И. К. Бейсембетов ректор Зам главного редактора

 

●

 Технические науки 

 

116                                                                                            

№2 2016 Вестник КазНИТУ

 

 

которое впервые было получено в работе А. Гузя [7] Здесь введены новые обозначения 

 

                                

0

2

1

1

0

;

;

~

;

~









G

a

v

i

k

R

z

R

h

h

p

















            

 

скорость волны сдвига оболочки: J

o

-функция Бесселя нулевого порядка. 

Непосредственное решение уравнения (18) наталкивается на определенные трудности, вызван-

ные необходимостью вычисления функции Бесселя комплексного аргумента. Поэтому исследуем (18) 

с помощью асимптотических представлений этих функций при малых и больших аргументах z. Ма-

лость  z  имеет  место  при  низкочастотных  колебаниях.  Согласно  известным  разложениям  J

0

  и  J

1

  сте-

пенные ряды 

                                 

...);

8

1

(

2

)

(

...;

4

1

2

1

2

0













z

z

z

J

z

J

                                               (19)   

  

Удерживая в разложениях (19) только первые члены, получаем  

 

0

2

2







a

k



 

 

 дисперсионное уравнение крутильных колебаний сухой оболочки или заполненной идеальной 

жидкостью, сохраняя в (19) по два первых члена, имеем уравнение 

 

                                        

0

)

(

~

~

4

2

2

2

2

2















v

i

k

h

p

a

v

i

a

k







                                              (20) 

 

корень которого, например, в случае установившихся колебаний определяется выражением 

 

                                        

2

/

1

2

)

~

~

4

1

/(

)

~

~

4

1

1

(





















h

p

a

v

h

p

a

k





.                                                 (21) 

 

Физическая интерпретация уравнения (18) приводится ниже. Рассмотрим теперь ситуацию, ко-

гда  z  достаточно  велико,  что  соответствует  высокочастотным  колебаниям  и  малой  вязкости.  В  этом 

случае асимптотические формулы для функции Бесселя имеют вид  

 

)

4

sin(

)

2

(

)

(

)

4

cos(

)

2

(

)

(

2

/

1

1

2

/

1

0

















z

z

z

J

z

z

z

J

 

 

Исходя  из  (20)  и  (21)  нетрудно  показать,  что  предостаточно  большой  положительной  мнимой 

части z :   

.

)

(

/

)

(

1

0

i

z

J

z

J





   

Подставляя (1), и дополнительно предполагая малость 





 по сравне-

нию с величиной 

2

k



, к получаем приближенное дисперсионное уравнение, которое также приводит-

ся в работе [7] 

                                     

0

)

41

.

1

~

~

1

(

3

2

2













i

l

R

h

р

v

a

k





             (22) 

 

●

 Техникалық ғылымдар 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016                                          

117 

 

Откуда , при стремлении коэффициента вязкости 



v

 

к нулю (а также при стремлении 



 к бес-

конечности), имеем тривиальный результат 

0



k



, который был получен при малых 



 из   уравне-

ния (20).  Уравнение (22) неприемлемо при больших вязкостях .. В данном случае фазовая скорость С 

неограниченно  возрастает  с  ростом  ω.  Рассмотренный  пример  свидетельствует  о  несогласованности 

различных асимптотических оценок в области средних частот колебаний. Таким образом, при анали-

зе  волновых  процессов  асимптотическими  методами  в  первом  приближении  не  удается  установить 

границы применимости полученных формул, а также оценить погрешность вычислений. В настоящей 

работе  для  решения  спектральных  задач  используется  непосредственное  численное  интегрирование 

разрешающих  соотношений  типа  (12)  с  помощью  метода  ортогональной  прогонки  в  комплексной 

арифметике. Такой подход позволяет избежать  указанных выше затруднений, связанных с вычисле-

нием  функций  Бесселя  комплексного  аргумента.  Еще  одно  преимущество  обусловлено  спецификой 

метода ортогональной прогонки, который благодаря процедуре ортонормирования позволяет решать 

сильно жесткие системы с пограничным слоем. В результате проведенного численного исследования 

было установлено, что задача о собственных колебаниях (12) допускает не более одного комплексно-

го значения ω, соответствующего  колебанием  оболочки вместе  с прилегающими к ней слоями жид-

кости.  Остальные  найденные  собственные  значения  оказались  чисто  мнимыми.  Они  соответствуют 

апериодическим движениям жидкости при почти неподвижной оболочке. Собственные формы, соот-

ветствующие комплексным значениям, также являются комплексными, то есть фазы совместных ко-

лебаний оболочки и жидкости не совпадают вдоль радиуса. В случае установившихся колебаний все 

вычисленные собственные значения k и собственные формы оказались комплексными.   

 3. Численные  результаты. 

Рассмотрим  вариант  собственных  колебаний,  когда  оболочка  заполнена  жидкостью.  На 

рис.1а,б 2 а, б приведены соответственно дисперсионные кривые в зависимости Re ω, Im ω, σ от вол-

нового  числа  k-первой  моды,  у  которой  коэффициенты  демпфирования наименьшие,  а  собственные 

значения могут быть комплексными. В соответствии с нумерацией графиков задавались четыре раз-

личных значений коэффициента η  1) 0.0009:   2) 0.0018   3)0.15   4)0.018 при остальных параметрах 

согласно (1) На рис. 1,а , 2,а показаны собственные формы Re v для значения k равных 1 и 8 соответ-

ственно.  

   

 

 

 

Рис.1, а.  Зависимость Re



W от волнового числа k 

 

●

 Технические науки 

 

118                                                                                            

№2 2016 Вестник КазНИТУ

 

 

 

Рис.1,б. Зависимость Im



 

от  волнового числа k 

 

 

 

 

Рис. 2,а.  Зависимость Re 



 от волнового числа k 

 

●

 Техникалық ғылымдар 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016                                          

119 

 

 

 

Рис. 2,б. Зависимость Im 



 от волнового числа k 

 

Легко  заметить  характерное  отличие  в  поведении  дисперсионных  кривых  1,2 и  3,4.  В  послед-

них  двух  случаях  существует  такое  значение  волнового  числа-  начиная  с  некоторого  величина при-

нимает лишь чисто мнимые значения , соответствующим апериодическим движениям системы.   Для 

кривых  1,2  с  меньшим  коэффициентом  вязкости  действительная  часть  собственных  значений  Re



  

отлично от нуля при любых волновых числах а декремент затухания имеет конечный предел на бес-

конечности.  При  этом  чем  больше  коэффициент  вязкости,  тем  раньше  начинаются  апериодические 

движения (кривые 3,4) и тем выше предел декремента затухания (кривые 1,2). Отсюда следует , что 

существует минимальное критическое значение коэффициента вязкости η

k

, выше которого в зоне вы-

соких  волновых  чисел    первой  моды,  появляются  апериодическим  волновым  числом.  В  результате 

численного  эксперимента  было  установлено,  что  критическое  значения  коэффициента  вязкости  η

k

, 

находится в интервале 





0.0125

   

0.0120

. 

 

ЛИТЕРАТУРА 

[1] 1. Тер-Акопянц  Г.Л. Об  уточнении результатов влияния  жидкости на распространение волн в  упругой 

цилиндрической оболочке//   Журнал. Фундаментальные исследования , технические науки  №10, 2013г. С.516-520. 

[2] 2. Sorokin S.V. Fluid-Structure Interaction and Structural Acoustics.  Book  of Lecture Notes. – Technical 

University of Denmark, 1997. – 188 p. 

[3] Vijay Prakash S., Venkata R. Sonti Asymptotic expansions for the structural wavenumbers of isotropic and 

orthotropic fluid-fi lled circular cylindrical shells in the intermediate frequency range// Journal of Sound and Vibration. 

Manuscript Draft. Manuscript Number: JSV-D-12-01440. – 15 с. 

[4] Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. – М.: Наука.1979. – 320 с 

[5] Амензаде  Р.Ю.,  Салманова  Г.М.,  Муртуззаде  Т.М.  Пульсирующее  течение  жидкости  в  оболочке  с 

учетом  эффекта  жесткости  внешней  среды  .  //Журнал.  Baki  universitetinin  xәbәrlәri.  Fizika-riyaziyyat  elmlәri 

seriyası,№1, 2013,С.70-78 

[6] Амензаде Р.Ю. Неосесимметричное колебание идеальной жидкости в упругой обо- 

[7] лочке. //ДАН СССР. т. 229, №3, 1976, с. 566-568. 

[8] 7.Гузь  А.Н.  Распространение  волн    в  цилиндрической  оболочке  с  вязкой  сжимаемой  жидкостью// 

Прикл. Механика.-1980.-16, №10.-С.10-20 

[9] 8.Щурук  Г.И. К вопросу распространении  неосесимметричных волн в гидроупругой   системе  обо-

лочка – вязкая жидкость. //Журнал .Системные технологии, 3(62).С. 76-81 

[10]  Мокеев В.В., Павлюк Ю.С. О приближенном учете сжимаемости жидкости в задачах гидро- упру-

гости // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1999, N 5. 85—95. 

[11]  Сафаров И.И., Марасулов А.М. Математическое моделирование собственных и вынужденных ко-

лебаний криволинейных труб, взаимодействующие со средой. Ташкент «Фан» АН Р Уз. 2009, 165с. 

 

●

 Технические науки 

 

120                                                                                            

№2 2016 Вестник КазНИТУ

 

 

[12]  11. Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Болтаев З.И. Волновые процессы в механическом         волноводе. 

LAP LAMBERT Academic publishing (Германия). 2012.,217 с. 

[13]  Бозоров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно од-

нородных и неоднородных механических систем. СО РАН, Новосибирск, 1966, 188с. 

[14]  13.Каюмов С.С., Сафаров И.И. Распространение и  дифракция волн в диссипативно  – неоднород-

ных цилиндрических деформируемых механических систем. Ташкент: ФАН, 2002г, 214с 

[15]  14. Гринченко В.Т.,  Мелешко В.В.   Гармонические колебания и волны в упругих телах.  – Киев: 

Наукова  Думка,  1981,  с. 284. 

[16]  15. Фролов К.В., Антонов А.Н. Колебания оболочек в жидкости –М.: Наука, 1983. 365с. 

 

Марасулов А. 

Қабықша сұйықтық цилиндрлік жүйеде өзіндік толқындардың таралу туралы (айналу тербелісі) 

Түйіндеме:  Бұл  статьяда  сұйықпен  өзара  әсерлесететін  цилиндрлік  қабықшалардың  (серпімді  немесе 

тұтқыр  серпімді)  динамикалық  күйі  қарастырылады.  Қолдану  мәні  маңызды  болған  сұйыққа  толтырылған  не-

месе  батырылған  цилиндірлік  қабықшада  толқындардың  таралу  есебі  қойылған  және  оларды  шешу  әдістері 

берілген. «Қабықша-сұйық»-жүйенің айналу тербелісінің өрнектелетін дифференциаль теңдеулер жүйесі алын-

ды. Ортогональ қуу әдісі арқылы  сандық нәтижелер алынды және талданды. 

Кілтті  сөздер.  Цилиндрлік  қабықша,  сұйықтық,  толқындық  процесс,  диссипативті-біртекті  емес,    тол-

қынтәрізді қозғалыс. 

 

Marasulov A. 

About distribution of own waves in cylindrical shell - liquid system (tortional fluctuations) 

Summary. In this article the dynamic behavior of the cylindrical mantle (elastic or viscoelastic) contacting  to 

liquid is considered.Problems about distribution of waves in the cylindrical shell filled or loaded with liquid have im-

portant applied value and methods their decision are specified. The system of the differential equations describing tor-

tional  fluctuations  of  «shell- liquid»  system  is received.  Numerical results  of  orthogonal  sweep  method   are received 

and analysed. 

Key words. Cylindrical shell, liquid, wave process, dissipatively non-uniform, wavy movements. 

 

 

 

ӘОК 539.3 

  

Қ.Б. Әміртаев  

(

1

Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті,  

Түркістан қаласы, a_kanat@inbox.ru) 

 

КӨЛДЕНЕҢ ҚИМА АУДАНЫНА ЖЫЛУ АҒЫНЫ ТҮСІП ТҰРҒАН, БҮЙІР БЕТІНІҢ БІР 

БӨЛІГІ АРҚЫЛЫ СЫРТҚЫ ОРТАМЕН ЖЫЛУ АЛМАСҚАН СЫРЫҚТЫҢ КЕРНЕУЛІК-

ДЕФОРМАЦИЯЛЫҚ КҮЙІН ЗЕРТТЕУ 

 

Аңдатпа: Мақалада бүйір  беті  жартылай  жылу  өткізбейтін  қабатпен  қапталған  шекті  ұзындықтағы 

сырықтың  екі  шеті  қатаң  бекітілген  жағдайда,  әртүрлі  жылу  көздері  әсерінен  пайда  болатын сырықтың 

температуралық – кернеулік  күйлері  зерттеледі.  

Кілттік сөздер: жылу ағыны, жылу алмасу, жылу өрісі. 

 

Шекті  ұзындықты 

)

(см

L

  сырықтың  екі  шеті  қатаң  бекітіліп,  оның  көлденең  қима  ауданы 

)

(

2

см

F

  ұзындығы  бойынша  тұрақты  болсын.  Сырық  материалының  жылудан  кеңею  коэффициенті 













C

o

1



,  жылу  өткізгіштік  коэффициенті 













см

Вт

K

xx

,  серпімділік  модулі 













2

см

кГ

E

  болсын.  Сырықтың 

екі  шетіндегі  көлденең  қима  аудандарына 













2

см

Вт

q

  жылу  ағыны  түсіп  тұрсын.  Ал  сырықтың 

2

1

x

x

x





  аралығындағы  бүйір  беті  арқылы  сыртқы  ортамен  жылу  алмасу  жүрсін.  Мұнда  сыртқы 

ортамен  жылу  алмасу  коэффициенті 

h

,  ал  сыртқы  ортаның  температурасы 

co

T

  болсын.  Сырықтың 

қалған бөлігінің бүйір беті жылу өткізбейтін қабатпен қапталсын. Осындай жағдайда сырық ұзынды-

ғы бойынша жылу, серпімді деформация мен кернеу, температуралық кернеу өрістерінің таралу заң-

жүктеу/скачать 51,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: