№1 дәріс. Кіріспе. Математика ғылымының бұлақ-бастаулары Қарастырылатын мәселелер
жүктеу/скачать 1,77 Mb. Pdf көрінісі
|
4. Математика тарихы. Дәріс тезистері 2
| 14-дәріс.
XIX ғасыр математикасы 1. Топологияның алғашқы нышандары 2. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика 3. Аналитикалық функциялар теориясы 4. Дифференциалдық теңдеулер теориясы 5. Вариациялық есептеулер 6. Шекті айырмаларды есептеу және интерполяция 7. Математиканы негіздеу мәселелері және жиындар теориясы 1. XVII ғ. соңында Лейбниц «орындар геометриясы» ( geometria situs ) деген идеяны ұсынды. Бұл сандардың ролін геометриялық фигуралар, ал шамалардың ролін сызықтар мен геометриялық фигуралардың өзара орналасуы атқаратын жаңа геометриялық есептеулер жүйесі еді. Оны Эйлер де, Гаусс та осы мағынада түсінді. Эйлер дұрыс көпжақтар туралы теореманы дәлелдеді: « 𝑁 0 − 𝑁 1 + 𝑁 2 = 2 , мұндағы 𝑁 0 , 𝑁 1 және 𝑁 2 − дөңес көпжақтың төбелер, қабырғалар және жақтар саны». XIX ғ. бұл теорема күрделі көпжақтар үшін жалпыланды: жұлдызшалы екі көпжақтың 𝑁 0 = 12, 𝑁 1 = 30, 𝑁 2 = 12 болатын екеуі үшін 2𝑁 0 + 𝑁 2 = 𝑁 1 + 6 теңдігі орындалатындығы дәлелденді (Пуансо). Дөңгелектің ішіне гомеоморфты көпбұрыштар желісі үшін 𝑁 0 − 𝑁 1 + 𝑁 2 = 1 теңдігі орын алатындығы, саны 𝑁 3 болатын көпжақтар үшін 𝑁 0 − 𝑁 1 + 𝑁 2 − 𝑁 3 = 1 теңдігі дұрыс болатындығы дәлелденді (Коши). Эйлер теоремасы орындалатын шарттар табылып, 𝑝 текті көпжақтар үшін 𝑁 0 − 𝑁 1 + 𝑁 2 = 2 − 2𝑝 қатынасы орындалатындығы тағайындалды (Люилье). Листинг «топология» терминін (грекше, « topos » (орын), « logos » (ілім)) пайдалануды ұсынды (1847). Листинг бойынша, топологияның зерттеу обьектісі - «сызықтық комплекстер» (түзу немесе қисық сызықтар немесе олардың жиынтықтары). Кейіннен ол «кеңістік комплекстері» терминін де пайдаланды (кеңістіктегі нүктелердің, сызықтардың және беттердің кез келген конфигурациясы). Мёбиус «жақындық» терминін қолданып, өзара гомеоморфты беттерді классификациялауды жүзеге асырды. Ол беттермен «элементар жақындықта» болатын «униондарды», «биниондарды», «термиондарды», т.с.с. бөліп көрсетті, көпжақтың және беттің ориентациялары ұғымдарын енгізді. Риман беттердің топологиялық қасиеттерін тағайындады, 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 алгебралық теңдеулерімен берілген 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцияларын «көпжапырақты беттермен» байланыстырды, қазіргі күні римандық беттер деп аталатын беттерді «бірбайланысты» және «көпбайланысты» беттерге жіктеді және жазық қисықтар үшін 𝑝 сипаттамасын енгізді. Клейн атақты «Эрланген бағдарламасына» « Analysis situs » атты бөлім енгізіп, оған шектеусіз аз деформациялардан құрастырылған түрлендірулер кезінде өзгеріссіз қалатындарды іздейтін ілім ретінде сипаттама берді. XIX ғ. топологияның әр түрлі есептері шешіліп, тұйықталған үздіксіз жазық қисықтың жазықтықты екі – ішкі және сыртқы облысқа бөлетіндігі және ішкі облыстың шекті радиустағы дөңгелекті қамтитындығы туралы теорема дәлелденді (Жордан). XIX ғ. соңында комбинаторикалық топология қалыптаса бастады (Пуанкаре). 2. Ықтималдықтар теориясы дамудың жаңа жолына түсті, онда кездейсоқ оқиғалармен бірге, кездейсоқ шамалардың сипатымен байланысты есептерді қарастыру қолға алынды. Ықтималдықтардың аналитикалық теориясының негізі салынды: ықтималдықтың классикалық анықтамасы, тәуелсіз оқиғалар ықтималдықтарын қосу мен көбейту теоремалары, оқиғалардың шартты ықтималдығы туралы теоремалар, математикалық және моральдық үміттердің анықтамалары, Муавр – Лаплас шектік теоремасы, шектеулі қосындылардың үлестірім заңдары, т.б. (Лаплас); қателер теориясы (Гаусс, Пуассон, Коши, т.б.); үлкен сандар заңының қолданылу аймағын кеңейту (Пуассон, т.б.); ең кіші квадраттар принципі (Лежандр); т.б. Ықтималдықтар теориясын негіздеу мәселесінде елеулі ғылыми нәтижелер алынды. Дамыған мемлекеттерде статистикалық ұйымдар мен қоғамдар құрылып, халық санағының статистикасын зерттеу мен сандық мәліметтерге статистикалық өңдеулер жасау қолға алынды (Кетле, Лексис, т.б.), биометрияның (Гальтон, Пирсон, т.б.) негізі салынды. Жалпы алғанда, ықтималдықтар теориясында: оны жаратылыстану-ғылыми пән ретінде құру (Лаплас, т.б.), үлкен сандар заңының әртүрлі формалары (Лаплас, Пуассон, т.б.) мен шектік теореманы дәлелдеу (Лаплас, Коши, т.б.); қателердің классикалық теориясын жасау (Лаплас, Гаусс, т.б.); ықтималдықтарды физикада қолдану (Максвелл, Больцано, т.б.); халық санағының статистикасы (Лексис, т.б.) мен биометриялық мектепті (Гальтон, Пирсон, т.б.) қалыптастыру; ықтималдықтар теориясын математикалық логика тұрғысынан негіздеу (де-Морганн, Буль, Венн, т.б.). жүзеге асырылды. Алайда, ықтималдықтар теориясының таза математикалық ғылым болып табылатындығы туралы мәселе XX ғ. ғана жүзеге асырылды. 3. XIX ғ. басында комплекс сандардың геометриялық интерпретациясы келтірілген және Даламбер леммасы дәлелденген теориясы жарияланып, алгебраның негізгі теоремасының Кошидікіне жақын келетіндей дәлелдемесі ұсынылды (Арган). Алайда, олар Гаусстың жұмыстарынан кейін ғана толық мойындалды (1831). Аналитикалық функциялар теориясында Коши іргелі жаңалықтар ашты: интегралдық теорема, Коши интегралы, дәрежелік қатарға жіктелу туралы теорема, қатардың коэффиценттерін дөңгелекте қосындының модулінің максимумы арқылы бағалау, қалынды ұғымы және қалындылар туралы теорема. Осымен қабаттаса эллипстік функциялар теориясы қалыптаса бастады (Абель, Якоби, Лиувилль, Эйзенштейн, т.б.). Риманның жұмыстары АФТ дамуының жаңа кезеңінің бастамасы болды. Осы кезеңде бүтін аналитикалық функцияларды бастапқы көбейткіштерге жіктеу туралы Вейерштрастың және Миттаг-Леффлердің мероморфты функцияны оның негізгі бөліктері арқылы өрнектеу туралы теоремалары тұжырымдалды; көп айнымалының аналитикалық функциялары теориясының іргетасы қаланды (Вейерштрасс); конформдық түрлендірулер теориясы мен модулярлық функциялар теориясы дами бастады (Шварц, Шоттки, Клейн, т.б.). 80-жылдар басында алгебралық функциялар теориясы бөлініп шықты (Дедекинд, Вебер, т.б.). Автоморфтық функциялар теориясы және униформация теориясы жасалды (Пуанкаре). Ол кез келген көпмәнді функцияны шекаралық дөңгелегі бар автоморфты функциялар көмегімен параметрлік түрде өрнектеудің мүмкіндігі туралы атақты теореманы дәлелдеді. Мынадай маңызды нәтижелер алынды: екі дәрежелік қатардың бөліндісі түрінде өрнектелетін комплекстік көп айнымалылардың кез келген функциясын бүтін екі функцияның (өзара жай) бөліндісі түрінде өрнектеуге болатындығы туралы теорема дәлелденді (Пуанкаре, Кузен); абельдік функциялардың 𝑝 комплекс айнымалының 2𝑝 периодты мероморфтық функциялар ретіндегі жалпы теориясының негізі салынды (Пикар, Аппель); көпмүшеліктер қатарларының жалпы теориясы қалыптасты; жай сандардың таралуының асимптоталық заңы дәлелденді (Адамар, Валле Пуссен). 4. Қарапайым ДТ теориясы дамудың жаңа жолына түсті. Бұған дейін ДТ-лердің жалпы шешімдерін табу мәселесі алдыңғы кезекке қойылып келсе, енді Коши есебін шешу мәселесі алдыңғы қатарға шықты. Коши математиктер алдына шешімнің бар болу проблемасын қойып, мынадай нәтижелер алды: 1-ретті теңдеулер үшін бастапқы есеп шешімінің бар болуы туралы теореманың дәлелдемелері (Коши); Коши-Липшиц әдісі; біртіндеп жуықтау әдісі (Лиувилль, Пикар), шешімнің бар және жалғыз болуы туралы теоремалар (Пикар, Пеано, т.б.). XIX ғ. ортасына дейін ДТ-лердің жалпы шешімдерін квадратуралау арқылы табу әдістеріне көңіл бөлінді. Алайда, Риккати теңдеуі үшін осылайша интегралдаудың мүмкін еместігі дәлелденгеннен кейін (Лиувилль) бұл көзқарастың мүмкіндігінің шектеулі болатындығы анықталды. С.Ли үздіксіз группалар теориясын құрды. Бұл қарапайым ДТ- лердің сәйкес түрлендірулер орындалатын кластары мен оларды интегралдау әдістеріне сипаттама беруге мүмкіндік туғызды. Бірақ, осындай мазмұнды теория құру ДТ-лердің кейбір жеке кластары үшін ғана мүмкін болды (Пикар, Вессио). Сызықтық ДТ-лерді қатарлар арқылы шешу трансценденттік функциялардың енгізілуіне алып келді, шешімдердің сызықтық тәуелсіздігі туралы мәселе айқындалды (Кристоффель), ДТ-лердің алгебралық теңдеулермен ұқсастығы зерттеліп, символикалық шешу әдістері жасалды (Грегори, Булль), ғасыр соңында операциялық есептеулердің негізі салынды (Хевисайд). Математикалық физика есептері параметрге тәуелді коэффициенттері бар сызықтық теңдеулер үшін шеттік есептерді зерттеу қажеттігін тудырды: шеттік есептер Штурм-Луивилль теориясының басты нысанына айналды; Штурм-Луивилль теориясын негіздеумен және функцияларды Штурм-Луивилль есебінің меншікті функциялары бойынша қатарларға жіктеудің қатаң теориясын құрумен байланысты зерттеулер жүргізілді. Бұл XX ғ. асимптотикалық әдістер мен спектрлік теорияның дамуына әсер етті. ДТ-лердің аналитикалық теориясын құрудың негізі салынып (Коши), оның дамуында жаңа кезең басталды: барлық интегралдары тек регуляр ерекше нүктелерге ие болатын сызықтық ДТ-лердің маңызды кластарының аналитикалық теориясы жасалды (Фукс); автоморфты функциялар ашылды (Пуанкаре); жылжымайтын тармақталу нүктелері бар сызықтық емес теңдеулерді зерттеуде іргелі нәтижелер алынды (Фукс, Пуанкаре, Пенлеве); ДТ-лердің сапалы теориясы пайда болды (Пуанкаре, т.б.), т.б. XIX ғ. дербес туындылы ДТ-лер теориясы, әсіресе, потенциал теориясы дамыды (Гаусс, Фурье, Пуассон, Коши, Дирихле, Грин, т.б.). Ғасыр соңына қарай дербес туындылы ДТ-лер теориясы жаңа түрге ие болды. Коши, Вейерштрасс, Ковалевскаялар негізін салған аналитикалық теория өзінің мәнін жоғалтпағанымен, кейінгі орынға ысырылды. Себебі, оның шеттік есептерді шешу барысында шекаралық шарттарды жуықтап біле отырып, шешімді жуықтап таба алу мүмкіндігін қамтамасыз етпейтіндігі анықталды. Бірақ жағдай әлдеқайда күрделі болып шықты: ДТ-лердің әртүрлі типтері үшін «қисынды» түрде қойылуға тиісті шеттік есептердің мейлінше әралуан болатындығы анықталды. Теңдеулердің әрбір типіне арналған шеттік есептерді таңдап алу үшін сәйкес физикалық түсінікке жүгінуге тура келді. Осыған байланысты ДТДТ теориясы математикалық физика теңдеулерінің теориясына айнала бастады (Дирихле, Риман, Пуанкаре, Пикар, Адамар, Томсон, Нейман, Гильберт, т.б.). ДТ-лерді шешудің сандық әдістері жасалды (Адамс әдісі, Рунге әдісі, біртіндеп жуықтау әдісі, дербес туындылы теңдеулер үшін Либманның айырмалық әдісі). Гильберт 1900 ж. XX ғ. математикасының дамуына әсер ететін проблемалар арасында қатысты екі есепті атап көрсету арқылы ДТ теориясының даму перспективасын анықтап берді. 5. XIX ғ. ортасына дейін еселі интегралдар экстремумының қажетті шарттарын және әлсіз экстремумның жеткілікті шарттарын іздеуге күш салынды, қисық сызықты және беттік интегралдар теориясы дамыды (Гаусс, Грин, Пуассон, т.б.). Вариациялық есептеулерде мынадай нәтижелер алынды: (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑦 жүктеу/скачать 1,77 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|