Әммен Көшеров., Лаура Искакова Қазақстан, Шымкент қаласы, «Өрлеу» біліктілікті арттырудың

                               Scientific Issues of the Modernity                                   

67 

PHYSICS AND MATHEMATICS 

 

 

Әммен Көшеров., Лаура Искакова 

 

Қазақстан, Шымкент қаласы, «Өрлеу» біліктілікті арттырудың 

ұлттық орталығы» АҚ филиалы ОҚО бойынша ПҚБАИ 

 

ФУНКЦИЯЛЫҚ ТӘУЕЛДІЛІКТІ МАТЕМАТИКА 

МЕН ФИЗИКАНЫ БАЙЛАНЫСТЫРУ НЕГІЗІНДЕ 

МЕҢГЕРТУ 

 

In  this  paper  is  considered  about  opportunities  and  efficiency  of 

concept functional dependence formation at training interrelation of physics 

and mathematics 

 

Шамалар  арасындағы  функциялық  тәуелділік  математикадағы 

негізгі  ұғымдардың  бірі.  Бұл    ұғымның  танымдық  және  ғылыми 

кӛзқарастық  маңызы  туралы  белгілі  әдіскер-ғалым  А.Я.Хинчин 

«Ӛмірдегі шынайы ширақтылықты, қимыл-қозғалысты  және де нақты 

шамалардың  ӛзара  байланысын  функциялық  тәуелділіктен    басқа 

ұғымдардың  ешқайсысы  да  әрі  тікелей,  әрі  дәл  қамтып  кӛрсете 

алмайды»  -  десе  [1],  ұлы  физик  А.Эйнштейн  былай  дейді.  «Қазіргі 

физиканың  алғашқы  идеясынан  туындайтын  қорытындысын  сапалық 

тұрғыдан  ғана  емес,  сандық  тұрғыдан  да  дәлелді  болуы  керек.  Ал 

сандық  қорытынды  жасау  үшін,  біз  математикалық  тілді 

пайдалануымыз  керек,  мұндай  жағдайда    математика  бізге  зерттеу 

құралы  ретінде  қажет,  кез  келген  физикалық    заң,  оған  айқын 

математикалық  форма  берілгенде  –  дәлірек  айтқанда    физикалық 

шамалар  арасындағы  байланыстар  функциялық  тәуелділік  түрінде 

жазылғанда ғана, тұжырымдалды деп есептелінеді». [2] 

Функциялық  тәуелділік  ұғымының  ғылымға  енуі  ұзақ  кезеңді 

қамтиды.  Ол  Ежелгі  Вавилоннан  бастау  алып,  қазіргі  математиканың 

сан-саласында  дамытылып  келеді  (Н.Оресми,  Р.Декарт,  Г.Лейбниц, 

И.Ньютон, И.Бернулли, Ф.Клейн, т.б.). 

Функциялық  тәуелділікті  орта  мектепте  оқытудың  әдістемелік 

мәселелері 

туралы: 

И.Сомов, 

К.Лебединцев, 

В.Хомутский, 

В.Мултановский,  А.Колмогоров,  т.б.  еңбектерінде,  ал  функциялық 

тәуелділікті  пәнаралық  байланыстар  негізінде  оқыту  жӛнінде: 

    Proceedings of the International Scientific and Practical Conference     

68 

А.Пинский,  Т.Кожекина,  А.Тажмағанбетов,  А.Усова,  Р.Архонтова, 

О.Сатыбалдиев, Ш.Омашов, т.б. айланысты.   

Функциялық тәуелділікті мектеп бағдарламасында оқып үйрету 

күрделі  де,  ұзақ  үдеріс.  Сондай-ақ  функциялық  тәуелділік  тек 

математикада  емес,  басқа  оқу  пәндерінде  де  кеңінен  қолданады, 

әсіресе  физиканы  оқып-үйренгенде  оның  маңызы  зор.    Функциялық 

тәуелділікті  пәнаралық  байланыстар  негізінде  оқып-үйрену,  бұл 

ұғымды  оқушылардың  дұрыс  та,  тереңірек  түсінуіне  мүмкіндік 

жасайды.  

Физика  мен  математиканы  байланыстыру  кезінде  функциялық 

тәуелділіктің  пәндердегі  ерекшеліктерін  міндетті  түрде  ескеруіміз 

керек. Бұл ерекшеліктердің кейбіреулері қазірге дейінгі бағдарламалар 

мен  оқулықтарда  да  толықтай  шешімдерін  тапқан  жоқ.  Солардың 

негізгілеріне  тоқтала кетейік.  

1.

 

Физикадағы  «айнымалы  шама»  ұғымын  математикадағы 

«айнымалы»  ұғымы  тұрғысынан  тұжырымдау  керек,  ӛйткені 

айнымалы:  сан  да,  шама  да,  ӛрнек  те  болуы  мүмкін.  Ал,  физикада 

оқушылар  айнымалыны  уақыт  ӛтуіне  байланысты  үздіксіз  ӛзгеретін 

шама  ретінде  түсінеді.  Мысалы:  айнымалы    токқа  байланысты 

шамалар, серіппе тербелісін анықтайтын шамалар, т.с.с.  

2.

 

Қазіргі  мектептің  алгебра  оқулығында  функцияға  мынадай 

анықтама берлілген: «Х-айнымалының әрбір мүмкін болатын мәніне У 

айнымалысының  бір  ғана  мәні  сәйкес  келсе,  онда  У  айнымалысы 

функция  деп  аталады».  [3]  Осы  анықтамадан  кейін  «Х  және  У 

айнымалылары  арасында  функциялық  тәуелділік  (байланыстылық) 

орнайды» деп толықтыру қажет. Ӛйткені   математикада  да, физикада 

да функция туралы айтқанда айнымалылар  арасындағы  тәуелділіктер 

қарастырылады.  Мысалы 

5

3





x

y

  (х-пен  у  арасында), 

10

3

2





t

s

   

(t мен s арасында) , т.с.с.  

3.

 

Математикадағы 

«коэффициент» 

және 

физикадағы 

«коэффициент», 

пропорционалдық 

коэффициент, 

«параметр» 

ұғымдары  арасында  айқын  бірізділік  жоқ.  Мысалы,  физикада 

kT

E

2

3



  формуласында,  оқушылар  қайсысының    коэффициент  

екендігін нақты ажырата алмайды.  

4.

 

Физикада  әйтеуір  бір  екі  шама  арасындағы  функциялық 

тәуелділік  формула  түрінде  беріліп,  қарастырылады.  Сонда  «екі  

айнымалы  физикалық  шамалар  арасында  функциялық  тәуелділік 

себеп-салдарлы байланыста болуы міндетті ме, әлде міндетті емес пе?» 

деген  сұраққа  нақты  жауапты  айқындап  алу  керек.  Мысалы,  тізбек 

                               Scientific Issues of the Modernity                                   

69 

бӛлігі  үшін  Ом  заңында 











 

R

U

I

, 

const

U



  болғанда  I  мен  R, 

арасында    себеп-салдарлы  байланыс  бар,  яғни  ток  күшінің  ӛзгеру 

себебі  кедергінің  ӛзгеруі,  керісінше  емес.  Ал   

const

U



  болғанда 











 

I

U

R

  R  мен  I  арасында  себеп-салдарлы  байланыс  жоқ,  яғни 

тізбектегі  ток  күшін  ӛзгертсек,  онда  тізбек  кедергісі  ӛзгермейді.  Бұл 

туралы  кейбір  әдіскерлер  (Т.Кожекина,  Е.Щукина,  т.б.). 

I

U

R



 

жағдайында 

)

I

(

f

R



  функциялық  сәйкестік  емес  деп  есептейді.  Ал 

А.Пинский,  С.Тхамофокова,  Н.Свиридов,  т.б.  функциялық  тәуелділік 

деп  қарастырады.  Функциялық  тәуелділік  ұғымын  математикалық 

тұрғыдан қарастырсақ, әрине екі жағдайда да сәйкестік функция болып 

табылады. 

Физикадағы 

функциялық 

тәуелділік 

туралы 

Г. Тульчинскаяның  ұсынысы    құптарлық.  Оның  ойынша  физикалық 

формуладағы кез келген екі шама арасындағы сәйкестікті функция деп 

қарастыру  керек,  бірақ  формуланы  үш  класқа  бӛліп  қарастырамыз.. 

Мысалы, Ом заңы үшін 

R

U

I



. Сонда: 1-класс (

)

I

(

f

R



) физикалық 

шаманы,  2-класс  (

)

R

(

f

I



)  физикалық  заңды,  ал  3- класс(U=f(R)) 

салдарды  анықтайды.    Осындай  тәсілмен  басқа  формулаларды  да 

қарастыруға болады. [4]  

5.

 

Математикада  скаляр  және  векторлар,  ал  физикада  скаляр 

шамалар және векторлық шамалар туралы айтылады, сондықтан олар 

арасындағы  айырмашылықтары    мен  ерекшеліктерін  ескеру  керек. 

Векторлық  шама  нақты  ӛмірдегі  заттың,  құбылыстың,  үдерістің 

қасиетін сипаттайды және оны ӛлшеуге болады, ал «векторды ӛлшеу» 

деген  ұғым  болмайды.  Математикада  скаляр  негізінен  атаусыз  сан 

болып  келсе,  физикада  скаляр  шама    атаулы  да,  атаусыз  да  болуы 

мүмкін.  Мысалы:  физикада:  уақыт  (с),  температура  (K),  масса  (кг), 

ӛтімділік  - 



  (атаусыз),  т.с.с. Тағы  бір  ерекшелік.  Математикада 

a



 

және  k

a



  векторлары  коллинеар  векторлар  болады.   Егер  k>0 

болса,онда  векторлар  бағыттас,ал  егер  k<0  болса,  онда  бағыттары 

қарама-қарсы.     Ал, физикада бұл ереже әрқашан орындала бермейді. 

Мысалы: 

a

m

F







  формуласында  F



    және   

a

m



  векторларда  ӛзара 

коллинеар  векторлар,  бірақ 

mg

F

frict







формуласында 

frict

F



  және 

( mg



)  векторлары  ӛзара  коллинеар  емес  (1-сурет).  Күш  бағыттары 

    Proceedings of the International Scientific and Practical Conference     

70 

ӛзара перпендикуляр  болады. Мұндағы,  mg



  бетті  тиістіріп  қысушы 

күш.  

 

 

1-сурет 

 

Векторлы  ӛрнектерді  жазып  кӛрсетуде  де,  екі  пәнде  біршама 

сәйкессіздіктер  бар.  мысалы,  математикада  коэффициент    бірінші,  ал 

вектор  одан  кейін  жазылады.   Мысалы, 

c



5

, 

a



7



,  ал  физикада 

керісінше  жазылады. 

t

a

v







, 

2

2

t

a

s







  және  мұның  жазылу  себебіне 

түсінік  берілмейді.  Сондай-ақ  математикада  кез  келген  екі  векторды 

қосуға  және  азайтуға  болады,  ал    векторлық  шамаларға  мұндай 

амалдарды  орындау  мүмкін  бола  бермейді.  Мысалы,  физикада 

v



 (жылдамдық 

векторы)  және 

a



(үдеу  векторы)  векторлық 

шамаларын  ӛзара  қосу деген мағынасыздық   болады.  

6.  Функциялық  тәуелділікте,  теңдеулер  мен  теңсіздіктерде 

айнымалылар  математикада  x,  y,  z,  t,  ...  деп  белгіленеді,  ал  физикада 

айнымалы  шамалар шама атауына байланысты таңбалар a, v, F, A, ... 

түрінде  жазылады.Осыған  орай,  оқушылар 

9

2

6

3







x

x

  теңдеуін 

оңай шешкенімен, физикада 

12

6

28

5







F

F

  теңдеуінен  F-ті  табуда 

қиналады. 

Енді,  математика  мен  физиканы  байланыстыру  негізінде 

функциялық  тәуелділік  ұғымын  тереңірек  меңгерту  бағытында 

жүргізілетін  жұмысқа  тоқтала  кетейік.  Функцияның  берілу  тәсілінің  

бірі  –  графиктік  тәсіл.  Функцияның  қасиеттерін  оқып-үйренуде 

графиктерді салу және оқи білу дағдыларын жетілдірудің  маңызы зор. 

Физикада 

функциялық 

тәуелділіктің 

қасиеттерін 

зерттеу 

мақсатындағы  графиктік  тапсырмалардың  математикаға    қарағанда 

біршама  ерекшеліктері  бар.  осы  ерекшеліктерді  оқушылардың  есіне 

салып  отыру керек. Олар мыналар: 

m g

 

frict

F

 

m

F



 

                               Scientific Issues of the Modernity                                   

71 

1.

 

Графикте 

қандай 

физикалық 

шамалар 

арасындағы 

тәуелділіктің берілгенін анықтау.  

2.

 

Шамалардың ӛлшем бірліктерін таңдап алу.  

3.

 

Шаманың  қайсысы  аргумент,  қайсысы  функция  екендігін 

анықтап алу (шамалар арасында себеп-салдарлы байланыс бар ма, жоқ 

па?).  

4.

 

Графиктегі шамалардың масштабтық ӛлшем бірліктерін табу 

немесе таңдау.  

5.

 

Құбылысқа,  үдеріске  немесе  заңға  физикалық  тұрғыдан  

талдау жасап, түсінік беру. 

6.

 

Физикалық құбылыс негізінде тиісті шамалардың  анықталу 

және мәндер облысын табу 

Функционалдық тәуелділікті меңгертуде пәнаралық мазмұндағы 

есептерді,  екі  пәнде  де  жүйелі  шығартып  отырудың  маңызы  зор. 

Мысалы,  математикадан  «Сызықтық  функция»,  «Екі  белгісізі  бар 

теңдеулер  жүйесін  шешу»  тақырыптарын  ӛту  кезінде  физикадан 

«Ауада  ұшу»  тақырыбы  ӛтіледі.  Осы  кезеңде  физикадан  мынадай 

есепті шығартып, талдауға болады.  

Есеп.  Кӛлемдері  шағын  екі  ауа  шарының  бірінде  гелий, 

екіншісінде  сутегі  газы  бар.  Енді  оларға  қосымша  қақпақтар  арқылы 

газ  үрлене  бастайды.  Сонда,  осы  шарларды  ауада  кӛтеруші  күштері 

(F), енгізілген газ кӛлеміне (V) мынадай тәуелділікте ӛзгереді 

 

V

,

F

1

12

54





 (сутегі үшін) 

V

,

F

2

11

63





 (гелий үшін) 

 

Екі шардың кӛтеруші күштері теңгерілуі үшін оларға қанша газ 

енгізілуі керек екендігін анықтаңдар. Мұндағы: F-ньютонмен, ал  V- м

3

 

пен ӛлшенеді. 

Әуелі  есепті  физикалық  және  математикалық  тұрғыдан  талдап 

кӛрсетейік. 

1.  Мұнда  тәуелсіз  айнымалы  шама-аргумент  (V)  кӛлем    ,  ал 

тәуелді  айнымалы    шама-функция    (F)    кӛтеруші  күш  .    Тәуелділік 

)

V

(

f

F



  түрінде  жазылады.  Шамалар  арасында  себеп-салдарлы  

байланыс  бар,  яғни  F-кӛтеруші  күш    ӛзгерісінің  себебі  V-кӛлем 

ӛзгерісінің салдары. 

2.  Кӛтеруші  күш  F-пен,  енгізілген  газ  кӛлемі    V  арасындағы 

тәуелділіктің графигі  салынады.  

3. F-функцияның мәндері тік ӛске үзік  сызықтармен салынады, 

ӛйткені F-тің мәні (54-175) аралығында  жатады. Ал кӛкжиек ӛсіне V-

ның мәндерін (0-10) аралығына салынады.  

    Proceedings of the International Scientific and Practical Conference     

72 

4.  Ауа  шарының  кӛтеруші  күші  оның  кӛлеміне  байланысты 

ӛзгереді.  

5.  Есеп  шартына  байланысты  анықталу    облысы  D=[0;  10],  ал 

мәндер облыстары: 



=[54; 175] және  



=[63; 175].  

Есептің шешулері:  

1-тәсіл.  Ауа    шарларының  кӛтеру  күштері  тең  болғанда,  яғни 

2

1

F

F



, онда 

V

,1

12

54



=







V

V

,2

11

63

10 

.  

2-тәсіл.  Екі  теңдеудің  графиктерін  бір  ғана  FOV  жазықтығына 

саламыз. Сонда 2- суреттегідей кескін аламыз. 

 

 

 

2-сурет 

 

Екі  графиктің  қиылысу  нүктесінің  абсицасы,  ізделінді  газ 

кӛлемін береді, яғни V=10м

3

.  

Ескерту:  Графиктердің  OF-ӛсімен  қиылысу  нүктелерінің 

координаталары  (

2

H

F

= 54 H және 

He

F

=63  H),  ауа  шараларына  әсер 

ететін бастапқы кері итеруші күштердің шамасын кӛрсетеді.  

3-тәсіл. Есеп шартын пайдаланып, екі теңдеуді екі айнымалысы 

бар сызықтық теңдеуге келтіруге болады, сонда  

9

2

11

1

12

2

11

63

1

12

54

2

1

2

1













V

 

,

V

 

,

V

 

,

V

 

,

 

Бұл  функциялық  тәуелділіктің  графигі  3-суретте  келтірілген. 

Сонда  теңдеудің  бірнеше  шешімі    болады,  бірақ  бізге  есеп  шартына 

F,H 

V,m

3 

0 

2 

4 

6 

8 

10 

3 

54 

57 

60 

63 

175 

172 

He 

H

2 

                               Scientific Issues of the Modernity                                   

73 

сәйкес 

He

H

F

F



2

  шарты  орындалатын  V

1

  және  V

2

-нің  мәндері  керек, 

ол 

10

2

1







V

V

V

 м

3

 . 

 

 

3-сурет 

 

ӘДЕБИЕТТЕР 

 

1.   Хинчин А.Я. Основные понятие математики. В кн. «Вопросы 

преподования математики в средней школе».-М.:,1961. С.53-55. 

2.   Эйнштейн А. Собрание  научных трудов. –М.:,1967. -225с. 

3.   Абылқасымова А., т.б. Алгебра .7. -Алматы.: Мектеп, 2012. 

4.   Тульчинская  Г.М.,  Левина  Р.С.  Физика  в  таблицах,  граф-

схемах, диаграммах. – Калуга:, 1994. -236 с. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

1

,m

3 

0 

2 

4 

6 

8 

10 

2 

4 

10 

6 

8 

V

2

,m

3