Қозғалысы координаттық тәсілде берілген нүкте жылдамдығын

. (2.23) 
2.1.5. Қозғалысы координаттық тәсілмен берілген нүктенің үдеуін 
анықтау 
Қозғалмайтын 
Oxyz
координаттар жүйесіндегі нүкте қозғалысы 
(2.24) 
теңдеулерімен анықталады дейік. Осы теңдеулер арқылы нүкте үдеуін қалай 
есептеуге болатынын көрейік. Нүкте үдеуі деп (2.13) не (2.14) векторлық теңдікпен 
берілген векторды айтамыз. (2.14) теңдіктің оң жағындағы радиус-вектор 
-ді 
координаттар өстеріне жіктеп жазуға болады: 
. (2.25) 
(2.25)-тегі векторының компоненттерін (2.14) теңдігіне қойып
. (2.26) 
(2.26) теңдігінің оң жағындағы туындыны есептеп шықсақ, мына теңдікке 
келеміз: 
. (2.27) 
Енді үдеу векторы 
-ны үш құраушыға жіктеп оны (2.27) теңдігінің сол 
жағына қоямыз: 
. (2.28) 
(2.28) теңдігі орынды болуы үшін, бұл теңдіктің екі жағында тұрған өзара 
тәуелсіз 
, 
, 
бірлік 
векторларының 
әрбіреуінің 
араларындағы 
коэффициенттері бірі-біріне тең болуы керек: 
,
. (2.29) 
Үдеу модулі мына формуламен анықталады:
. (2.30) 
Үдеу векторының кеңістіктегі бағыты оның бағыттаушы косинустарымен 
анықталады: 
. (2.31) 
,
)
,
cos(
v
v
x
v
x

,
)
,
cos(
v
v
y
v
y

v
v
z
v
z

)
,
cos(
),
(
t
f
x

)
(
t
f
z

_
r
k
z
j
y
i
x
r



_
r
2
2
)
(
dt
k
z
j
y
i
x
d
a



k
dt
z
d
j
dt
y
d
i
dt
x
d
a
2
2
2
2
2
2



_
a
k
dt
z
d
j
dt
y
d
i
dt
x
d
k
a
j
a
i
a
z
y
x
2
2
2
2
2
2





_
i
_
j
_
k
2
2
dt
x
d
a
x

,
2
2
dt
y
d
a
y

2
2
dt
z
d
a
z

2
2
2
z
y
x
a
a
a
a



,
)
,
cos(
a
a
x
a
x

,
)
,
cos(
a
a
y
a
y

a
a
z
a
z

)
,
cos(

2.1.6. Қозғалысы табиғи тәсілмен берілген нүктенің жылдамдығын 
анықтау 
Нүкте М-нің қозғалысы координаттар жүйесінде табиғи тәсілде берілген 
дейік. Демек, нүктенің траекториясы АВ көрсетілген (2.8-сурет). Осымен қатар, 
доғалық қашықтық 
S
= 
уақытқа тәуелді функция ретінде берілген
S
= 
f(t)
Енді нүктенің жылдамдығын есептеу жолын көрсетейік. Ол үшін
жылдамдық векторының анықтамасы (2.8) –ді берілген және О
1
санақ нүктесі, 
қашықтықты есептеудің оң бағытты пайдаланамыз: 
мұндағы нүктенің радиус векторы. (2.8) –дің 
екі жағынан модуль алайық: 
. (2.32) 
Бұл жерде уақыт дифференциалы 
dt
оң 
таңбалы шама екені ескеріледі. Енді радиус 
векторың дифференциалының модуліне тең 
болатынын пайдаланайық: 
. (2.33) 
(2.32) теңдегі арқылы (2.33) өрнегінен 
мынадай формуланы аламыз: 
. (2.34) 
Доғалық координаттың уақыт бойынша алынған туындысының таңбасы “+”, 
не “-” болуы мүмкін. Егер қозғалыс доғаны есептеудің оң бағытында орындалса, 
онда 
болатындықтан 
ал қозғалыс доғалық қашықтықты 
есептеу 
бағытына 
қарсы 
бағытта 
орындалатын 
жағдайда 
. 
Траекторияның 
М 
нүктесінде жүргізілген жанаманың бірлік векторын 
деп 
белгілейік. Бұл векторы 
S
доғалық қашықтықты есептеудің оң бағытына сәйкес 
бағытталатынын ескерсек, онда (2.34)-ті векторлық түрде жаза аламыз: 
. 
Сонымен, нүкте қозғалысы табиғи тәсілде берілген болса, онда оның 
жылдамдығының модулі де, бағыты да толық анықталады. 
 
2.1.7. Табиғи үш жақ. Табиғи өстер. Үдеу векторының жанама және 
нормаль құраушылары 

OM
_
r
dt
r
d
dt
dr
v


dS
r
d

dt
dS
v

~
0

dt
dS
,
0


dt
dS
v
0

dt
dS



v
v

dt
r
d
v

2.8 - сурет 

1
. 
Табиғи үш жақ. Табиғи өстер
. 
Траекторияның бір–біріне шексіз жақын 
орналасқан үш нүктесі арқылы өтетін жазықтық, оның ортаңғы нүктесіне 
жүргізілген, жанаспа жазықтық деп аталады
. 
Жанамаға перпендикуляр, М нүктесі арқылы өтетін, N- жазықтығы 
траекторияның осы нүктедегі нормаль жазықтығы деп аталады. 
Траекторияның М нүктесіндегі жанама арқылы 
өтетін нормаль және жанаспа жазықтықтарға 
перпендикуляр үшінші жазықтық траекторияның сол 
нүктедегі түзілеуші жазықтығы деп аталады
(2.9-
сурет). 
Жанаспа 
жазықтықта 
жатқан 
нормаль, 
қисықтың 
М
нүктесіндегі бас нормаль деп, ал жанаспа 
жазықтыққа осы нүктеде жүргізілген перпендикуляр, 
бинормаль деп аталады. Жанаманың оң бағыты (
бірлік векторы) қозғалыспен бағыттас келеді. Бас 
нормальдың 
оң 
бағыты 
(
бірлік 
векторы) 
траекторияның ойыс жағына қарай бағытталады. Бинормальдың оң бағыты (
бірлік векторы) және векторларымен оң координаттар жүйесін құрайтындай 
етіп алынады. 
Бас нүктесі М болатын бұл координаттар жүйесі М
 табиғи
координаттар жүйесі деп, немес табиғи үшжақ деп аталады
Координаттар 
жазықтары екі-екіден алынған бірлік векторларымен анықталады. ( , ) –жанаспа 
жазықтық, ( , ) - нормаль жазықтық, ( , ) – түзулеуші жазықтық. 
2. Қисық сызық қисықтығы. 
Нүктенің траекториясын жалпы жағдайда 
кеңістіктегі қисық сызық деп санаймыз. Нүкте траекториясының 
М 
нүктесі 
берілсін
.
Траекторияның осы нүктесінде
2.10-сурет 
және оған жақын орналасқан екінші нүктесі 
арқылы және 
 
жанама бірлік 
векторларын жүргізейік (2.10-сурет). 
нүктесі берілген 
М
нүктесінен 
қашықтықта болсын, 
векторын 
М
нүктесіне параллель көшірейік. 
М
_

_
n
_
b
_

_
n
_

_
n
_
b
_

_
n
_
n
_
b
_
b
_

1
M

1

1
M
S

1

2.9-сурет 
 

нүктесіндегі 
және 
екі бірлік векторлар арасындағы бұрышты, 
деп 
белгілейік. Бұл бұрыштың 
доға ұзындығына қатынасын алайық: 
. (2.35) 
(2.35) қатынасын траекторияның 
ММ
1
доғасының орташа қисықтығы дейміз. 
Осы орташа қисықтық ұғымын пайдалана отырып, қисықтық яғни траекторияның 
берілген нүктедегі қисықтығы деген ұғым енгізе аламыз. 
Қисықтың берілген 
М 
нүктесіндегі қисықтығы деп орташа қисықтықтың 
нөлге ұмтылғандағы шегіне тең шаманы айтамыз: 
. (2.36) 
Орташа қисықтық өрнегі (2.35) арқылы (2.36) теңдігін мына түрде жазайық: 
. (2.37) 
(2.37)-теңдіктің сол жағындағы қатынастың алымының және бөлімінің де 
шекті мәндерін анықтайық. 
нөлге ұмтылғандағы немесе 
нүктесінің траектория бойымен берілген 
М 
нүктесіне ұмтылғандағы 
бұрыштың шекті мәнін 
деп белгілеп, бұл 
бұрышты сыбайластық бұрыш деп атаймыз. 
-тің 
нүктесінің траектория бойымен 
М-
ге ұмтылғандағы шегі 
доға 
элементіне тең. Осы түсіндірмелерді пайдалана отырып, (2.37)-анықтаманы былай 
жазамыз: 
. (2.38) 
(2.38)-формула қисық сызықтың берілген 
М 
нүктесіндегі қисықтығын 
анықтайды. Ол былай айтылады. Траекторияның берілген нүктесіндегі қисықтығы 
элементар сыбайластық бұрыштың доға элементіне қатынасына тең шама. 

жүктеу/скачать 434,05 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: