Халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 9-10 желтоқсан

20 
О ВЫБОРЕ НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ 
ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
  
Бакирова Э.А., Искакова Н.Б. 
Институт математики и математического моделирования МОН РК, Алматы, Казахстан  
E-mail.ru: bakirova1974@mail.ru, narkesh@mail.ru 
  
Нагруженные  дифференциальные  уравнения  часто  встречаются  в  приложениях  как 
математическая  модель  процессов  механики,  физики,  химии,  биологии,  экологии,  экономики  и  др. 
Эти  уравнения  возникают  с  помощью  законов  соответствующих  разделов  естествознания.  Так  как 
законы,  на  основе  которых  составляются  математические  модели,  являются  нелинейными,  то  и 
уравнения,  как  правило,  будут  нелинейными.  Нелинейность  нагруженных  дифференциальных 
уравнений создает принципиальные трудности как при исследовании качественных свойств краевых 
задач для этих уравнений, так и при построении методов нахождения их решений. 
Построению  приближенных  методов  нахождения  решения  краевых  задач  для  нагруженных 
дифференциальных уравнений посвящены работы [1-4].  
В  работах [5, 6] на  основе  метода  параметризации [7] были  получены  необходимые  и 
достаточные условия однозначной разрешимости линейной двухточечной краевой задачи для систем 
нагруженных  дифференциальных  уравнений  и  построены  алгоритмы  нахождения  решения  этой 
задачи.  В  работе [8] метод  параметризации  был  распространен  на  нелинейную  двухточечную 
краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 
В  данном  сообщении  исследуется    нелинейная  двухточечная  краевая  задача  для  системы 
нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений 
 
,
,
,
0
)),
(
,
),
(
),
(
,
,
(
1
0
n
m
R
x
T
t
x
x
x
x
t
f
dt
dx







                             (1) 
,
0
)]
(
),
0
(
[

T
x
x
g
                                                          (2) 
где
,
]
,
0
[
:
)
1
(
n
m
n
R
R
T
f



n
n
n
R
R
R
g


:
- непрерывные функции. 
         Разбиением заданного интервала точками нагружения и введением дополнительных параметров  
краевая  задача (1), (2) сводится  к  эквивалентной  задаче  с  параметрами.  Введение  дополнительных 
параметров позволяет получить начальные условия для неизвестных функций на подинтервалах. При 
фиксированных значениях параметров решается задача Коши для систем нелинейных обыкновенных  
дифференциальных уравнений. Подставляя представление решения задачи Коши в краевые условия и 
условия  непрерывности  решения  во  внутренних  точках  разбиения  интервала,  строится  система 
нелинейных алгебраических уравнений относительно введенных параметров. При достаточно малом 
шаге  разбиения  интервала,  решения  этих  систем    будут  близки  к  значениям  решения 
рассматриваемой  нелинейной  краевой  задачи  в  начальных  точках  подинтервалов.  Используя 
взаимосвязь между решениями нелинейных систем алгебраических уравнений при различных шагах 
разбиения,  предлагается  способ  нахождения  начального  приближения  к  решению  задачи (1), (2), 
основанный на решении системы нелинейных алгебраических уравнений.  
 
Список использованных источников 
1. 
Нахушев А.М
. Уравнения математической  биологии. -М.: Высшая школа. -1995. – - 205 с. 
2. 
Нахушев А.М
. Нагруженные уравнения и их применение. -М.: Наука, 2012. -232 с. 
3. 
Нахушев A.M
. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19. 
- № 1. - С. 86 - 94 
4. 
Абдуллаев  В.М.,  Айда-заде  К.Р.
  О  численном  решении  нагруженных  дифференциальных  уравнений // 
Журнал вычислительной математики  и математической физики. 2004. Т. 44. №9. -С.1585-1595. 
5. 
Бакирова  Э.А
.  О  признаке  однозначной  разрешимости  двухточечной  краевой  задачи  для  системы 
нагруженных дифференциальных уравнений // Известия НАН РК. Серия физико-математическая. - 2005. - №1. -
С. 95-102. 
6. 
Бакирова  Э.А.,  Кадирбаева  Ж.М
.  О  разрешимости  линейной  многоточечной  краевой  задачи  для 
нагруженных  дифференциальных  уравнений // Известия  НАН  РК.  Серия  физико-математическая. 2016. № 5 
(309). С.168-175. 
7. 
Джумабаев  Д.С
.  Признаки  однозначной  разрешимости  линейной  краевой  задачи  для  обыкновенного 
дифференциального уравнения  / Журнал  вычислительной математики и математической  физики. - 1989. - Т. 
29,  №1. - С. 50-66. 
8. 
Джумабаев  Д.С.,  Темешева  С.М
.  Метод  параметризации  решения  нелинейных  двухточечных  краевых 
задач // Ж. вычислительной математики  и математической физики. - 2007. - Т.47. № 1. - С.39-63. 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

21 
НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 
С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ 
Балкизов Ж.А. 
Институт прикладной математики и автоматизации, г. Нальчик, Россия 
E-mail: Giraslan@yandex.ru
 
 
В  прямоугольной  области 
 


h
y
r
x
y
x
D





0
,
0
:
,
  евклидовой  плоскости  точек 
 
y
x
z
,

 
рассмотрим уравнение 
 
   
   
       
 
 
z
f
u
z
b
z
u
z
b
z
u
z
b
z
u
z
a
z
u
z
a
z
u
Lu
y
yy
x
xx
xxx








0
1
2
1
2
, 
 
  (1) 
где 
 
  

2
,
1
,


i
y
x
a
z
a
i
i
, 
 
  

2
,
1
,
0
,


j
y
x
b
z
b
j
j
, 
   
y
x
f
z
f
,

 – заданные  функции  из  класса 
 
 
D
C
z
a
i
x
i

, 
 
 
D
C
z
b
j
y
j

, 
 
 
D
C
z
f

, а 
   
y
x
u
z
u
,

 – искомая функция. 
Уравнение (1), которое  в  монографии [1, с. 132] названо  уравнением  третьего  порядка  с 
кратными характеристиками относится к уравнению параболического типа [2, c. 72]. Как показано в 
работе [3] линейное  приближение  распространения  нелинейных  звуковых  волн  в  жидкости  при 
кавитации  описывается  уравнением  вида (1) при 
 
0
2

z
b
.  В  работах [4] - [7] изучены  локальная, 
нелокальная и общие краевые задачи для уравнения (1) в случае, когда коэффициент 
 
0
2

z
b
.  
В  работах [8] – [10] различными  методами  получены  фундаментальные  решения  модельного 
уравнения третьего порядка с кратными характеристиками вида 
 
 
0


z
u
z
u
yy
xxx
,  
 
 
 
 
(2) 
а  также  изучены  свойства  полученных  решений  и,  в  частности,  получены  оценки  построенных 
фундаментальных  решений  и  их  производных.  Краевые  задачи  для  уравнений  вида (2) и (1) при 
 
0
,
2

y
x
b
 как в ограниченной, так и в неограниченной областях изучены в работах [11] – [15]. 
Регулярным  в  области  D   решением  уравнения (1) назовем  функцию 
   
y
x
u
z
u
,

  из  класса 
 
 
D
C
D
C
y
x
2
,
3
,

, при подстановке которой уравнение (1) обращается в тождество.  
В данной работе исследуется следующая 
Задача  А.  Требуется  найти  регулярное  в  области  D   решение  уравнения (1) из  класса 
 





 



h
y
y
D
C
r
x
D
C
y
x
u
y
x








0
,
1
2
, удовлетворяющее краевым условиям 
 
0
,
0

y
u
,  
 
0
,
0

y
u
x
,  
 
 
0
,
,


y
r
u
y
r
u
xx

, 
h
y


0
, 
   
h
x
u
x
u
,
0
,

,   
 
 
h
x
u
x
u
y
y
,
0
,

, 
r
x


0
, 
где 
const


 - заданное число. 
Обозначим 
 
   


D
dy
dx
z
z
u
u


0
,
,   
 
 



D
dy
dx
z
u
u
u
u
2
0
2
0
,
. Справедлива следующая 
Теорема  1.  Пусть  коэффициенты 
  

2
,
1
,

i
y
x
a
i
, 
  

2
,
1
,
0
,

j
y
x
b
j
, 

  таковы,  что  они 
обладают свойствами: 
 
0
2

z
a
,  
 
0
2

z
b
,  
 
 
 
 
 
0
2
0
1
1
2
2





z
b
z
b
z
a
z
b
z
a
y
x
yy
xx
     
 
D
y
x


,
, 
   
 
y
r
a
y
r
a
y
r
a
x
,
2
,
,
2
2
1
2




   
 
h
y
,
0


, 
 
 
 
     
 
r
x
x
b
h
x
b
x
b
h
x
b
x
b
h
x
b
y
y
,
0
0
,
,
0
,
,
,
0
,
,
1
1
2
2
2
2






. 
Тогда для решения 
   
y
x
u
z
u
,

 задачи А имеет место энергетическое неравенство 
 
 
0
0
z
f
С
z
u

, 
 
 
 
 
(3) 
где  C  – положительная постоянная, не зависящая от искомой функции 
 
z
u
. 
Из априорной оценки (3) вытекает единственность регулярного решения исследуемой задачи А. 
 
Список использованных источников 
1.
  Джураев  Т.  Д
.  Краевые  задачи  для  уравнений  смешанного  и  смешанно-составного  типов.  Ташкент: 
ФАН. 1979. 238 с. 
2.
  Нахушев А.М
. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. 301 с. 
3.
  Красильников  В.А.,  Кузнецов  В.П
.  Распространение  нелинейных  звуковых  волн  в  жидкости  при 
кавитации // Акустический журнал. 1974. Т.20, №3. С. 473 – 477. 
4.
  Cattabriga L
. Annali della seuola normole Superici di pisa e mat., 1959, vol. 13, № 2, p. 163. 
5.
  Иргашев Ю
. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками 
//  Сборник  научных  трудов  "Краевые  задачи  для  дифференциальных  уравнений  и  их  приложения".  Ташкент: 
ФАН. 1976. С. 17-31. 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

22 
6.
  Джураев Т. Д, Абдиназаров С
. Краевые задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнений третьего 
порядка с кратными характеристиками // Известия АН Узбекской ССР. 1981. №1. С. 8-11. 
7.
  Абдиназаров С
. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // 
Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, №1. С. 3-12. 
8.
  Block H
. Sur les equations lineaires aux derivies partielles a caracteristiques mulptiples // Arkiv for Mat. Astr. 
och Fysik. 1912. Bd.7. Р. 3–20. 
9.
  Cattabriga L
. Potenziale di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caratteristiche 
multiple // Rendiconti del seminario Matem. della univ. di Padava. 1961. Vol. 31. 
10.
 
 
Джураев  Т.Д.,  Апаков  Ю.П
.  Об  автомодельном  решении  одного  уравнения  третьего  порядка  с 
кратными  характеристиками // Вестник  Самарского  государственного  технического  университета.  Серия 
физико-математические науки. 2007. №2(16). С. 18-26. 
11.
  Иргашев Ю., Апаков Ю.П
. Первая краевая для уравнения третьего порядка псевдоэллиптического типа 
// Узбекский математический журнал. 2006. №2. С. 44-51. 
12.
 
 
Апаков  Ю.П
.  К  решению  краевых  задач  для  уравнения 
0


yy
xxx
u
u
  в  неограниченных  областях // 
Доклады АН республики Узбекистан. 2006. №3. С. 17-20. 
13.
 
 
Апаков  Ю.П
.  О  решении  краевой  задачи  для  уравнения  третьего  порядка  с  кратными 
характеристиками // Украинский математический журнал. Т.64, №1. 2012. С. 3-13. 
14.
 
 
Балкизов Ж.А., Кодзоков А.Х
. О представлении решения краевой задачи для неоднородного уравнения 
третьего  порядка  с  кратными  характеристиками // Известия  Кабардино-Балкарского  научного  центра  РАН. 
2010. №4. С. 64-69. 
15.
 
 
Балкизов  Ж.А
.  Краевая  задача  для  уравнения  третьего  порядка  с  кратными  характеристиками // 
Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17, №3. С. 13 – 21. 
 
 
ОБ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧЕ СОЛОННИКОВА - ФАЗАНО  
Дженалиев М.Т.
1
, Рамазанов М.И.
2,3 
1
Институт математики и математического моделирования КН МОН РК,  
Алматы, Казахстан  
E-mail: muvasharkhan@gmail.com 
2
Институт прикладной математики КН МОН РК,  
3
КарГУ им. Е.А.Букетова, 
Караганды, Казахстан  
E-mail: ramamur@mail.ru  
 
Рассматривается однородная граничная задача теплопроводности 
 
T
t
mt
x
x
u
a
t
u
,
0
,
0
;
0
2
2
2









 ,                                        (1) 
 
0
~
;
0
0










dt
t
u
d
k
x
u
x
u
mt
x
x
,                                        (2) 
где 
   


t
mt
u
t
x
u
t
u
mt
x
,
,
~



,  k  и  m  - заданы.  
Задача (1)-(2) является однородным случаем задачи, исследованной в [1], где указано, что данная 
задача оказывается полезной при изучении задач со свободными границами.   
Введя новую функцию 
,
)
,
(
)
,
(
x
t
x
u
t
x
v



и используя тепловые потенциалы простого слоя [2],  
задачу (1)-(2) сведем к решению сингулярного интегрального уравнения типа Вольтерра второго рода 
 


 
 
 




















t
t
t
a
t
m
t
a
t
m
d
e
t
ka
a
m
d
e
t
t
a
m
t
0
0
)
(
2
/
3
2
2
2
2
1
2
















 
 
.
0
1
2
0


















d
t
ka
a
m
t
                                            (3) 
Выделяя  характеристическую  часть  данного  однородного  интегрального  уравнения,  решение 
которой определяется  в явном  виде  и  используя  метод  регуляризации  Карлемана-Векуа  найдем его 
ненулевое  решение [3]. Тем  самым,  показано,  что  поставленная  однородная  краевая  задача  также 
имеет ненулевое решение. Доказана справедливость теоремы. 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

23 
Теорема.  Классами  единственности  решения  для  граничной  задачи (1)-(2) являются 















1
2
/
1
1
;


t
x
G
L
, 
0


. 
Работа  выполнена  при  поддержке  грантового  финансирования  научных  исследований 
Комитетом науки МОН РК (проект №1164/ГФ4 КН МОН РК). 
 
Список использованных источников 
1.
  Солонников  В.А.,  Фазано  А
.  Об  одномерной  параболической  задаче,  возникающей  при  изучении      
некоторых задач со свободными границами //  Записки научных семинаров ПОМИ.  2000. Т. 269. С. 322-338. 
2.
  Тихонов А. Н., Самарский А.А.
 Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 734 с. 
3.
  Дженалиев  М.Т.,  Рамазанов  М.И
.  Нагруженные  уравнения  как  возмущения  дифференциальных 
уравнений. – Алматы: Ғылым, 2010. – 334 с. 
 
 
О НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ  
НЕОДНОРОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 
Дженалиев М.Т.
1
, Рамазанов М.И.
2,3 
1
Институт математики и математического моделирования КН МОН РК, Алматы, Казахстан  
muvasharkhan@gmail.com 
2
Институт прикладной математики КН МОН РК,  
3
КарГУ им. Е.А.Букетова, Караганды, Казахстан   
E-mail: ramamur@mail.ru  
 
В настоящей работе наряду с тривиальным решением мы устанавливаем в классе существенно 
ограниченных  функций  с  заданным  весом  существование  нетривиального  решения  с  точностью  до 
постоянного множителя. 
Рассматривается однородная граничная задача  
           
0};
>
,
<
<
0
:
,
{
=
}
,
{
0,
=
)
,
(
)
,
(
2
2
2
t
t
x
t
x
G
t
x
x
t
x
u
a
t
t
x
u






 
  
 (1) 
              
0;
=
)
(
~
|
)
,
(
0,
=
|
)
,
(
=
0
=
dt
t
u
d
x
t
x
u
x
t
x
u
t
x
x





                                 (2) 
где 
).
,
(
=
)
(
~
t
t
u
t
u
  Отметим,  что  задача (1)–(2) является  однородным  случаем  задачи,  изученной  в 
работе [1], причем, для простоты коэффициенты из указанной работы приняты равными: 
1
=
= b
k
. 
Эти  изменения  не  противоречат  постановке  задачи  из [1]. Как  отмечено  в  работе [1], случай 
неоднородной  граничной  задачи "... оказывается  полезным  при  изучении  некоторых  задач  со 
свободными  границами".  Например,  для  однофазной  задачи "... Стефана  при  следующих 
предположениях:  жидкая  фаза  с  положительной  температурной  температурой 
)
,
(
t
x
u
  занимает 
отрезок 
)
(
<
<
0
t
s
x
, при 
0
=
x
 задается положительный поток тепла, а свободная граница 
)
(
=
t
s
x
 
начинается  у  твердой  стенки 
0
=
x
,  т.е.  выполняется  условие 
0
=
(0)
s
".  В  работе [1] установлена 
теорема  об  однозначной  разрешимости  рассматриваемой  там  граничной  задачи  в  весовых 
гельдеровских  пространствах.  Исследование  граничных  задач  вида (1)–(2) проводится  в  Казахстане 
впервые.  Если  в  работе [1] было  показано,  что  в  некотором  гельдеровском  классе  функций 
однородная задача (1)–(2) имеет только тривиальное решение, то нас интересует вопрос: существует 
ли у этой задачи нетривиальное решение и какому классу оно принадлежит? Этот вопрос ранее никем 
не  был  изучен.  В  настоящей  работе  наряду  с  тривиальным  решением  мы  устанавливаем  в  классе 
существенно  ограниченных  функций  с  заданным  весом  существование  нетривиального  решения  с 
точностью до постоянного множителя. Введем этот класс следующим образом:  
 
),
(
)
,
(
)
(
1
2
/
1
G
L
t
x
u
t
x




т.е. 
).
)
(
;
(
)
,
(
1
2
/
1




t
x
G
L
t
x
u
 (3) 
Сформулируем основной результат. 

жүктеу/скачать 13,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: