Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- /=і А, -| 2 = 0. 6. БІРІНШІ ТЕКИ ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
| і
= і A, (95) түрінде жіктеледі. Дэл осылай і=і л. қатарын аламыз. 103 H( x, s) ядросын жіктейік. {(pt( jc )} жүйесі бойынша H ( x , s ) = Z H i(s) I 1 түрінде жіктейміз, мұндағы, Н , (s) = \ H (x,s)(p, (x)dx = \<р, (s) , ал бұл монді алдыңғы қатарға қойып, я ,(х ,я ) = х X v M v - X s ) а Л * қатарын аламыз. Бұл катар х пен s бойынша орташа жинакты. Расында, жоғарыдағы өрнектерден „ <і А, ds = \ H 2 (s,x)ds - X ( x ) = а ; I A , Я 2( х , х ) - І ^ ; ( х ) = £ ^ r ( x ) , /=1 /Ч/. /=Л+1 /и, бұл (95) бірқалыпты жинақты қатарының қалдық мүшесі, сондыктан ол /?—»оо жағдайда нөлге ұмтылады. Демек, lim j Я ( х ,.? ) - х 4 ^ /=і А, -| 2 = 0. 6. БІРІНШІ ТЕКИ ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР § 6.1. Вольтеранның бірінші текті теңдеуі Вольтеранның 1 -текті интегралдық тендеуін қарастырайық: \K{x,s)(p{s)ds = f ( x ) , (96) и мұндағы, K(x ,s) пен f ( x ) функциялары белгілі, ал (р(х) белгісіз функциялар. Екінші текті интегралдық тендеуге қарағанда бұл тендеудің шешімі бар болуы үшін кейбір жаңа шарттар қою керек. Ол үшін ) (p(s)ds = f ( x ) a теңцеуін қарастырайық. Бұл тендеудің шешімін C[a,b\ класынан іздейік. Бұл жағ- дайда теңдеу шешілуі үшін f ( a ) = 0 болуы қажет жэне / ( х) функциясының [a,b] кесіндіде үзіліссіз туындысы бар болуы керек, яғни теңдеудің оң жағы кез келген функция емес. Енді (96) тендеуін қарастырайық. Ол тендеудің үзіліссіз (р(х) шешім бар болуы үшін / ( я ) = 0 болуы қажетті. Оның үстіне, егер - ^ K ( x , s ) е C[a,b\ болса, онда / ' ( х ) е С[а, b \ (96) тендеуінің екі жағында х бойынша дифференциялдап, К(х,х)(р{х) + } K'x (x,s)(p(s)ds = f \ x ) (97) a теңдеуін аламыз. Мұндағы, К( х , х ) ф О, xe[a,b\ болсын. Бұл теңдеуді К(х,х) функциясына бөліп, (р(х) + \ K ( x , s ) К(х,х) (p{s)ds = f i x ) К(х, х) (98) 2-текті Вольтерра тендеуін аламыз. (98) теңцеуін жоғарыдағы айтылған эдістер- мен шешу арқылы біртекті (96) интегралдық теңдеуінің шешімін табамыз. 105 Егер К ( х , х ) функциясы [a,b\ кесіндінің кейбір нүктелерінде нөлге айналса (мәселен, х - с нүктесінде), онда (98) теңдеуі 2-текті тендеудің қасиеггерінен бөлек, ерекше қасиетке ие болады. Мұндай теңдеуді Пикар анықтамасы бойынша 3-текті деп атайды. Ондай теңдулерді біз қарастырмаймыз. Кейбір жағдайда К ( х , х ) = 0 болса, (97) теңдеуі тағы да 1-текті теңдеу түрінде қалады: J K[(x,s)(p(s)ds = f ' ( x ) , бұган тағы да (96) теңдеуін 2-текті теңдеуге келтіру эдісін колданамыз, бірақ бұл жағдайда K ( x , s ) пен / ( х ) функциялары С 2[<з,б] класында болуы керек. • Ескерту. Егер /С(х,х) функциясы [a,b\ кесіндісінің оңашаланған с, <с2 <.... нүктелерінде нөлге айналса, онда (96) интегралын жеке-жеке аралық- тарда қарастырып, (98) теңдеуіне келтіреді. Мысалы, 0 < х < тг, 0 < s < х болганда х J cos(x + s)cp(s)ds = / ( х ) тендеуін қарастырайық. Бұл теңдеуді х бойынша дифференциялдап, 2-текті тең- деуді аламыз: х C0s 2x ^ x ) - J s i n ( x + s)#>(5')£/x = f \ x ) . о ( ( л-^^ тс Ъп Ал cos2x = 0 тендеуінің түбірлері х = Егер х е О, 4 4 ^ ( 4 ; ; cos 2х ф 0, сондықтан болса, онда <р(х) ~ = / М , ( о cos2x cos2x О, V V 4 / екінші текті тендеуі шығады. Басқа нүктелер үшін де осы әдісті қолданамыз. жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|