осы  белгінің  астындағы
 
x
f
 
функциясы  –интеграл  астындағы  функция,  ал 
 
dx
x
f
  -интеграл  астындағы 
өрнек деп аталады. 
Функцияның  анықталмаған  интегралын  табу  амалы  –интегралдау  амалы 
деп  аталады.  Анықтамасы  бойынша  интегралдау  амалы  дифференциалдау 
амалына кері амал болып табылады. 
 
1.2 Анықталмаған интегралдың қасиеттері 
 
Анықталмаған  интегралдың  қасиеттерін  шартты  түрде  екі  топқа  бөлуге 
болады. 
Оның 
бірінші 
тобына 
тікелей 
анықталмаған 
интегралдың 
анықтамасынан шығатын, яғни интегралдау амалы -дифференциалдау амалына 
кері  амал  екендігінен  шығатын  қасиеттер  топтастырылған.  Екінші  топқа, 
сызықтылық  қасиетіне  қатыстықасиеттер  топтастырылған.  Интегралдау  –оған 
кері дифференциалдау амалы секілдісызықты амал. 
 
Аны
қ
талма
ғ
ан  интеграл  
қ
асиеттеріні
ң  
бірінші  тобы
.  
I.1
 
 
.


x
f
dx
x
f
dx
d
 
I.2
 
 
C
x
f
dx
x
f
dx
d



 
I.3
 


 
dx
x
f
dx
x
f
d


 
I.4
 
 



C
x
f
x
df
 
 
Д
ә
лелдеулер
. 
 1)
 
 



C
x
F
dx
x
f
  
болғандықтан,