№1 дәріс. Кіріспе. Математика ғылымының бұлақ-бастаулары Қарастырылатын мәселелер
жүктеу/скачать 1,77 Mb. Pdf көрінісі
|
4. Математика тарихы. Дәріс тезистері 2
| p
әрпімен белгіленді) және тек деп аталды, қисықтың координаталары бір параметрдің рационал функцияларымен (р=0), элипстік интегралдармен ( р=1) немесе гиперэллипстік абель интегралдарымен (р > 1) өрнектелуі мүмкін екендігі көрсетілді (Риман). Жазық қисықтар теориясында (Клебш, Рох, т.б.), алгебралық беттер теориясында (Кэли, Сальмон, Штейнер, Шлефли, Жонкьер, Сильвестр), алгебралық беттердің комплекстік кеңістіктегі жалпы теориясында (М.Нётер, Энриквекс) іргелі ғылыми нәтижелер алынды. Алгебралық геометрияның «Есептеулер геометриясы» атты бағыты пайда болды (Плюккер, Шуберт, т.б.), n өлшемді кеңістіктің барлық m өлшемді жазықтықтарының көпбейнесінің өлшемділігі (m+1)(n-m) -ге тең болатындығы тағайындалды, «шуберттік көпбейнелердің» өлшемділігі табылды (Шуберт), т.б. Вектор және векторлық өріс ұғымдары енгізілді (Грассман, У.Гамильтон); векторлық есептеулердің негізі салынды (Грассман); вектор ұғымы кватерниондармен тығыз байланыста қарастырылды, векторлық анализдің негізі салынды (У.Гамильтон). Векторлық алгебра XX ғ. басында қазіргі заманғы түрге келтірілді (Хевисайд). 8. XIX ғ. ірі жаңалықтың бірі – биевклидтік геометриялар ашылды (Больяй, Гаусс, Лобачевский, Риман). Гаусс алғашқы болып, V постулатты тәуелсіз аксиома ретінде санады, егер оны басқа түрде таңдап алса, Евклидтікінен өзге басқа геометрия шығатынын білді, бірақ еңбектерін жариялаған жоқ. Бұл идеяға келушілердің 2-сі Я.Больяй, 3-сі Лобачевский болды. Жалпы алғанда, бұл постулат геометрия курсында ықшам түрде былай тұжырымдалады: « а түзуінен тысқары қандай да бір А нүктесін бастыра, осы түзу мен нүкте анықтайтын жазықтықта а түзуіне параллель етіп түзу жүргізуге болады және ол түзу біреу ғана болады» (V постулатқа пара-пар Плейфер аксиомасы ) . Лобачевский V постулатты дәлелдемек болып, қарсы жору әдісін пайдаланды: « а түзуінен тысқары жататын А нүктесін бастыра, осы нүкте мен түзу анықтайтын жазықтықта а түзуіне параллель етіп түзулер жүргізуге болады және олардың саны ең кем дегенде екеу болады» ( Лобачевский аксиомасы ). Лобачевский Евклидтің алғашқы он аксиомасына өз аксиомасын қосып, геометрияны жүйелі түрде өрбіте бастайды. Оның ойынша, егер қарама-қайшылық орын алса, онда өз аксиомасы теріске шығарылып, Евклидтің V постулаты ләлелденеді. Алайда, ол ешқандай логикалық қайшылыққа ұшырамай, тұтастай жаңа бір геометрияны жасап шықты. Я.Больяй осы жолмен жүріп, жаңа геометрияны ашты (көзі тірісінде бағаланған жоқ). Евклидтік емес геометрияны ашушылар - Лобачевский, Гаусс және Я.Больяй, бұл жаңалық олардың үшеуіне де тиесілі. Бұдан кейін евклидтік емес геометрияның тағы бір түрі - эллипстік геометрия ашылды (Риман,1854 ). Жалпы алғанда, параллель түзулер туралы үш түрлі ұйғарым жасауға болады: 1-сі - Евклидтің V постулаты, 2-сі - Лобачевский аксиомасы. Оларға негізделетін геометриялардың 1-сі Евклид геометриясы , ал 2-сі гиперболалық геометрия деп аталады. Риман V постулат орнына мына аксиоманы ұсынды: « а түзуінен тысқары А нүктесін бастыра, осы түзу мен нүкте анықтайтын жазықтықта а түзуіне параллель етіп, бір де бір түзу жүргізуге болмайды» ( Риман аксиомасы ). Бұған негізделген геометрия эллипстік геометрия деп аталды. Шын мәнісінде, бұл геометриялардың барлығының да заңдары дұрыс, қазіргі күні олардың логикалық тұрғыдағы қайшылықсыздығы толығымен дәлелденген. Бірақ, сол тұста оларды кейбір атақты математиктердің өзі түсіне қоймады (Остроградский, Буняковский, т.б.). Гиперболалық геометрияны түсіндіруге алғашқы болып әрекет жасаған – Бельтрами (1868). Бельтрамидің интерпретациясы гиперболалық геометрияның қайшылықсыздығының ең алғашқы, бірақ толық емес дәлелдемесі болды. Алайда, оның шеше алмаған бірқатар мәселелері он жылдай бұрын қарастырылған еді (Кэли). Ол проективтік метрикалар мен гиперболалық геометрия арасындағы байланысты тағайындады. 9. Көпөлшемді кеңістіктің геометриясы көп айнымалысы бар функциялардың геометриялық интерпретациясын жасаудың қажеттігіне байланысты пайда болды. Көпөлшемді геометрияда: оның терминологиясы жасалды (Кэли); көпөлшемді кеңістіктің аффиндік геометриясы дамытылды, n өлшемді сызықтық кеңістік, 𝑛 өлшемді кеңістіктің 𝑚 өлшемді жазықтықтарының грассмандық координаталары мен грассмандық көпбейнеліктер анықталды (Грассман). Плюккер көпөлшемді кеңістік ұғымын анықтаудың басқа жолын ұсынды, ол кәдімгі кеңістіктің негізгі элементі ретінде нүктелерді емес, көпбейнеліктері төртөлшемді болатын түзулерді қарастырып, Плюккер координаталарын, «сызықтық комплекс» және «сызықтық конгруэнция» ұғымдарын енгізді. Шлефли анализдің n өлшемді аналитикалық геометриясы болып табылатын жаңа саланы негіздеуді мақсат етіп қойды. Риман « 𝑛 еселі созылымды көпбейнелік» ұғымын ұсынды. Клейн көпөлшемді кеңістік идеясының таралуына үлкен үлес қосты. Ол гиперболалық геометрияның моделін тапты, өзіне дейін құрылған «кеңістік геометрияларының» барлығын қандай да бір түрлендіру группаларының инварианттарын зерттеу идеясына бағындырды. Риман барлық геометриялардың бәрін қамтитын жалпылама үлкен геометрияның іргетасын қалады. Мұнда ол екі идеяға сүйенді. 1-идея бойынша, Евклид геометриясы кеңістіктің бірден-бір геометриясы емес, ол - жуық түрдегі қарапайым геометрия, кеңістіктің нақты геометриясы одан күрделірек болуы керек. 2-идеясы - кеңістіктің көпөлшемділігі туралы идея. Евклид геометриясы кеңістік үшөлшемді деп ұйғарады. Бірақ, ол дәлелденбеген, демек, оны үшөлшемді деп кесіп айтуға болмайды. Олай болса, оны жалпы түрде n өлшемді деп алу керек. Бұл идеялар онан әрі дамытылды (Кристоффель, Липшиц, т.б.). n өлшемді кеңістіктер қазіргі күні римандық кеңістіктер, ал олардың геометриясы римандық геометрия деп аталады. Бірақ, көпөлшемді геометрияға күмәнмен қарау орын алды, себебі көпөлшемді геометрияны математика мен жаратылыстану ғылымдарының есептерін шешуде қолдану мүмкін емес деп есептелді. |