Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- -s X t \o ^Jt — S dt = \^ M L d t о \ X t тендеуін аламыз. Бұған Дирихленің интегралды түрлендіру формуласын қол
- TTodx-t теңцеуі шығады. Ал бұл теңдеуді jc бойынша дифференциалдап
- Я о у / х - S болады. Дэл осы жолмен Абельдің күрделі интегралдық тендеуін } - ^ L - d s = f ( x ) (0
- § 6.3. Фредгольмнің бірінші текті теңдеуі
- ( * ) = W „ , ( * ) - ЯI К(х, s)i//n] ( s)ds и
- (р( х) = Я {(бх/3 + 4 x 2t + 3 xt\p(t)dt
- (р(х) = 5Ax\d(p{t)dt + я ( 4 х 2 + 3 x)\Up(t)dt, і -і одан кейін с, = \d(p(t)dt, с2 = \t(p{t)dt
- 5(1 —2Я) —6Я -10Я 3 (1 -2 Л ) ’ яғни Я = — болуы керек. Міне бұл Я = — саны жоғарыдағы теңдеудің ядросыньщ 4
| § 6.2. Абель теңдеуі
і 0 ф ) y/t - S ds = / ( / ) Абель тендеуін қарастырайық. Бұл теңдеуді / бойынша дифференциялдауға болмайды. Ядросы K(t,s) = j j — элс*3 ерекшелікті, сондықган бұл теңдеуді 2- текті Вольтерра теңдеуіне басқаша келтіру әдісін қолданамыз. Ол үшін теңдеуді өрнегіне көбейтіп, содан соң t бойынша 0-ден х -ке дейін интегралдап. y / x - t 106 f i r j ds о -s X ~ t \o ^Jt — S dt = \^ M L d t о \ X ~ t тендеуін аламыз. Бұған Дирихленің интегралды түрлендіру формуласын қол- данып, J Ф ) dt y j ( t - s ) ( x - t ) ds = \^ M L d t о d x ~ t деп жазып, мұнда f dt ' y l ( t - s ) ( x - t ) - к екенін паидалансақ, f (p{s)ds - —} dt о TTodx-t теңцеуі шығады. Ал бұл теңдеуді jc бойынша дифференциалдап, (p(x) = - - ^ - j - ^ L d t л d x o d x - t бастапқы берілген теңдеудің шешімін табамыз. Егер / ( jc ) дифференциал-данатын функция болса, онда соңғы формуладан « Х )= т + Ц і ! ж < ь Я л /JC Я о у / х - S болады. Дэл осы жолмен Абельдің күрделі интегралдық тендеуін } - ^ L - d s = f ( x ) (0 < a < 1) о ( х — S ) (99) шешуге болады. Ол үшін теқдеудегі jc айнымалысын t -мен ауыстырып, одан кейін ол теңдеудің екі жағын ^ өрнегіне көбейтіп, t бойынша 0-ден jc -ке 0 - 0 дейін интегралдап, / л (, Щ- л ( J C - O Ч о ( / _ 0 “ ) o ( x - t ) a немесе 107 Н і й ^ ғ ' тендеуін аламыз. Бұл теңдеуден ) dt п ( х - / ) 1 a( t - s ) a sin п а болғандықтан j * s)A = j / W Л- теңдеуі шығады. Осы соңғы тендікті х бойынша дифференциалдап, , ч sin;rar d r f i t ) Ф ) = ^ ^ г г . I: n d x i ( x - t ) ' ° dt (99) теңдеуінің шешімін табамыз. • Ескерту. Егер (99) тендеуіндегі а бірден кіші кез келген сан болса, онда кез келген жатық f ( x ) функциясы үшін ол теңдеуді жоғарыда қарастырған жағ- дайға келтіре аламыз. Расында, егер а < 0 болса, онда - а > 0. Сондықтан (99) тендеуін х бойын ша дифференциалдап, (- а ) \ { х - s ) Ha+'] (p(s)ds = / '( * ) , о a ( a + \ ) j ( x - s ) теңдеулері тізбегін 1 > a + k > а болғанша жалғастыра береміз. Ең соңында Вольтерраның 1 -текті олсіз ядорлы }T— ^Tg = f i t ) ( 0 < « < 1 ) 0 \ t — S ) теңдеуін қарастырайық, мұндағы, H (/,s) пен dt үзіліссіз функциялар. Бұл теңдеуді шешу үшін оны 1 ( х - 0 1 " болған өрнекті t бойынша 0-ден х -ке дейін интегралдап, өрнегіне жоне шенелген көбейтіп, пайда 108 dt немесе x s dt ( x - О ' a ' HOVv) o ( / - 5 ) e (p(s)ds г f i t ) о (X~t)' JH (x, s)(p(s)ds = \ 0 0 f i t ) dt (100) тендеуін аламыз, мұндағы, Н (х,л) r H ( t , s ) dt = !• H ( . v + z(x - л ) , , у ) ' ( X - / ) 1 a( t - s ) a 1 ( 1 - z ) ' az a dz, ал бұл регулярлы ядро, себебі Н (х,^)| < М | dt О (1 - / ) ' ar M к sin па , |H(x,s)| < M. Демек, (100) тендеуі шенелген ядорлы интегралдық теңдеу.Егер Н (х ,х )^ 0 болса, онда Н ( х ,х ) ^ 0 . Сондықтан (100) теңдеуін 2-текті интегралдық теңдеуге келтіруге болады екен. § 6.3. Фредгольмнің бірінші текті теңдеуі Фредгольмнің 1-текті jK (x,s)^(s)<* = /'(x ) (101) теңдеуін қарастырайық. Бұндай тендеу эрқашан шешіле бермейді. Мысалы і jtp(s)ds = f { x ) теңдеуі кез келген / ( х ) үшін шешіле бермейді. Егер бұл теңдеуде 0 f { x ) = 1 болса, оның шешімі (ріх) = \ болады. Онымен қоса ^(х) = 1 + ах + /? функ- цияда а мен /? тұрақты шамалары а + 2/3 = 0 шартын қанағаттандырса, онда тең- деу шешіледі, яғни теңдеудің ақырсыз көп шешімі бар болады. Егер (101) тендеуіндегі K (x ,s ) симметриялық ядро болса, онда Шмидт теоремасы бойынша һ jKix,s)tpis)ds = 0 1-текті интегралдық теңдеудің шешімдері K i x , s ) ядросының барлық меншікті функцияларына ортогональ функциялармен дэл келеді. Егер K (x ,s ) тұйық ядро болса, бұл тендеудің тек нөлдік шешімі ғана бар болады. Егер ядро тұйық болмаса 109 (моселен, ерекшеленген ядро болса), онда тендеудің акырлы немесе санакты жиында сызықты тэуелсіз жиында, сызықты тоуелсіз шешімдері бар болады. Енді / ( х ) ф 0 болған кездегі (101) теңдеуін қарастырайық. Гильберт-Шмид теоремасы бойынша (101) тендеуінің шешімі бар болуы үшін f ( x ) функдиясы /^(х,^) ядросының меншікті функциялары {(pt (х)} жүйесі бойынша катарға жіктелуі қажет, яғни f ( x ) = £ ( f , i p i) і і Міне, осы шарт орындалса, (101) тендеуінің шешімін (р(х) = ^с,(р,(х) і=1 түрінде іздеуге болады, мұндағы, с,-белгісіз түрақты шамалар. Соңғы катар-ды с (101) тендеуіне қойып, оны алдыңғы қатармен салыстырсак, -у-= (/,#> ) , яғни л, С, = Л ( / > , • ) , 7 - 1,2,.... Теорема (Пикар). Тұйық симметриялык K (x ,s ) ядролы JK (x.s)^(s)ds = f(x) ( 101 ) 1-текті интегралдық теңдеуінің L2[a,/)j класында жалғыз шешімі бар болуы үшін ХЛ2/*2 k I қатарының жинақты болуы қажетті де жеткілікті. Мұндағы f k = ( f ,( p k), f ( x ) e L 2[a,b\ ал Л* сандары K (x ,s ) ядросының меншікті мондері, <рА(х )~ оларға сойкес меншікті функциялары. Дәлелдеуі. Қажеттілігі: (101) теқдеуінің (р{х) е L2[a,b] да шешімі бар деп үйғарайық. Онда, һ Ь ( һ л fk = \ f(x) ( * № = J j f К(Д£Г, s) a a J h ( b Л J ft = N J K(*, s) ^ ( 5)^5 = — f (p{s)(pk (s)ds. a U J Бұл теңдікті 110 \(p{s)(pk(s)ds = Akf k {к = 1,2,...) (102) түрінде жазамыз. Бұдан Akf k сандардың ср(х) е L, \а,һ\ функциясы үшін Фурье қатарының коәффициенттері екенін көреміз. Бессель теңсіздігі бойынша І Л 2Л 2 <\(p2(x)dx, к - - \ а демек, қатар жинақты. Жеткіліктілігі: керісінше, қатар жинақты болсын, онда Фишер-Рисс теоре- масы бойынша жалғыз ғана (р(х) е L2[a,b\ функциясы табылады, ол үшін {(рк{х)) жүйесі бойынша Akf k Фурье коэффициенттері болады, яғни (102) теңдігі орынды. Ал f ( x ) e L 2[a,b] функциясы қатарға 00 / ( * ) = £ / > „ ( * ) П- 1 түрінде жіктеледі. Екінші жағынан (102) теңдігін ескерсек, b оо / b \ / K(x,s) = Ц \K{x,s)(p{s)ds,(pn{x) )(рп(х ) = n I \ a / һ = Ц \(p{s)\K{x,sypn(x)dxds) b (*) = п = \ \а = £ — [\ n 1A V« / /7 = 1 Олай болса, соңғы екі теңдіктерден f ( x ) = jK(x,s)(p(s)ds, яғни (р{х) функцясы (102) тендеуін қанағаттандырады жэне оның шешімі болады. Егер K ( x , s ) ядросы түйық болмаса, онда (101) теңдеуінің шешімі көп болады. с о ( х ) * 0 жоне \ K(x,s)co(s)ds = 0 болсын. Ол кезде, егер (р0 (х) функциясы а (101) теңдеуінің шешімі болса, онда (р()(х) + ссо{х) функциясы да ол теңдеудің шешімі болады (мұндағы, с -т ұ р а қ т ы шама). АГ(л:,^)-ерек-шеленген ядро болса, ол гүйық емес, сондықтан (101) теңдеуінің шешімі ақырсыз көп тұрақты шама- ларға байланысты болады. Ал (101) теңцеуінің шешімі бар жэне ол жалғыз болуы үтітін f£(x,s^ ядросының түиық болуы өте маңызды. 111 Фредгольмнің кейбір І-текті теңцеулерін шешу үшін біртіндеп жуықтау әдісін қолдануға болады. Теорема. (101) тендеуінің ядросы K (x ,s ) е L2[a,b] симметриялык және оң болып, ол теңдеу бір мэнді шешілсін. Сонда <РАх) = <Р«Лх) + Ц f ( x ) - \ K ( x , s ) ( p n_i(x)ds dx (ЮЗ) рекурренттік формуласымен анықталатын {<рп{х)) тізбегі (101) тендеуінің шеші- міне орташа жинақты болады, мұндағы, ) е Я саны 0 < Я < 2Я-, шартты қанағаттандырады, ал Я, - K ( x ,s ) ядросыныңең кіші меншікті моні. Дәлелдеуі. (103) тендігіне (рп(х) = (р{х) + у/п (х) деп алсақ, һ ( * ) = W„ , ( * ) - ЯI К(х, s)i//n] ( s)ds и өрнегін аламыз. Мұның екі жағында AT(x,s) ядросының меншікті функциялары у Xх) - ке көбейтіп, хбойынш а а -дан /?-ғадейін интегралдасак, а \ п) = а\ > - Л) V. (хІ ) К ( х , s)y/n , (s)ds dx, мұнда а - п) = \y/n{x)vt{x)dx. Енді K (x ,s ) ядросы симметриялық ядро екенін ескеріп және v, (*) = AJ К(х, j ) v (s)ds тендігін паидаланып, | у , ( х )||А :( х , 5 ) ^ я ,(A:) n өрнегін аламыз. Сонымен я II [ i - A ] я 3 II [ , - A ] 1 Мынадай 112 І Ц/\ {x)dx = \ [<рп (х) - р(х)]2 dx интегралды қарастырайық. {v,(x)} жүйенің толықтығын ескерсек, \ ¥ l ( x )dx - ү[а\п)^ (Парсеваль теңдігі) <1 і --1 немесе ( л \ \ V 2 n{x)dx = ± і і A V K j l - 2 п (я'"’)1 (/1 = 1,2,...) ал 0 < Я < 2Я2 теңсіздігінен табылып, п > N ( s ) болғанда ( ~ \ 1 - Я к , < 1 . Сондықтан £ > 0 үшін тҮ = yV(< болады. Демек, J (х) - <д(х)]2 dx = J у/] {x)dx < s , яғни ^ ( jc ) | тізбегі интегралдық теңдеудің шешімі ^(х) функциясына орташа жинақты. Мысалы. Біртекті интегралдық (р( х) = Я {(бх/3 + 4 x 2t + 3 xt\p(t)dt теңдеуінің меншікті мэндері мен меншікті функцияларын табайық. Шешуі. Тендеуді басқаша жазайық: (р(х) = 5Ax\d(p{t)dt + я ( 4 х 2 + 3 x)\Up(t)dt, і -і одан кейін с, = \d(p(t)dt, с2 = \t(p{t)dt -і -і деп белгілесек, берілген тендеуді: (р{х) = 5Яс,х + Я£2(4 х 2 + 3х). деп жазамыз. Бұл өрнектің екі жағында х 3 пен х -к е көбейтіп, хбойы нш а — 1-ден +1-ге дейін инте- гралдап, 1 6 с, = j x -і " 5 113 1 2 6 C 2 = \ x(p{x)dx = 5Act — + Яс2- -• 3 3 немесе с, мен с2-ні анықтайтын 5с, (1 - 2Я) - 6Лс2 = 0, - 1 0 Яс, + 3(1-2Я )с2 = 0 теңцеулер жүйесін аламыз. Бұл жүйенің нөлдік емес шешімі бар болуы үшін 5(1 —2Я) —6Я -10Я 3 (1 -2 Л )~ ’ яғни Я = — болуы керек. Міне бұл Я = — саны жоғарыдағы теңдеудің ядросыньщ 4 4 меншікті мэні, ал меншікті функцияны табу үшін жүйеге Я-ның мэнін қойып, с, = 0 ,6 с2 екенін табамыз. Бұл с,-ді пайдаланып, (р(х) = с2(\,5х + х 2) берілген тең- деу ядросының меншікті функциясы екенін анықтаймыз. Егер соңғы теңдікке с2 = 1 деп мэнін қойсақ, онда меншікті функция ^(х) = х 2 + 1,5х болады. жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|