Мысалы 10. Есептеу керек:
ln 2
z
0
z e d z
.
Шешуі.
z
z
u
z, d u
d z, d v
e d z,
v
e
.
ln 2
ln 2
ln 2
ln 2
z
z
z
z
0
0
0
0
z e d z
z e
e d z
ln 2 2 e
2ln 2 2 1 2 ln 2 1.
Мысалы. Есептеу керек:
AB
d z
z
, мұндағы
AB
– центрі О бірлік шеңберінің жоғары жартысы;
жүру бағыты оң (
z
– түбірдің жалпы формуладан
k
0
болғанда алынған бас мәні).
Шешуі
.
1
1
AB
d z
2 z
2
1 2 1
z
.
18
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
1
1 cos(
2k ) i sin(
2k )
2k
2k
1 cos
i sin
,
2
2
k
0, 1.
Егер
i
1
,
0
k
2k
2k
1
1 cos k
i sin 2k
1 cos
i sin
,
k
0, 1.
2
2
Егер
k
0,
1 1:
AB
d z
2(i 1).
z
y
B 0 A x
Бір байланысты облысқа арналған Кошидің негізгі теоремасы. Егер
f (z)
функциясы
бірбайланысты
D
облысында аналитикалық болса, онда бұл функцияның
D
облысына тиісті бөлшек-
тегіс тұйық контур бойынша интегралы нөлге тең.
C
–жәй (өзімен қиылыспайтын) бөлшек-тегіс тұйық контур болсын,
1
2
n
C , C , ..., C
– жәй
бөлшек-тегіс өзара іштей салынбаған, бірақ
C
контурының ішінде орналасқан тұйық контурлар
болсын. Егер
f (z)
функциясы
C
контуры мен
1
2
n
C , C , ..., C
контурларының арасындағы көп
байланысты облысты және осы контурлардың өзінде аналитикалық болса, онда
k
n
k 1
C
C
f (z) d z
f (z) d z
.
( Кошидің көп байланысты облысқа арналған негізгі теоремасы).
Мыалы 12.
z
1
d z
z
интегралының мәнін интегралдау жолы координаталар басымен өтпейтін
жағдай үшін есептеңдер.
Шешуі.
Егер
жол
координаталар
басын
айналып
өтпейтін
болса,
онда
z
z
1
1
d z
ln z
ln z
ln 1 ln z
z
19
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
.
y
z
0
1
x
а)
y
z
С
m
А
0 1 B
x
б)
y
z
С
m
А
0 1 B
x
в)
Суреттер
Интегралдау жолы нөлдік нүктені бір рет оң бағытпен айналып өтетін болсын (б-сурет). Сонда
(в-сурет)
z
1
AmB
BC
AmB
BA
AC
dz
d z
d z
d z
d z
d z
z
z
z
z
z
z
;
AC
AmB
BA
d z
d z
d z
d z
ln z;
z
z
z
z
, мұндағы
1
– шеңбер:
z
r 1
,
Облыстың екі
және
1
контурларының арасында
1 z
функциясы аналитикалық
болғандықтан
1
d z
d z
z
z
y
m
1
A B
0 1 x
1
d z
z
интегралын есептейік.
1
2
i
i
i
1
i
0
d z
r i e
d
: z
r e , d z
r i e d ;
2 i.
z
r e
20
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
Сонда
z
1
d z
d z
ln z
ln z
2 i.
z
z
Егер интегралдау жолы нөлдік нүктенің маңайынан оң бағытта
n
айналым жасаса, онда
ln z
мәніне
2n i
мәні қосылады немесе азайтылады. Осылайша, кез-келген
z
0
үшін
z
1
d z
ln z
2n
i
z
.
Егер
f (z)
функциясы жәй бөлшек-тегіс
C
тұйық контурының ішінде және өзінде
аналитикалық болса, онда оның ішінде жатқан кез-келген
0
z
нүктесінде келесі формулалар
орындалады:
0
0
C
1
f (z) d z
f z
2 i
z
z
( Коши формуласы),
(n )
0
n 1
0
C
n!
f (z) d z
f
z
,
n 1, 2, ...
2 i
z
z
(Кошидің жалпы формуласы).
Мысалы 13.
2z
C
e
d z
z
i
, 1)
1
C : z
4
; 2)
2
C : z i
1
есептеу керек.
Шешуі. 1)
2z
f (z)
e
функциясы
z
4
дөңгелегінде аналитикалық. Коши
формуласын қолданамыз:
1
2z
2z
2 i
z
i
C
e
d z
2 i e
2 i e
z
i
2 i cos 2
i sin 2
2 i
.
2)
2z
e
f (z)
z
i
болғандықтан, ол
z i
1
шеңберінің ішінде аналитикалық функция,
Коши теоремасы бойынша
21
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
2
2z
C
e
d z
0
z
i
.
y
0 x
i
Мысалы 14.
2
z 3
cos z
d z
(z 1) (z
2)
интегралын есептеу керек.
Шешуі. Интеграл астындағы
2
cos z
f (z)
(z 1) (z
2)
функциясы
z
1
және
z
2
нүктелерінен басқа барлық нүктелерде аналитикалық.
Сондықтан
f (z)
функциясы шекарасы
z
3
шеңбер болатын үшбайланысты дөңгелек
облыста аналитикалық болады:
z 1
r
;
z
2
r
, мұндағы
r
0
– жеткілікті аз шама (суретте).
Сондықтан, көпбайланысты облысқа арналған Коши теоремасы бойынша
1
2
z 3
f (z) d z
f (z) d z
f (z) d z.
Тұйық
1
контуры бойынша интегралды есептеу үшін Кошидің жалпы формуласын
қолданамыз, мұнда
cos z
f (z)
z
2
осы
1
контурының ішінде аналитикалық..
22
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
1
1
2
2
z
1
cos z
cos z
cos z
z 2
d z
d z
2 i
z
2
(z 1)
z 1 (z 2)
2
z
1
sin z(z
2) cos z
3sin 1 cos 1
2 i
2 i
9
(z
2)
.
Интегралды
2
контуры бойынша есептеу үшін Коши формуласын пайдаланамыз, мұндағы
2
cos z
f (z)
(z 1)
функциясы
2
ішінде аналитикалық::
2
2
2
2
2
z 2
cos z
cos z
cos z
cos 2
(z 1)
d z
d z
2 i
2 i
,
z
2
9
(z 1)
z 1 (z
2)
2
z 3
cos z
3sin1 cos1
cos 2
d z
2 i
2 i
.
9
9
(z 1) (z 2)
8 есеп
Интегралдарды есепте:
1.
AB
z
z d z;
AB
– кесінді,
A
2i,
B
4
.
2.
AB
z Re z d z;
AB
– парабола доғасы:
2
y
x ,
A(0; 0), B(1; 1)
.
3.
2
C
z z d z;
C :
y
1 x
нүктелер арасы
1; 1
.
4.
AB
z Im z d z;
AB
– парабола бөлігі:
2
y
2x, A
0, B
2
2i
.
5.
C
R e z d z;
C
– сынық сызық
MNK, M(0; 0), N(2, 0), K(2, 1)
.
6.
C
Im z d z;
C
– сынық сызық
OMK, O(0; 0), M(1; 1), K(2; 0)
.
7.
C
z
2 z d z;
C
– сынық сызық
OMK, O(0; 0), M( 1; 1), K( 1; 0)
.
8.
2
C
z d z;
C :
y
1 x
нүктелер арасы
1; 1
.
9.
2
2
2
C
z
d z;
C :
x
y
1
,
1; 1
және
2; 3
нүктелер арасы.
10.
C
Re z sin Re z d z;
C :
y
x
0; 0
және
1; 1
нүктелер арасы.
11.
2
C
i Im z d z;
C
:
z
1
шеңберінің IV ширектегі бөлігі
23
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
12.
2
C
z Re z d z;
C
:
1
x
y
2
түзуінің
0; 0
және
1;
2
нүктелері арасындағы
кесінді.
13.
2
C
I m z
d z;
C
:
2
2
x
y
1
4
9
эллипс бөлігі (
A( 2; 0)
және
B(0; 3)
)
14.
C
z
z d z;
C
:
x
cos t,
y
sin t,
a
a
t
0
2
; 0
a
-дан
0; a
-ға дейінгі
аралық.
15.
C
Im z d z;
C
– циклоида
x
t
sin t ,
y
1 cos t ,
a
a
0
t
2
.
16.
C
i Re z d z;
C
– эллипс:
x
2 cos t,
y
sin t,
t
0
2
.
17.
C
i z z d z;
C
:
2
x
1 y
,
0; 1
-ден
0; 1
-ге дейінгі аралық.
18.
C
z Im z d z;
C
–
2
y
1 x
,
1; 0
-ден
1; 0
-ге дейінгі аралық.
19.
C
2z
7 z d z;
C
: ОМК– сынық сызық :
).
2
;
0
(
),
1
;
1
(
),
0
;
0
(
K
M
O
20.
C
i z d z;
C
–
2
x
1 y
,
0; 1
және
1; 0
нүктелерінің арасы
21.
C
Im z d z;
C
:
2
y
x
параболасының
0
және
1 i
22.
C
Re z d z;
C
:
2
1
y
x
4
параболасының
0
және
2 i
нүктелері арасындағы
бөлігі.
23.
C
z d z;
C
:
z
1,
0
arg z
жарты шеңбер (басы
z 1
нүктесінде).
24.
C
i Im z d z;
C
– циклоида
x
t
sin t ,
y
1 cos t ,
a
a
0
t
2
.
25.
2
C
Im z
d z;
C
:
2
y
4 x
параболасының
1;
2
және
1; 2
нүктелерін
қосатын бөлігі.
26.
2
C
Re z
d z;
C
:
2
2
x
y
1
гиперболасының
1; 0
және
24
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
2; 3
нүктелерін қосатын бөлігі.
27.
C
i sin Im z d z;
C
:
y
x
түзуінің от точки
;
2 2
және
;
нүктелерін қосатын кесіндісі.
28.
2
C
Re z
d z;
C
:
x
cos t,
y
sin t,
a
a
t
2
.
Достарыңызбен бөлісу: |