Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015

теңдеуімен аныкталатын бет 
параболалық цилиндр
 деп аталады.  Бұл беттің де 
жасаушылары 
Oz
  өсіне  параллель,  ал  бағыттаушысы 
хОу
  жазыктығында 
жаткан парабола (39-сурет).
38-сурет
39-сурет
6.4 Конустық беттер
2-анықтама.
  Берілген 
L
  сызыгын  киып  жэне  берілген  кандайда  бір 
Р 
нүктесінен  өтетін түзулерден тұратын  бет 
конустық бет
, ал  берілген 
L
  түзуі
конустык беттің 
багыттаушысы,
  берілген 
Р
  нүктесі оның 
төбесі
 және бетгі 
кұратын түзулер оның 
жасаушылары
 деп аталады.
Конустың бағыттаушы 
L
  сызыгының теңдеуі
£і(4 
у, z)=
 о
Ғ2(х,  у,
  г) = 0 ’
(
6
.
11
)
ал  оның  төбесі
жасаушысы
бағыттауш
түзу  болгандыктан  (40-сурет),  оның  екі  нүкте  аркылы  өтетін  канондык
теңдеуі
х  — хо  _  У- Уо
Z - 2 0
0
У~Уо
z - z
(
6
.
12
)
0
Енді  (6.11)  жэне  (6.12)  теңдеулерінен 
х,
  v,  z  айнымалыларын  жоятын
болсак,  онда  осыдан  шыккан  тевдеу  ізделініп  отырған  конустык  бетгің 
теңдеуі болады.  Осылай алынған тендеүлін өте біп 
к а п а п я й м м   к -яр и р ті  _  n u u u
айырымдарына 
карағанда 
біртекті
теңдеу
X  
Ү  Уо>  Ш  zo
болатындығы.
Шындығында  алдымен  конустың  төбесі  координат  жүйесінің  бас 
нүктесінде  (х0 
= у 0
  = z 0  = 0 ),  ал 
X 9 Y , Z
  конустың  кезкелген  нүктесінің
координаталары  болсын.  Демек  олар  конустың  теңдеуін  канағаттандыратын 
болады.  Конустың  теңдеуіндегі 
X ,   Ү
  жэне  Z - ті  сәйкес  түрде 
XX,
  ЯУ,  AZ
( Я -кезкелген  көбейткіш  сан)  көбейтінділерімен  ауыстыратын  болсак,  одан
теңдеу өзгермейді.  Бүдан  біз  теңдеудің  агымдағы  координаталарға  Караганда 
біртекті екендігін көреміз.
106

Ал  егер  конустын  төбесі  (дг0, 
у 0,
  z0)  нүктесінде  болса,  онда  координат
жүйесінің  бас  нүктесін  конустың  төбесіне  көшіретін  боламыз.  Сонда 
конустың  теңдеуі  жаңа  координаталарга,  ягни 
Х - х 0,  Ү
 -  
у 0
  жэне  Z - z 0
айьфымдарына Караганда біртекті болады.
багыттаушыс
жүйенің  бас  нүктесінде
Z - c
X 1 
Ү2
 
, 
- Г + Л2 = 1
і 
а 
о
(6.13)
теңдеулерімен  аныкталатын 
Z — с
  жазыктыгында  жаткан,  жарты  өстері 
а 
жэне 
Ь
  болатын  эллипс,  конустык бетті  карастырайык.  Бұл  бет 
екінилі ретті 
конус
 деп аталады.
Конуста  жататын,  өзіміздің  калауымызша  алынган, 
М( Х,   Y,  Z)
нүктесін  карастырайык.  Осы  жэне  бас  нүкте  аркылы  өтетін  жэне  конустын 
багыттаушысын 
N( X,   Y,  Z)
  нүктесінде  киып  өтетін 
ОМ
жүргізейік (40-сурет). 
О М
  жасаушысынын теңдеуі
jc
 — 0  
у— 0  
z  — О
жасаушысын
Х - 0  
Y
- О 
Z - 0
немесе
— = ^  = -  
X  
Y 
Z
болады.  Бұл теңдеуден 
X  = с ~ ,   Ү = с -
  тен.
Z  
Z
(6.14)
40-сурет
41 -сурет
Осы алынгандарды (6.13) теңдеулерінің екінші теңдеуіне койып,
немесе

uujidіындығын көреміз.  исы  алынған теңдеу -  екінші ретті конустың теңдеуі.
Бұл  жерден  егер 
а = Ь
  болса,  онда  конустың  бағыттаушысы  z = c 
жазыктығында жатқан
z
 = с  
_
2 
2 
2 
х   + у   = Щ
теңдеулерімен аныкталған шеңбер болады да,  конус  кәдімгі дөңгелек конуска 
айналады.  Бұл жағдайда оның теңдеуі
Й  
у 2 
Z2
~2
  + - J - - у ~ 0
а 
а
түрінде жазылатын болады.
6.5 Айналу беттері
Oyz
  жазыктыгында жататын
( Х  =  0
[Ғ (7 ,  Z ) = 0  
(616)
теңдеулерімен аныкталатын 
L
  сызығы берілген болсын.
Енді осы 
L
  сызығы 
Oz
  өсін айналатын  болсын.  Сонда кандай да бір  бет 
шығатын  болады.  Осыпай  алынган  бет 
айналу  беті
  деп  аталады  (41-сурет) 
Осы  айналу бетінің теңдеуін  куру керек.  Ол  үшін 
М{х,  у,   z)
  нүктесі  айналу
бетінің кандай да бір кез келген нүктесі болсын делік.  Енді осы нүкте аркылы 
өтетш 
жэне 
Oz
  өсіне  перпендикуляр  жазыктык  жүргізейік.  Сонда  осы 
жазыктык 
Oz
  өсін жэне берілген 
L
  сызытын сэйкес 
К
  жэне 
N
  нүктелерінде 
киып  өтетін болады.  Ал 
K N
  жэне 
К М
  кесінділері бір шеңбердің радиустары 
болып  табылады.  Сондыктан да 
K N  = КМ.
  Бірак 
K N
  кесіндісінің ұзындығы 
нүктесшщ 
Ү
  ординатасының абсолют шамасына тең, яғни
K N  = \ Y, an  К М  = О Р =   х 2 + у 2
болады. Демек
лг 
!
  2  .  2
/   = - 
X  + у
немесе 
! 
•
У = ±-jX2 + у 2
тен.  Сонымен  бірге 
N
  нүктесінің  апликаты 
Z ,  М
  нүктесінің  апликатасы
z — ке тең: 
Z  = z .
Ал 
N
  нүктесі  (6.16)  тевдеуімен  берілген 
L
  сызығында  жаткандыктан, 
оның  /   жэне 
Z
  координаталары  (6.16) теңдеуін  канағаттандыратын  болады.
Сондыктан 
Ү =   х 2 + у 2
 
жэне 
Z  = z
 
мэндерін  (6.16)  теңдеулерінің 
екіншісіне қоятын болсақ,
дг2 + 
у
2;  z)=  0 
(6.17)
тевдеуш  аламыз.  Осы  алынған  (6.17)  тевдеуін  айналу  бетінің  кезкелген
х,  у,  Z)
  нүктесінің координаталары  канағаттандьфатын болады.  Ал  бетге
108

жатпайтын 
нүктелердің 
координаталары 
бұл 
(6.17) 
теңдеуін 
канағаттандьфмайды.  Олай  болса,  (6.17)  тендеуі 
L
  сызығының 
Oz
  өсін
теңдеуі
теңдеулерінің
жэне  Z  координаталарын
У = ±  х2 + у 2 
Z  — z
(6.18)
формулалары  аркылы 
х,  у,  z
  координаталарымен  ауыстырудан  алынғанын
көреміз.
Сонымен берілген 
L
  сызығының  кандайда бір ості айналуынан шығатын 
беттін теңдеуін алу үшін мынадай ережеге келеміз:
a) 
L
  сызығы 
Oyz
  жазыктығында жатса, онын теңдеуі
Х  = 0У
 
Ғ(У,  Z ) 1 0
және ол 
Oz
  өсін айналатын болса, онда осы айналудан шыккан бет теңдеуі
Ғ
(fc-,x2 
+ у 2;  z j = 0 ;
 
(6.19)
б) 
L
  сызығы 
xOz
  жазыктығында жатса, оның тендеуі
(Г = 0
Ғ ( Х ,
  Z )=  0
және ол 
Oz
  өсін айналатын болса, онда осы айналудан шыккан бет теңдеуі
Ғ
£fc 
х2 + у
2;  z]=  0; 
(6.20)
в) 
L
  сызыгы 
хОу
  жазыктығында жатса, оның тендеуі
Z = 0
Ғ ( Х ,
  Г) = 0
жэне ол 
Оу
  өсін айналатьн# болса, онда осы айналудан шыккан бет тендеуі
ғ | ь   /
jc
2 +■z 2 ;  y ) =  0 ;  
( 6 . 2 1 )
г) 
L
  сызыгы 
хОу
  жазыктыгында жатса, оның теңдеуі
Z = 0
ғ(х,
  г
)=0
болады  және  ол 
Ох
  өсін  айналатын  болса,  онда  осы  айналудан  шыккан 
бетгің теңдеуі
ҒІс;  ± 
у 2
  + 
z 2
 )= 0 
(6.22)
болады.
Осы  терт  жағдайдан  олардын  барлыгына  ортак  мынадай  ережені 
корытып айтуга болады:
L
  сызыгынын  теңдеулерінін  (кеңістіктегі  сызык  екі  беттщ  киылысуы 
ретінде  каралатын  болгандыктан)  екінші  теңдеуінде  айналу  осіне  сэйкес 
координатаны  езгеріссіз  калдырып,  ал  екінші  координатаны  айналу  осінен
109

баска 
калган 
екі 
өске 
сэйкес 
координаталардың 
квадраттарының 
косындысынын квадрат түбіріне ауыстыру керек.
Осы  ереже  аркылы  өзімізге  белгілі  екінші  ретті  кисыктардың 
айналуынан шыгатын беттерді жеке-жеке карастырайык.
6.6 Эллипсоид
xOz
  жазыктыгындагы эллипсті
Oz
  өсінен  айналдыратын  болсак,  онда  шыгатын  бет 
эллипсоид
  деп  аталады
теңдеуі
£  
2 
2 
а 
с
(6.23)
түрде
Енді  осы  эллипсоидты 
хОу
  жазыктыгына  параллель  бір  z = A  (Л < с )
Z  =   һ
теңдеуі
2 
2 
2 
х * + у *
  = 
a
1
һ
2Л
V
У
(6.24)
болатын шеңбер шыгады.  Демек, 
һ  
-тың мэні  -  
с
 -дан  + с -га дейін өзгергенде
(6.24) шеңбер айналу бет -  эллипсоидты созып шығады.
Ал енлі 
(6.24)
 шенбеплін 
П П Н И Н Я  
У
  =  
һ
 
м г а г и . т х л ' г ч т г т т т . т г . г э
Z  —  һ
<х2
а2 
Ъ2 
с2
(6.25)
эллипсті  алатын  болсак,  онда  ол  А-тың  мэні
с
 -
жойып,
дан  + с -ға дейін  өзгергенде 
теңдеуін  (6.25)-теңдеулерінен 
һ
 -ты
*2  і   і і  
Т  +  72" +  _Т  =  1
a  
b  
с
(6.26)
екенін табамыз.
Бұл  теңдеудегі 
а9  Ь,  с
 — 
эллипсоидтың жарты  остері
 деп  аталады.  Осы 
эллипсоидты  координаттык  z = 0, 
у  = 0
  жэне 
х = 0
  жазықтықтарымен
с түрде мына
у
2 
z l
 
і
b 
с
1
9
1
 
I
a 
b
 
j
Щ
Щ
 
1
а 
с
 
5 
І
N II О
г
II О
 
f
....
....
.....
....
.....
.....
.....
....
.....
.....
....
.....
.....
.
.
 1
 
1
x  = 0
эллипстері шыгатын болады.
по

42-сурет 
43-сурет
Жалпы 
а >  Ь > с
 
деп  аталатын  болсак,  онда  (6.26)  теңдеуімен 
аныкталатын эллипсоид үш ості эллипсоид деп аталады.
Ал  егер 
а
 = 
Ъ
 = 
с
  болса,  онда  (6.26)  теңдеуімен  аныкталатын  эллипсоид 
сферага айналады.
Егер 
а > Ь - с
  болса,  онда  (6.26)  теңдеуі 
Ох
  өсін  айналган  осы  өстің 
бойында созылынкы эллипсоид ты аныктайды.
Егер 
а = Ь> с
  болса,  онда  (6.26)  айналу  өсі 
Oz
  болатын  кысылынкы 
эллипсоидты  аныктайтын болады.
(6.26) 
теңдеуінде  координаталардын  тек  квадраттары  гана,  демек 
эллипсоид  координаталар  жүйесінін  бас  нүктесіне  Караганда  симметриялы 
болады.
6.7 Бір  куысты  гиперболоид
хOz
  жазыктыгындагы
I. 
а
с
гиперболасын 
Oz
  өсінен айналдьфатын болсак, онда айналу бетінін теңдеуі
2 
7 
2
*   S r * y r  
z 1
 
f
—
л
—
. 
а 
с
болады.  Бул тендеу айналудан  шыккан 
бір ңуысты гиперболоид
 деп аталатын 
бетті аныктайды (43-сурет).
Бул  гиперболоидты 
z
 = 
һ
  жазыктыгымен  киятын  болсак,  онда  оный
кимасында
z
 = 
Һ
(
1 +
(6.27)
/
теңдеуімен аныкталатын шенбер аламыз. Онын центрi 
Oz
  өсінде, ал радиусы
in

г
  =  
а
1 +
Һ
болады.  Демек,  й-тың  мәні  -оо-тен  +оо-ке  дейін  өзгергенде  (6.27)  шенбер 
бір куысты гиперболоидты сызып  шығатын болады.
Ал егер (6.27) шеңбер орнына 
z  = Һ
  жазыктыгында жататын
z  = Һ
х2 
у 2 
Щ
~2 
/~2
  = 
2 
а 
о 
с
(6.28)
эллипсті  алатын  болсак,  онда 
һ
 -тың  мәні  — 
оо 
-тен  + 
оо 
-ке  дейін  өзгергенде
(6.28)  эллипс  гиперболоидты  сызып  шыгады.  Онын  теңдеуін  (6.28) 
теңдеулерінен 
Һ
 -ты шегеріп барып, мына
iSfcfif
а 2 
т
=  
1
(6.29)
түрде
теңдеумен  аныкталатын
деп,  ал 
а,  Ь,  с
  оның 
жарты өстері
 деп аталады.
Осы  (6.29)  теңдеуімен  аныкталган  бір  куысты  гиперболоидтың 
z -
 0, 
у  =
 0  жэне 
х = 0
  координаттык  жазыктыктармен  кимасында  сэйкес
түрде 
'  Р'
а г 
Ь1
z
 = О
1
ЭЛЛИПС 1Н,
2 
2 
ш
р р !
^ 
а 2 
с 2
 
жэне
v = 0
■ я
Ь 
с 2
х = 0
гиперболаларын алатын боламыз.
Егер 
а = Ь
  болса,  онда  (6.29)  теңдеуі  айналу  өсі 
Oz
  болатын  бір  куысты 
гиперболоидты аныктайды.
(6.29) теңдеуінде координаталардың тек квадраттары гана болгандыктан,
гиперболоид  координата  жүйесінің  бас  нүктесіне  Караганда  симметриялы
болады,  ал  координаттык  жазыктыктар  оның  симметрия  жазьпстьпстары 
болады.
6.8 Қос куысты гиперболоид
накты
өсін  айналатын  болса,  онда  одан  екі  болек  айналу  беттері  шыгатын  болады 
да, олар 
қос куысты гиперболоид
 деп аталады.  Мысалы,
112

* 2 
ж2
с 2 
f l 2
=   1
теңдеуімен  аныкталатын  гиперболаны 
Oz
  өсінен  айналдыратын  болсак,  онда 
(ереже бойынша) оның теңдеуі
2
 
2
 
2
2 
X
  + у
а
=  
1
болатын 
кос 
куысты 
гиперболоид 
шығады 
(44-сурет). 
Енді 
осы 
гиперболоидты  z = 
h\R
  > с)  жазыктыгымен  киятын  болсак,  онда  оның
к им ас ын да
2 
2 
X
  +  у
2
а
Z 
-  Һ
ш
(6.30)
теңдеулерімен аныкталатын центрі 
Oz
  өсінде жататын, радиусы
А2
г
 = 
а
-1
44-сурет
45-сурет
болатын  шенбер  шыгады.  (6.30$ теңдеулерде  А -тың  мәні  с-дан  +оо-ке дейін 
өзгеретін болса, онда (6.30) шеңбері гиперболоидтың бір куысын, ал  Л-тың 
мәні  с-дан  +оо-ке дейін өзгеретін болса, онда (6.30) шеңбер гиперболоидтың 
екінші  куысын сызып шыгатын болады.
Ал егер (6.30) шеңбердің орнына
2
а
ж
Л
- 1
(6.31)
Z 
= 
Һ
эллипс ін  алатын  болсак,  онда  Л-тың  мәні  -со-тен  - с - г а  дейін  жэне  + с -дан 
+ оо-ке  дейін  озгергенде  (6.31)  эллипс  кос  куысты  гиперболоидты  сызып 
шыгатын болады.  Ал  оның теңдеуін  (6.31) эллипс теңдеулерінен  параметр 
Һ- 
ты  шегеріп тастап, мына
из

а* 
b 
с
түрде болатынын табамыз.
Сонымен  (6.32)  теңдеуімен  аныкталатын  екінші  ретгі  бет 
қос  қуысты 
гиперболоид
 деп, ал 
а,  Ь,  с
  онын 
жарты остері
 деп аталады.
Ал  (6.32)  тендеуімен  аныкталатын  кос  куысты  гиперболоид 
z  = 0 
жазыктығымен  киылыспайды  (6.32)  гиперболоидты 
х — 0
  жэне 
у  —
 О
координаттык жазыктыктармен киғанда онын кимасында сэйкес
4 - 1  
Р И
Ь1
 
жэне 
с2 
а 2
у  =
 О
« .  И  *  І   I  
—" 
**Щ|
теңдеулерімен аныкталатын екі гипербола алатын боламыз.
Эрине  кос  куысты  гиперболоид  та  координат  жүйесінің  бас  нүктесіне
Караганда  симметриялы  болады,  ал  координаттык  жазыктыктар  онын 
симметрия жазыктықтары болады.
Егер 
а
 = 
Ь
  болса, онда (6.32) тевдеуімен аныкталған гиперболоид айналу 
өсі 
Oz
  болатын кос куысты гиперболоидты аныктайды.
Ал  егер  гипербола  баска  жазыктыктарда  берілген  болса  да,  нак  осы
сиякты корытындыларға келетін боламыз.  Ол дербес  жағдайларға токталмай- 
ак коялык. 
аёш З
х = 0
6.9 Эллипстік параболоид
Қандай  да  бір  координаттык  жазыктыкта  болмасын  парабола  өзінің
симметрия  өсін  айналатын  болса,  онда  одан  шығатын  бет 
айналу 
параболоиды
 деп аталады.
Параболоидтың  түрін,  теңдеуін  толык  карастыру  үшін,  мысалга  мына
у   —2 p z
  теңдеуімен аныкталған  параболаны 
Oz
  өсінен айналдырайык.  Онда 
оның теңдеуі (ереже бойынша)
болады.
х  + у   = 2 p z
 
(6.33)
Осы 
параболоидтың 
Oz
 
өсіне 
перпендикуляр 
z  — h  (h >
 0)
жазыктыгымен кимасында
z  = h
x2 + y 2 = 2ph
(6.34)
теңдеулерімен аныкталатын,  центрі 
Oz
  өсінде жататын, ал радиусы
г  т лЩрһ
болатын  шеңбер  болады.  Демек,  й-тың  мәні  0-ден  + оо-ке  дейін  өзгеретін
сурет).
айналу
Ал енді (6.34) шеңбер орнына 
z
 = 
һ
  жазыктыгында жататын

х  
у_____
z = A,
(мұндағы 
p,  q
  және  А  он  сандар)  жарты  өстері 
2
рһ
  және 
2
qh
  болатын
эллипсті  алайык.  А-тың  мэні  0-ден  + оо-ке дейін өзгеретін болса,  онда  (6.35) 
эллипс  екінші  ретті  бетті 
эллипстік  параболоидты
  сызып  шығады.  Бұл
>*ағдайдағы оның теңдеуін (6.35) теңдеулерінен  А-ты жойып,  мына
2
 
2
 
.2
 
2
Х 
.  У
 
1 
Х  .  У
 
О 
'І/ГЧ 
-----+ —— = I  немесе  —  + —  = 2z 
(6.36)
2 
p z  
2 qz 
p  
q
 
If
2 р һ  
2 qh
 
(6.35)
түрінде табамыз.
Осы  эллипстік  параболоидтың  z = 0, 
у  =
 0  жэне  jc = 0  координаттык 
жазыктыктармен кималарында сэйкес түрде нүкте жэне
х2 = 2 p z  
I у 2 = 2 p z
жэне 
<
j
 =   0  
[ j c  =   О
t
 теңдеулерімен аныкталатын екі парабола аламыз.
Осы  сиякты  корытындыны  баска  координаттык  жазыктыкта  берілген
үшін
6.10 Гиперболалык параболоид
Гиперболалык параболоидтың ең карапайым теңдеуі
2 
2
------=  2z,  { р > 0 ,
 
g > V ) 
(6.37)
Р 
Ч
яғни  эллипстік  параболоидтын  (6.36)  теңдеуінен  айнымалы 
у
  алдындагы 
танбасы ғана өзгеше.
у
 = 0  жазыктығы 
( jc
O
z
)
 
(6.37) бетті 
Oz
  өсі симметрия  өсі болатын
^  
х 2
 = 2 
p z
 
(6.38)
парабола бойымен  киятын болады (46-сурет).
46-сурет
Ал  х = А  жазыктығы 
( y Oz
  жазыктығына  параллель)  бұл  бетті 
теңдеулері

1
2 
о 
Я  12
у
  = -2 
qz
 + — • А
р
у 2
 І  -2
q
(
z ------
р
 
немесе  -
,  
2Р ;
-s:
II
Н
X = һ

жүктеу/скачать 12,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: