Қр білім және ғылым министрлігі


Мысалы 10. Есептеу керек:   ln 2 z 0 z e d z  .  Шешуі



Pdf көрінісі
бет4/7
Дата31.03.2017
өлшемі0,63 Mb.
#10769
1   2   3   4   5   6   7

Мысалы 10. Есептеу керек:  

ln 2


z

0

z e d z





Шешуі.   

z

z

u



z, d u

d z, d v


e d z,

v

e





             



ln 2

ln 2


ln 2

ln 2


z

z

z



z

0

0



0

0

z e d z



z e

e d z


ln 2 2 e

2ln 2 2 1 2 ln 2 1.





 

  





  

 

Мысалы. Есептеу керек: 

AB

d z



z

, мұндағы 



AB

 – центрі О бірлік шеңберінің жоғары жартысы; 

жүру бағыты оң  (

z

 – түбірдің жалпы формуладан 



k

0



болғанда алынған бас мәні). 

Шешуі 

. 

1

1



AB

d z


2 z

2

1 2 1



z



 




18 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 





1

1 cos(


2k ) i sin(

2k )


 

 


 

 


2k



2k

1 cos


i sin

,

2



2

 


 








k

0, 1.


Егер 


 

i

1



,

0

k





2k



2k

1

1 cos k



i sin 2k

1 cos


i sin

,

k



0, 1.

2

2





 



 





 

Егер  



k

0,

1 1:



AB



d z

2(i 1).


z



 

 



                          y 

                          

 

 

 



 

 

 



       B                  0                     A     x 

 

                 



 

 

Бір  байланысты  облысқа  арналған  Кошидің  негізгі  теоремасы.  Егер 

f (z)

  функциясы 



бірбайланысты 

D

 облысында аналитикалық болса, онда бұл функцияның 



D

 облысына тиісті бөлшек-

тегіс тұйық контур бойынша интегралы нөлге тең. 

C

  –жәй  (өзімен  қиылыспайтын)  бөлшек-тегіс  тұйық  контур  болсын, 



1

2

n



C , C , ..., C

  –  жәй 

бөлшек-тегіс  өзара  іштей  салынбаған,  бірақ 

C

  контурының  ішінде  орналасқан  тұйық  контурлар 



болсын.  Егер   

f (z)


    функциясы 

C

контуры  мен 



1

2

n



C , C , ..., C

контурларының  арасындағы  көп 

байланысты  облысты және осы контурлардың өзінде аналитикалық болса, онда  

k

n



k 1

C

C



f (z) d z

f (z) d z







(Кошидің көп байланысты облысқа арналған негізгі теоремасы). 

 

Мыалы  12.   

z

1

d z



z

  интегралының  мәнін  интегралдау  жолы  координаталар  басымен  өтпейтін 



жағдай үшін есептеңдер. 

Шешуі. 

Егер 


жол 

координаталар 

басын 

айналып 


өтпейтін 

болса, 


 

онда 


z

z

1



1

d z


ln z

ln z


ln 1 ln z

z





 

 



 

 

 



19 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

                  . 



 

       y 

 

 

 



 

                      z 

 

   0 


 

 

 



 

 

 



1                          

 



 

а) 


 

 

             y 



                z 

      С   

 

       m 



                А      

        0          1      B                 

 

 



б) 

 

 



             y 

                        z 

           С   

 

       m 



                 А      

        0          1      B                 

 

 



в) 

 

 



Суреттер 

 

Интегралдау  жолы  нөлдік  нүктені  бір  рет  оң  бағытпен  айналып  өтетін  болсын  (б-сурет).  Сонда 



(в-сурет) 

z

1



AmB

BC

AmB



BA

AC

dz



d z

d z


d z

d z


d z

z

z



z

z

z



z









 

 

 



 

 



AC

AmB


BA

d z


d z

d z


d z

ln z;


z

z

z



z







, мұндағы  

1



 – шеңбер:  

z

r 1



 

,  


Облыстың  екі 

    және   



1

  контурларының  арасында 



1 z

    функциясы  аналитикалық 

болғандықтан 

1

d z



d z

z

z





 



 

            y      

 

 

      m         



1

  A   B 



              0       1             x 

         

   


 

                  

                    

 

1



d z

z



 интегралын есептейік. 

1

2

i



i

i

1



i

0

d z



r i e

d

: z



r e , d z

r i e d ;

2 i.

z

r e











 



 

 


20 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

Сонда   


z

1

d z



d z

ln z


ln z

2 i.


z

z





 



       

Егер  интегралдау  жолы  нөлдік  нүктенің  маңайынан  оң  бағытта 

n

айналым жасаса,  онда 



ln z

  

мәніне 



2n i

 мәні қосылады немесе азайтылады. Осылайша, кез-келген  



z

0



үшін 

z

1



d z

ln z


2n

i

z





Егер 



f (z)

    функциясы  жәй  бөлшек-тегіс 

C

тұйық  контурының  ішінде  және  өзінде 



аналитикалық  болса,  онда  оның  ішінде  жатқан  кез-келген 

0

z



нүктесінде  келесі  формулалар 

орындалады: 

 

0

0



C

1

f (z) d z



f z

2 i


z

z





   (Коши формуласы), 

 


(n )



0

n 1


0

C

n!



f (z) d z

f

z



,

n 1, 2, ...

2 i

z

z







   (Кошидің жалпы формуласы). 

 

Мысалы 13.  

2z

C

e



d z

z

i



 

,  1) 



1

C : z


4

; 2)  



2

C : z i


1

 


 есептеу керек. 

 Шешуі.  1) 

2z

f (z)



e

      функциясы     



z

4



  дөңгелегінде  аналитикалық.                    Коши 

формуласын қолданамыз: 

 

1

2z



2z

2 i


z

i

C



e

d z


2 i e

2 i e


z

i





 


 

 



 

            



2 i cos 2



i sin 2

2 i


 

 


  



 

      

 

      2) 



2z

e

f (z)



z

i



 

    болғандықтан,  ол 

z i

1

 



шеңберінің  ішінде  аналитикалық  функция, 

Коши теоремасы бойынша 



21 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

                    



2

2z

C



e

d z


0

z

i



 


 



 

                          y  

 

 

              0                                  x 



 

             

i



 



 

 

 



                        

                     

 

 

 

Мысалы 14. 

2

z 3



cos z

d z


(z 1) (z

2)





 интегралын есептеу керек.  

Шешуі.  Интеграл  астындағы 

2

cos z



f (z)

(z 1) (z


2)



    функциясы 

z

1

 



    және   

z

2



 

нүктелерінен басқа барлық нүктелерде аналитикалық. 



Сондықтан 

f (z)


  функциясы шекарасы 

z

3



 шеңбер болатын үшбайланысты дөңгелек 

облыста аналитикалық болады: 

z 1


r

 


z

2



r



, мұндағы  

r

0



 – жеткілікті аз шама (суретте).

 

 

Сондықтан, көпбайланысты облысқа арналған Коши теоремасы бойынша 



1

2

z 3



f (z) d z

f (z) d z

f (z) d z.







 

Тұйық 


1

контуры  бойынша  интегралды  есептеу  үшін      Кошидің  жалпы  формуласын 



қолданамыз, мұнда 

cos z


f (z)

z

2



  осы 



1

контурының ішінде аналитикалық.. 



22 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 





1

1

2



2

z

1



cos z

cos z


cos z

z 2


d z

d z


2 i

z

2



(z 1)

z 1 (z 2)









 









 



2

z

1



sin z(z

2) cos z


3sin 1 cos 1

2 i


2 i

9

(z



2)







 


 



Интегралды 

2



контуры  бойынша  есептеу  үшін  Коши  формуласын  пайдаланамыз,  мұндағы

2

cos z



f (z)

(z 1)


  функциясы 



2

ішінде аналитикалық:: 



2



2

2

2



2

z 2


cos z

cos z


cos z

cos 2


(z 1)

d z


d z

2 i


2 i

,

z



2

9

(z 1)



z 1 (z

2)





 


 





 

2



z 3

cos z


3sin1 cos1

cos 2


d z

2 i


2 i

.

9



9

(z 1) (z 2)





 

 




 

 

 

8 есеп 

Интегралдарды есепте: 



1.  



AB

z

z d z;



AB



 – кесінді,  

A

2i,



B

4





2.  

AB

z Re z d z;



AB

 – парабола доғасы: 



2

y

x ,



A(0; 0), B(1; 1)



3.  

2

C



z z d z;

C :


y

1 x




  нүктелер арасы  



1; 1





4.  

AB

z Im z d z;



AB

 – парабола бөлігі:  



2

y

2x, A



0, B

2

2i



 





5.  

C

R e z d z;



C

 – сынық сызық  



MNK, M(0; 0), N(2, 0), K(2, 1)



6.  

C

Im z d z;



C

 – сынық сызық  



OMK, O(0; 0), M(1; 1), K(2; 0)



7.  



C



z

2 z d z;


C



 – сынық сызық  

OMK, O(0; 0), M( 1; 1), K( 1; 0)





8.  

2

C



z d z;

C :


y

1 x




  нүктелер арасы   



1; 1



9. 

 


2

2

2



C

z

d z;



C :

x

y



1



,  


1; 1



  және  



2; 3

нүктелер арасы. 



10. 



C

Re z sin Re z d z;

C :

y

x



  



0; 0



  және   



1; 1

 нүктелер арасы. 



11. 

2

C



i Im z d z;

C



:

z

1



шеңберінің IV ширектегі бөлігі 



23 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

12. 

2

C



z Re z d z;

C



1

x



y

2



    түзуінің 



0; 0

    және   



1;



2

 


  нүктелері  арасындағы 

кесінді. 



13. 



2

C

I m z



d z;

C



 :  

2

2



x

y

1



4

9



  эллипс бөлігі  (

A( 2; 0)

  және  



B(0; 3)



14. 



C



z

z d z;


C



:    

x

cos t,



y

sin t,






a



a

    


t

0

2



 



   



; 0

a

 -дан 





0; a

-ға дейінгі 

аралық. 

15. 

 


C

Im z d z;

C



 – циклоида  





x

t



sin t ,

y

1 cos t ,









a

a

  

0



t

2

  





16. 

C

i Re z d z;



C

 – эллипс:  



x

2 cos t,


y

sin t,




  



t

0

2



 





17. 

C

i z z d z;



C



 : 

2

x



1 y



 , 



0; 1

-ден  



0; 1



-ге дейінгі аралық. 

18. 

C

z Im z d z;



C

 – 



2

y

1 x



 

  , 



1; 0



 -ден   



1; 0

-ге дейінгі аралық. 



19. 



C

2z

7 z d z;



C



: ОМК– сынық сызық :

).

2



;

0

(



),

1

;



1

(

),



0

;

0



(



K

M

O

 

20. 

C

i z d z;


C

 – 



2

x

1 y



  , 



0; 1



  және 


1; 0



нүктелерінің арасы 



21. 

C

Im z d z;



C

 : 



2

y

x



 параболасының  

0

  және  


1 i



  

22. 

C

Re z d z;



C

  :



2

1

y



x

4



параболасының     

0

    және     



2 i



  нүктелері  арасындағы 

бөлігі. 

23. 

C

z d z;



C

 :



z

1,

0



arg z



 

 жарты шеңбер (басы  

z 1



 нүктесінде). 



24. 

C

i Im z d z;



C

 – циклоида  





x

t



sin t ,

y

1 cos t ,









a

a

    


0

t

2



  



25. 

 

2

C



Im z

d z;


C



2

y

4 x



 

  параболасының   



1;



2

 


  және 



1; 2

нүктелерін 



қосатын бөлігі. 

26. 



2

C

Re z



d z;

C



2

2



x

y

1



 гиперболасының    



1; 0



  және 

24 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

      


2; 3



 нүктелерін қосатын бөлігі. 

 

27. 



C



i sin Im z d z;

C



y

x



 

  түзуінің          от  точки   

;

2 2


 





    және   



;



 

 

нүктелерін қосатын кесіндісі. 



28. 



2

C

Re z



d z;

C



:  

x

cos t,



y

sin t,






a



a

  

t



2

   






Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет