Н. А. Назарбаева народу Казахстана

 

 

250 

УДК 519.85 

 

Коваленко А.Г.

1

, Амиргалиев Е.Н.

2

, Козбакова А.Х.

3

, Калижанова А.У.

3

, Айткулов Ж.С.

3 

1

Самарский государственный университет 

г. Самара, Российская Федерация 

2

Университет Сулеймен Демиреля, 

3

Казахский национальный технический университет имени К.И.Сатпаева 

г. Алматы, Республика Казахстан 

ainur_79@mail.ru 

 

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ СУБЪЕКТОВ И ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 

 

Аннотация. Известно, что статистическая информация о функционировании сложных рассредоточенных 

систем часто далека от описания фактического состояния системы, и не позволяет сделать каких-либо выводов 

о  правильности  ее  функционирования.  Так,  например,  из  мировой  практики  эксплуатации  систем 

водообеспечения, водоотведения известно, что суммарные замеры у потребителей и у поставщиков отличаются 

на 40 – 60%. И связано это часто не только с погрешностью измерительных приборов, сколько с неэффективной 

эксплуатацией  соответствующих  систем.  Еще  сложнее  анализ  пространственно-рассредоточенных  систем,  в 

которых  самостоятельные  в  принятии  решений  субъекты  осуществляют  экономическое  взаимодействие  при 

производстве,  купле-продаже,  перепродаже,  потреблении.  В  работе  рассмотрены  математические  модели 

продавцов,  покупателей  и  арбитражеров  и  модели  их  взаимодействия  в  условиях  однопродуктового 

рассредоточенного  рынка  совершенной  конкуренции.  На  основе  этих  моделей  приведены  методы, 

позволяющие оценить параметры функционирования каждого субъекта, и системы в целом. 

Ключевые слова:  модели  субъектов,  оценка  параметров,  рассредоточенные  системы,  модели,  системы 

водообеспечения. 

 

Введение  

Известно,  что  поведение  субъектов  рынка  совершенной  конкуренции  описывается  кривыми 

спроса и предложений, его равновесное состояние [1,2] достигается в точке пересечения этих кривых. 

Рынок  будем  называть  сосредоточенным,  если  поведение  всех  его  субъектов  (покупателей  и 

продавцов)  описывается  одной  кривой  спроса  и  одной  кривой  предложений.  Более  общей  является 

ситуация,  когда  субъекты  рынка  рассредоточены  по  различным  пунктам    локальным  рынкам, 

связанным между  собой торгово-транспортными коммуникациями. В этом случае в рынок вступают 

новые  субъекты  (будем  называть  их  арбитражерами),  которые  являются  промежуточными  звеньями 

между  производителями  и  потребителями.  Процессы  куплипродажи  проходят  как  между 

субъектами каждого пункта, так и между субъектами различных пунктов, с той лишь разницей, что в 

последнем  случае  товар  должен  быть  перевезен  по  некоторым  торгово-транспортным 

коммуникациям.  В  этом  случае  каждый  пункт  характеризуется  своими  кривыми  спроса  и 

предложений,  каждая  коммуникация  характеризуется  транспортной  кривой,  представляющей  собой 

зависимостью  объема  перевоза  между  пунктами  от  разности  цен  в  инцидентных  пунктах.  Такой 

рынок  будем  называть  рассредоточенным  [2,3].  Под  его  равновесным  состоянием  будем  понимать 

состояние,  когда  весь  товар  продается,  покупается,  перевозится  в  соответствии  с  соотношениями, 

определяемыми  кривыми,  а  также  уравнениями  материального  баланса  каждого  пункта.  Для 

описания  рассредоточенного  рынка  применим  аппарат  теории  гидравлических  сетей  [4], 

использующую сетевую постановку задач. 

В  экономико-математическом  моделировании  широко  используются  сетевые  постановки 

экономических  задач.  Наиболее  близкой  к  задачам  теории  гидравлических  сетей  является 

транспортная  задача  линейного  программирования  в  сетевой  постановке  и  двойственная  к  ней  [5]. 

Сетевая  транспортная  задача  с  выпуклыми  функциями  стоимостей  перевоза  по  дугам  графа  без 

ограничений на знаки потоков с помощью метода множителей Лагранжа сводится к частному случаю 

задачи  потокораспределения.  В  данной  работе  рассматривается  дальнейшее  развитие  этих  задач, 

позволяющее  описать  рассредоточенный  рынок,  и  показывается,  что  задача  отыскания  его 

равновесного  состояния  сводится  к  задаче  потокораспределения  в  сети  с  нефиксированными 

отборами [4]. 

Часто  для  реальных  экономических  систем  объемы  ввозавывоза,  цены,  установившиеся  в 

пунктах,  и  объемы  перевоза  известны  из  статистической  отчетности  и  они,  как  правило,  не 

удовлетворяют  основным  балансовым  соотношениям,  кривым  спроса  и  предложений  и 

транспортным  кривым.  Как  правило,  кривые  спроса  и  предложений  и  транспортные  кривые 

 

 

251 

неизвестны,  хотя  часто  именно  они  и  представляют  наибольший  интерес  в  экономических 

исследованиях.  На  их  основе  можно  решать,  например,  задачи  инвестиционной  привлекательности 

пунктов. Таким образом, возникают задачи идентификации этих кривых. 

С  математической  точки  зрения  рассмотрение  вопросов  идентификации  реальных  объектов 

приводит  к  необходимости  постановки  и  решения  так  называемых  обратных  задач.  Очень  часто 

обратные  задачи  являются  некорректно  поставленными,  трудно  решаемыми.  Общая  проблематика 

идентификации гидравлических сетей и подходы к ее решения, рассмотрены в работе [4]. 

Одним  из  таких  подходов,  который  имеет  широкое  применение  в  статистических  методах 

идентификации,  является  подход,  основанный  на  методе  наименьших  квадратов.  В  данной  работе 

этот  подход  развивается  применительно  к  рассматриваемым  экономико-математическим  моделям. 

Ставится  задача  минимизации  суммы  квадратов  отклонения  искомых  величин  от  замеренных 

(заданных) при условиях, которым должны удовлетворять потоки в сетях в условиях равновесия. Для 

получившейся задачи строятся необходимые  условия, основанные на методе множителей Лагранжа. 

В результате получается, что как переменные, характеризующие движение потока, так и множители 

Лагранжа,  удовлетворяют  законам  движения  гидравлических  потоков  в  сети,  и  задача  сводится  к 

суперпозиции двух задач потокораспределения. Это дает возможность предложить для решения задач 

известные,  хорошо  разработанные  алгоритмы  потокораспределения  в  гидравлической  сети  с 

небольшой их модификацией. 

В  заключении  работы  приводится  анализ  предложенных  моделей  и  алгоритмов, 

рассматриваются проблемы, связанные с их развитием и применением. 

 

Описание математических моделей 

 

Для  описания  моделей  воспользуемся  основными  определениями  и  обозначениями  из  теории 

графов.  Пусть 

H

V

E

G

,

,



    связный  конечный  ориентированный  граф,  Е    множество  вершин 

графа, V  множество дуг, Н   отображение H:V



 

Е

 



 

Е. Каждой дуге v V  отображение H  ставит в 

соответствие  упорядоченную  пару  (h1(v),h2(v))  вершин  из  Е,  h1(v)   начало  дуги  v,  h2(v)    конец. 

Будем говорить, что из вершины i выходит дуга v,  если i=h1(v), и входит в вершину j, если j=h2(v). 

Множество  дуг,  входящих  в  вершину  i,  обозначим  через  V 

+ 

(i),  множество  дуг,  выходящих  из 

вершины i, обозначим через V 

-

 (i). 

Вершины  iE  интерпретируем  как  пункты    локальные  рынки  куплипродажи  некоторого 

однородного  продукта.  Каждой  вершине  iЕ  в  соответствие  поставлены  переменные  Р

i 

,  С

i 

, 

интерпретируемые  как  соответственно  цена  и  объем  внешнеторгового  сальдо  этого  продукта, 

С

i

=D

i 

 S

i

, D

i 

 объем спроса, S

i

 объем предложений. Если С

i

<0, то в этой вершине предложение (и 

соответственно  вывоз)  преобладает  над  спросом  (и  соответственно  над  ввозом)  и  она  является 

источником  потока,  если  С

i

>0,  то  преобладает  спрос  над  предложением  и  она  является  стоком 

потока, С

i

=0промежуточная вершина. 

Дуги  v



V  интерпретируем  как  торгово-транспортные  коммуникации  (системы),  по  которым 

осуществляется  транспорт  потока.  Обозначим  через  Q

v

    величину  потока,  идущего  по  дуге  v



V, 

направление  дуги  указывает  положительное  направление  потока.  Объем  транспорта  Q

v

  по  дуге  v 

зависит от разности цен между инцидентными пунктами и описывается зависимостью 

 

Q

v

 =



v

(P

h2(v)

  P

h1(v)

), 

 

 

 

 

v



V, 

(1) 

 

Q

v

  возрастает с ростом (P

h2(v)

  P

h1(v)

),

 

причем если (P

h2(v)

  P

h1(v)

)<0, то Q

v

 <0, и наоборот, если 

(P

h2(v)

   P

h1(v)

)>0, то Q

v

 >0. Эта зависимость фактически отражает предложение пункта  h1(v) пункту 

h2(v)  при  разности  цен  (P

h2(v)

    P

h1(v)

)



0  ,  и  наоборот,  предложение  пункта    h2(v)  пункту  h1(v)при 

разности цен P

h2(v)

  P

h1(v)

<0 . 

Перепишем зависимость (1) в виде 

 

P

h2(v)

=P

h1(v)

+f

v

(Q

v

), 

 

 

 

 

 v



V,    (2) 

 

т.е. цена P

h2(v)  

продукта в конце дуги v  равна цене продукта в начале дуги v плюс добавленная 

цена  при  его  транспортировке  f

v

(Q

v

)  ,  где  f

v 

,  функция,  обратная  для 



v

.  Из  экономического  анализа 

этой  функции  можно  заключить,  что  она  возрастающая,  нечетная,  при  Q

v

>0  выпуклая  вверх. 

Аналитически такую функцию можно записать в виде 

v

v

v

v

v

v

Q

Q

A

Q

f





)

(

, где 

0



v

A

,

  

1

1

0







v



.

 

 

Для всех вершин iE должно выполняться уравнение материального баланса   

 

 

252 

i

i

V

v

v

i

V

v

v

C

Q

Q

















)

(

)

(

 

,  

 

 

 

 iE,  (3) 

 

где  С

i

    внешнеторговое  сальдо.  Как  отмечалось  выше,  если  С

i

<0,  то  iая  вершина  источник 

потока, если С

i

>0, то сток потока, если С

i

= 0, то промежуточная вершина. 

Разобьем  множество  вершин  Е  на  две  непересекающиеся  части  Е

1

  и  Е

2

.  В  вершинах  из  Е

1

 

заданы цены потока (вершины с фиксированными ценами 

*

i

P

) 

0

*





i

i

P

P

. 

 

 

 

 

 i



E

1

.  (4) 

 

В  вершинах  из  E

2

  задана  величина  внешнеторгового  сальдо  (вершины  с  фиксированным 

внешнеторговым сальдо

*

i

C

) 

0

*





i

i

C

C

, 

 

 

 

 

iE

2

.  (5) 

 

Задача  1,  описываемая  уравнениями  (2)  (5),  является  задачей  потокораспределения  в 

гидравлической  сети  (  в  дальнейшем  просто  задачей  потокораспределения  )  и  для  ее  решения  в 

настоящее время разработаны достаточно эффективные алгоритмы. Их описание и обзор приведены в 

работе  [4].  В  случае,  когда  множество  E

1 

  одноэлементное,  задачу  1  называют  задачей  с 

фиксированными отборами.  

Обозначим  кривую  спроса  через

)

(

i

i

i

P

D

D 

,  кривую  предложений  через  S

i

=S

i

(P

i

),  тогда  кривая 

внешнеторгового  сальдо  будет  иметь  вид  С

i

=С

i

(P

i

)=D

i

(Р

i

)S

i

(P

i

).  Разобьем  множество  вершин  Е  на  три 

непересекающиеся  части  Е

1

,  E

2

  и  Е

3

.  Любое  из  этих  множеств  может  быть  пустым.  В  вершинах  из  E

1 

 

заданы  цены  потока  (вершины  с  фиксированными  ценами)  :  P

i

=  Р

*

i

,  i



E

1

.  В  вершинах  из  Е

2

  зададим 

объем потока (вершины с фиксированным внешнеторговым сальдо) : 

*

i

i

C

C 

, i



E

2 

. В вершинах из Е

3

 

объем потока есть функция цены (вершины с нефиксированным внешнеторговым сальдо) 

 

С

i

= С

i

 (P

i

), 

 

 

 

 

 i



E

3

. (6) 

 

Задача 2,  описываемая  уравнениями  (2)–(6)  является  задачей  потокораспределения  в 

гидравлической  сети  с  нефиксированными  отборами  и  для  ее  решения  также  в  настоящее  время 

разработаны  достаточно  эффективные  алгоритмы.  Заметим,  что  в  гидравлической  сети  на  решения 

задачи (2) – (6) могут налагаться также дополнительные ограничения  

 

Q

v

0, 

 

 

 

 

 

vV

*

, (7) 

 

где V

*

V

 

 (множество V

*

 может быть пустым). Во множество V

*

 входят дуги, интерпретируемые 

как насосы, обратные клапаны т. д.  

Сведем задачу 2 к задаче 1. Для этого в граф введем дополнительную вершину 



Е и положим 

Е= {



}



Е. Для новой вершины положим P(



), она будет вершиной с фиксированной ценой. 

В начале вершину 



 соединим с вершинами 

3

E

i 

  дополнительными дугами v, начало которых 

в вершине 



, конец в i. Для этих дуг v  ( их множество обозначим через V



(



) ) положим 

 

P

h2(v)

=P

h1(v)

+f

v

(Q

v

), 

 

 

 

 

 (8) 

 

 где    f

v

1

(P

h2(v)

P

h1(v)

)

 

=S

i

 (P

h2(v)

P

h1(v)

)=S

i

(P

i

). Эти дуги будут соответствовать предложениям вершин. 

Затем  вершину 



  соединим  с  вершинами 

3

E

i 

  дополнительными  дугами  v,  конец  которых  в 

вершине 



 , начало i. Для этих дуг v  ( их множество обозначим через V

+

(



) ) положим 

 

P

h2(v)

=P

h1(v)

+f

v

(Q

v

), 

 

 

 

 

 (9) 

 

где f

v

1

(P

h2(v)

P

h1(v)

)

 

=D

i

 (P

h1(v)

P

h2(v)

)=D

i

(P

i

) . Эти дуги будут соответствовать спросу вершин. 

Для  вершин 

3

E

i 

  положим  С

i

*

=0,  т.е.  эти  вершины  становятся  вершинами  с  нулевым 

фиксированным  внешнеторговым  сальдо.  Также  переобозначим  множество  дуг,  положив  V=V



 

V

+

(



)



V



(



). Следует заметить, что  

 

Q

v

0, 

 

 

v



V

+

(



)V



(



) .                          (10)  

 

В результате этих преобразования задача 2 приводится к виду задачи 1, при этом неравенства 

(10)  являются  аналогом  неравенств  (7).  В  связи  с  этим  в  дальнейшем  задачу  потокораспределения 

будем рассматривать в постановке задачи 1. 

 

 

253 

Как  отмечалось  выше,  при  анализе  реальных  экономических  систем  из  статистической 

отчетности  величины  Q

v

,  vV,  Р

i

,  C

i

,  iЕ,  известны  и  часто  они  не  удовлетворяют  соотношениям 

(2,3). Как правило, неизвестными являются параметры кривых f

v

, и именно эти кривые представляют 

практический  интерес.  Для  дальнейшего  анализа  нам  необходимо  конкретизировать  вид  этих 

функций. Будем рассматривать их в виде 

 

v

v

v

v

v

v

Q

Q

A

Q

f





)

(

, 

 

 

 

 

vV, 

(11) 

 

Заметим, что для v



 V

+

(



) 



V

 

(



) Q

v

0,  поэтому

 

1





v

v

v

v

v

Q

Q

Q





, причем для v



V



(



)  0< (



v

 +1)



1 ,  

для v



 V

+

(



)      (



v

 +1)<0 . 

 

жүктеу/скачать 35,33 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: