Учебное пособие Для студентов университетов Специальностей «Информатика», «Прикладная математика»

 
   R = 
1 
2 
3   
  S = 
2 
7 
1 
 
4 1 6  
 
4 1 6 
 3 
2 
4 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C   
 
A 
B 
C 
R 
∪ S =  1 2 3  
 
 
R \ S = 
1 
2 
3 
 
4 1 6  
 
3 2 4 
 3 
2 
4 
    
 
 
 2 
7 
1 
   
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
 
 
 
 
 
R 
∩ S =  4 1 6  
 
     
Декартово произведение. Пусть R и S – отношения арности r и s со-
ответственно. Тогда декартовым произведением R 
× S отношений R и S 
называется  множество  всех  кортежей  длины  r  +  s  таких,  что  первые  r 
компонент  образуют  кортежи,  принадлежащие  R,  а  последние  s  компо-
нент – кортежи, принадлежащие S.
П р и м е р 
Пусть отношения R и  S представлены следующими таблицами, тогда 
результат  выполнения  этой  операции  над  этими  отношениями  можно 
также представить в виде таблицы. 
 
A B C  
 
D E F 
   R = 
1 
2 
3   
  S = 
2 
7 
1 
 
4 1 6  
 
4 1 6 
 3 
2 
4 
    
 
 
 
 
A B C D E F 
 
1 2 3 2 7 1 
 
1 2 3 4 1 6 
 R 
× S =  4 1 6 2 7 1 
 
4 1 6 4 1 6 
 
3 2 4 2 7 1 
 
3 2 4 4 1 6 
Если  имена  столбцов  в  отношениях-сомножителях  совпадают,  то  их 
помечают именами отношений, например вместо A, B, C, D, E, F можно 
писать R.A, R.B, R.C, S.D, S.E, S.F. 
Проекция. Сущность этой операции заключается в том, что в исход-
 
18

 
ном  отношении  удаляются  некоторые  компоненты  (атрибуты)  и  (или) 
переставляются оставшиеся. Пусть R – отношение арности r. Обозначим 
),
(
 ,
 ,
 ,
2
1
R
m
i
i
i
K
π
 где i
j
  – целые числа в диапазоне от 1 до  r, проекцию R на 
компоненты i
1
, i
2
, …, i
m
, т. е. множество таких кортежей a длины m, что 
существует  некоторый  принадлежащий  R  кортеж  b
1
,  b
2
, …, b
r
,  удовле-
творяющий условию 
. 
j
i
i
b
a
=
Например, для построения 
π
3,1
(R) нужно из каждого кортежа, принад-
лежащего  R,  сформировать  кортеж  длины 2 из  третьего  и  первого  его 
компонентов  в  указанном  порядке,  т.  е.  выписать 3-й,  затем 1-й  компо-
ненты.  При  этом  из  каждой  группы  одинаковых  кортежей  в  результи-
рующем  отношении  оставляется  только  один  кортеж  (отношение – это 
множество кортежей, и оно не может содержать одинаковых, т. е. совпа-
дающих по всем компонентам кортежей). 
Вместо номеров компонент (столбцов) часто используют атрибуты. 
Выборка. Пусть F – формула, образованная: 
1)  операндами,  являющимися  константами  или  номерами  компонент 
(атрибутами); 
2)  операциями сравнения: <, =, >, 
≤, ≥; 
3)  логическими операциями 
Λ (И – конъюнкция), \/ (ИЛИ – дизъюнк-
ция), 
⎤ (НЕТ – отрицание). 
В этом случае 
σ
F
(R) есть множество всех таких кортежей t, принадле-
жащих R, что при подстановке i-го компонента вместо всех вхождений i 
(или соответствующего атрибута) в формулу F она станет истинной. 
Например, 
σ
2>3
  обозначает  множество  кортежей,  принадлежащих  R, 
второй компонент которых больше третьего. 
Заметим,  что  константы  в  формулах  должны  быть  заключены  в  ка-
вычки, это позволит отличить их от номеров или имен столбцов. 
П р и м е р  
Пусть отношения R и  S представлены следующими таблицами, тогда 
результаты  выполнения  операций  проекции  и  выборки  над  этими  отно-
шениями можно также представить в виде таблиц. 
 
A B C 
   R = 
1 
2 
3 
 4 
1 
6 
 3 
2 
4 
 
 
A C  
 
A B C 
  
π
A,C
(R )=  
1 3  
σ
B=’2’
(R )= 
1 2 3 
 
19

 
 
4 6  
 
3 2 4 
 3 
4 
 
 
 
 
 
Деление. Пусть R и S – отношения арности r и s соответственно, при-
чем r > s и S 
≠ ∅. Предположим, что R определено на множестве атрибу-
тов A, а S на множестве атрибутов B и B 
⊆ A. R ÷ S (частное) есть множе-
ство кортежей t длины r – s, таких, что для всех кортежей u 
∈ S, кортеж  
tu  принадлежит R (здесь tu означает кортеж, полученный приписывани-
ем справа к кортежу t компонентов кортежа u). 
П р и м е р 
Пусть отношения R и  S представлены следующими таблицами, тогда 
результат выполнения операции деления над этими отношениями можно 
также представить в виде таблицы. 
 
A B C D  
 
C D  
 
A B 
 
1 2 3 4   S = 
3 
4   
R 
÷ S = 
1 2 
 
1 2 5 6    
5 6    
5 4 
R 
= 2 3 5 6 
       
  
  5 4 3 4 
       
  
  5 4 5 6 
       
  
  1 2 4 5 
       
  
θ-соединение. θ-соединение отношений R и S по столбцам i и j, запи-
сываемое R
| >< |
i
θj
S, где 
θ – операция сравнения (=, < и т. д.), есть краткая 
запись выражения: 
σ
i
θj
(R 
× S). Таким образом, θ-соединение R и S пред-
ставляет собой множество всех таких кортежей в декартовом произведе-
нии  R  и  S,  что  i-й  атрибут  R  находится  в  отношении 
θ  с  j-м  атрибутом 
отношения S. Если 
θ является операцией «=», то эта операция называется 
эквисоединением. 
Естественное  соединение.  Эта  операция  играет  фундаментальную 
роль  в  теории  проектирования  реляционных  баз  данных.  Естественное 
соединение (обозначается R 
⎢>< ⎢S) применимо лишь тогда, когда отно-
шения имеют один или несколько общих атрибутов. 
Вычислить R 
⎢>< ⎢S можно следующим образом: 
1)  вычислить R 
× S; 
2)  для каждого атрибута А, который именует некоторый столбец в R и 
какой-либо столбец в S, выберем только те кортежи из R 
× S, у которых 
совпадают значения в столбцах R.A и S.A; 
3)  для каждого указанного выше атрибута А удалим столбец R.A. 
Формально, если A
1
, A
2
, …, A
k
 являются общими атрибутами для R и S, 
 
20

 
то 
R 
⎢>< ⎢S = 
)),
(
(
.
.
.
R.A
 ,
,
 ,
1
1
2
1
S
R
k
k
m
A
S
A
R
A
S
i
i
i
×
=
∧
∧
=
K
K
σ
π
 
где i
1
, i
2
, …, i
m
 – упорядоченный список всех атрибутов R 
× S, за исклю-
чением атрибутов S.A
1
, S.A
2
, …, S.A
k
. 
Рассмотрим ряд примеров, реализующих вышеописанные операции. 
П р и м е ры 
1. Пусть отношения R и  S представлены следующими таблицами, то-
гда  результат  выполнения  операции 
θ-соединения  над  этими  отноше-
ниями можно также представить в виде таблицы. 
 
A B C  
 
D E 
R =   1 
2 
3   
S =  
3 
1 
 
4 5 6  
 
6 2 
 7 
8 
9 
 
  
 
 
 
A B C D E 
R 
⎢>< ⎢
 B<D
 S =  
1 2 3 3 1 
 
1 2 3 6 2 
 
4 5 6 6 2 
2. Пусть отношения R и  S представлены следующими таблицами, то-
гда результат выполнения операции естественного соединения над этими 
отношениями можно также представить в виде таблицы. 
 
A B C  
 
B C D 
 1 
2 
3 
 
 2 
3 
4 
R =   4 
2 
3   
S =  
2 
3 
5 
 2 
2 
6 
 
 1 
4 
2 
 3 
1 
4 
 
  
 
 
 
 
A B C D 
 
1 2 3 4 
R 
⎢>< ⎢S =  
1 2 3 5 
 
4 2 3 4 
 
4 2 3 5 
 
3 1 4 2 

жүктеу/скачать 2,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: