Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

§34. Теңдеулер жүйесін шешу 
Сызықты тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеу-
лер жүйесін шешу де жоғарыда келтірілген əдіспен орында-
латындығын көрсетейік. Мұнда да шешім түпнұсқа функция
болады деп, бейнелерге көшеміз, алынған алгебралық теңдеу-
лер жүйесін шешіп, Лапластың кері түрлендіруімен қайтадан 
түпнұсқаға, яғни ізделінді шешімге шығамыз.
1-мысал
. Есептің шешімін табу керек:
⎩
⎨
⎧
−
=
′
−
=
′
−
x
e
y
y
e
x
t
t
0
0
)
0
(
,
)
0
(
y
y
x
x
=
=

288
Шешуі. 
x
(
t
)→
X
(
p
), 
y
(
t
)→
Y
(
p
) десек 
x
′(
t
)→
pX
(
p
)–
x
0
, 
y
′(
t
)→
pY
(
p
)–
y
0
. Онда теңдеулер жүйесі келесі түрге енеді:
0
0
1
( )
( )
1
1
( )
( )
1
pX p
x
Y p
p
pY p
y
X p
p
⎧
− +
=
⎪
−
⎪
⎨
⎪
−
+
=
⎪
+
⎩
Бұл алгебралық теңдеулер жүйесін шешсек, 
2
2
2
0
0
2
2
2
2
0
2
0
2
)
1
(
2
1
1
1
)
(
,
)
1
(
1
1
1
1
)
(
−
−
−
−
−
−
=
−
+
+
−
−
−
=
p
p
p
x
y
p
p
p
Y
p
p
y
p
x
p
p
p
X
Лапластың кері түрлендіруін қолдансақ,
.
)
1
(
)
(
,
)
(
0
0
0
0
tsht
sht
x
cht
y
t
y
tcht
sht
y
cht
x
t
x
−
−
+
=
+
−
=
2-мысал
. Есептің шешімін табу керек.
⎩
⎨
⎧
=
−
′
+
′
=
−
′′
+
′′
,
0
2
3
,
0
3
y
y
x
x
y
x
( )
.
3
2
)
0
(
,
0
0
)
0
(
)
0
(
−
=
′
=
=
′
=
y
y
x
x
Шешуі. 
x
(
t
)→
X
(
p
), 
y
(
t
)→
Y
(
p
) десек, 
x
′(
t
)→
pX
(
p
), 
x
′′(
t
)→
p
2
X
(
p
), 
y
′(
t
)→
pY
(
p
), 
y
′′(
t
)→
p
2
Y
(
p
)+
2
3
.
Онда бейнелеуші жүйе: 
2
2
2
(
1) ( ) 3
( )
,
3
( ) (3
2) ( ) 0,
p
X p
p Y p
pX p
p
Y p
⎧
−
+
= −
⎪
⎨
⎪
+
−
=
⎩
Оның шешімі: 

289
1
1
3
2
( )
,
1
1
2
(
2)(
)
2
2
2
( )
.
1
1
2
(
2)(
)
2
2
p
A
B
X p
p
p
p
p
A
B
p
Y p
p
p
p
p
−
=
=
+
+
+
−
−
=
=
+
+
+
−
−
Коэффициенттерін анықтасақ, 
1
1
16
1
8
2
,
,
,
,
5
5
5
5
A
B
A
B
=
= −
=
=
16 1
1 1
( )
,
1
5
2 5
2
X p
p
p
=
−
+
−
8 1
2 1
( )
.
1
5
2 5
2
Y p
p
p
=
+
+
−
Лапластың кері түрлендіруі есептің шешімін береді:
2
2
2
2
16
1
8
2
( )
, ( )
.
5
5
5
5
t
t
t
t
x t
e
e
y t
e
e
−
−
=
−
=
+

290
Пайдаланылған əдебиеттер
Негізгі əдебиеттер:
1. Арнольд В. И.
Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния.– М.: «Наука», 1971.
2. 
Камке Э.
Справочник по обыкновенным дифференциальным 
уравнениям.– М.: «Наука», 1971. 
3. 
Матвеев Н. М.
Методы интегрирования обыкновенных диф-
ференциальных уравнений.– Минск: «Вышейшая школа», 1974.
4. 
Петровский И. Г.
Лекции по теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений.– М.: “Наука”, 1970. 
5. 
Понтрягин Л. С.
Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния.– М.: «Наука», 1974.
6. 
Степанов В. В.
Курс дифференциальных уравнений.– М.: 1952. 
7. 
Филиппов А. Ф.
Сборник задач по дифференциальным уравне-
ниям.– М.: «Наука», 1979.
8. 
Эльсгольц Л. Э. 
Дифференциальные уравнения и вариацион-
ное исчисление.– М., 1965. 
9. 
Диткин В. А.
, 
Прудников А. П.
Операционное исчисление. -М.: 
«Высшая школа», 1975.
Қосымша əдебиеттер:
1. 
Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. Н.
Сборник задач 
по обыкновенным дифференциальным уравнениям.– М.: «Высш.
школа», 1978.–287 с.
2. 
Федорюк М. В.
Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния.– М.: «Наука», 1980.–352 с.

291
3. 
Матвеев Н. М.
Дифференциальные уравнения.– 4-е издание,– 
М.: «Высш.школа», 1976.–366 с.
4. 
Ж. С. Сүлейменов,
Бірінші ретті жай дифференциалдық
теңдеулерді интегралдау əдістері. – Алматы: «Кітап», 1982.–112 бет.
5.
Ж. С. Сүлейменов,
Дифференциалдық теңдеулер.– Алматы:
«Білім», 1996.–253 бет.
6. 
А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк.
Диффе-
ренциальные уравнения. Примеры и задачи.– М.: «Высшая шко-
ла»,1989.
7. 
Н. М. Матвеев.
Сборник задач и упражнений по обыкновен-
ным дифференциальным уравнениям.– Минск: «Вышейшая школа», 
1987.

292
МАЗМҰНЫ
Кіріспе .......................................................................... 3
1-тарау. 
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер
.............. 6
§ 1. Жалпы түсініктер ................................................................... 6
§ 2. Айнымалылары ажыратылатын (жіктелетін) теңдеулер .. 11
§ 3. Біртекті теңдеулер ................................................................ 13
§ 4. Бірінші ретті сызықтық теңдеулер ..................................... 17
§ 5. Толық дифференциалдық теңдеулер. ................................. 21
§ 6. Коши есебінің шешімінің бар жəне жалғыз 
болу теоремасы .................................................................... 27
§ 7. Туындылары арқылы шешілмеген дифференциалдық 
теңдеулер .............................................................................. 31
Есептер, жаттығулар. ........................................................... 40
Тест тапсырмалары .............................................................. 43
2-тарау.
Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер
......... 50
§ 8. Жалпы түсініктер. Реті төмендетілетін теңдеулер ........... 50
§ 9. 
n
-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер ............. 66
§ 10. Сызықтық біртекті теңдеулер ........................................... 68
§ 11. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті теңдеулер 
жəне Эйлер теңдеулері ...................................................... 78
§ 12. Сызықтық біртекті емес (біртексіз) теңдеулер .............. 82
§ 13. Тұрақты коэффициентті сызықты біртекті емес 
теңдеулер ............................................................................ 89

293
§ 14. Дифференциалдық теңдеулерді қатарлар көмегімен 
интегралдау ...................................................................... 101
§ 15. Кіші параметр əдісі .......................................................... 112
§ 16. Шеттік есептер түсініктері ............................................. 114
Тест тапсырмалары .......................................................... 130
3-тарау. 
Дифференциалдық теңдеулер жүйелері
................ 151
§ 17. Негізгі түсініктер ............................................................ 151
§ 18. Теңдеулер жүйелерін шешу əдістері .............................. 154
§ 19. Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйелері ........ 163
§ 20. Тұрақты коэффициентті сызықты дифференциалдық 
теңдеулер жүйелері .......................................................... 175
§ 21. Теңдеулер жүйесін жуықтап шешу əдістері .................. 181
Есептер, жаттығулар. ....................................................... 184
4-тарау.
Орнықтылық теориясының негіздері
................... 188
§ 22. Дифференциалдық теңдеулер шешімдерінің
орнықтылығының негізгі түсініктері ............................. 188
§ 23. Тыныштық нүктелерінің жай түрлері ......................... 191
§ 24. Орнықтылықты Ляпунов функциясы əдісімен 
зерттеу ............................................................................... 203
§ 25. Орнықтылықты бірінші жуықтау арқылы зерттеу ....... 208
§ 26. Жоғарғы ретті туындының коэффициенті кіші 
болуы. ................................................................................ 216
Есептер, жаттығулар. ....................................................... 219
5-тарау.
 
Бірінші ретті дербес туындылы теңдеулер
........... 225
§ 27. Негізгі түсініктер. Сызықтық жəне квазисызықтық 
теңдеулер .......................................................................... 225
§ 28. Пфаффа теңдеулері .......................................................... 235

294
§ 29. Сызықтық емес теңдеулер .............................................. 241
Есептер, жаттығулар. ....................................................... 251
5-тарау.
 
Лаплас түрлендірулерінің сызықтық
дифференциалдық теңдеулерді шешуге қолданылуы
§ 30. Лаплас түрлендірулерінің негізгі түсініктері ................ 254
§ 31. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері .................................. 257
§ 32. Лаплас түрлендіруін кері түрлендіру ............................. 269
7- тарау.
Лаплас түрлендірулерінің қолданылуы
§ 33. Дифференциалдық теңдеулерді шешу .......................... 281
§ 34. Теңдеулер жүйесін шешу ............................................. 287
Пайдаланылған əдебиеттер ...................................................... 290

295
К. Д. Көлекеев, К. Ж. Назарова
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
оқулық

296
Басуға 03.07.12. қол қойылды. Қағазы офсеттік. 
Қаріп түрі “Таймс” Пішімі 60х90/16. Офсеттік басылыс. Баспа табағы 18,5. 
Таралымы 1100 дана. Тапсырыс 684.
Тапсырыс берушінің дайын файлдарынан басылып шықты.
ЖШС РПБК «Дəуір», 050009, 
Алматы қаласы, Гагарин д-лы, 93а.
Е-mail: rpik-dauir81@mail.ru