Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

15.  Числовые последовательности
155
Упражнения
15.1.°  Запишите  в  порядке  возрастания  пять  первых  членов  по-
следовательности:
1)  двузначных чисел, кратных числу 4;
2)  неправильных обыкновенных дробей с числителем 11;
3)  натуральных чисел, дающих при делении на 8 остаток 5.
Укажите, конечными или бесконечными являются эти после-
довательности.
15.2.°
 Последовательность (a
n
) является последовательностью трех-
значных чисел, кратных числу 5, взятых в порядке возрастания. 
Заполните таблицу:
n
1
2
3
4
5
6
a
n
15.3.° Найдите четыре первых члена последовательности (a
n
), за-
данной формулой n-го члена:
1) a
n
 = n + 4;   2) a
n
 = 4n – 3;   3)  a
n
n
n
=
+
2
1
;    4)  a
n
n
n
=
2
.
15.4.° Найдите второй, седьмой и сотый члены последовательности 
(b
n
), заданной формулой n-го члена:
1)  b
n
n
=
10
;    2) b
n
 = 5 – 2n;   3) b
n
 = n
2
 + 2n;   4) b
n
 = (–1)
n + 1
.
15.5.°  Последовательность  (c
n
)  задана  формулой  n-го  члена  c
n
 = 
= (–1)
n
 . 5. Найдите:
1) c
1
;       2) c
8
;       3) c
2k
;       4) c
2k + 1
;       5) c
k + 2
.
15.6.°
 Последовательность (x
n
) задана формулой n-го члена x
n
 = 3n + 1. 
Найдите:
1) x
1
;        2) x
7
;       3) x
20
;       4) x
300
;        5) x
k + 1
.
15.7.° Найдите пять первых членов последовательности (a
n
), если:
1) a
1
 = 4, a
n + 1
 = a
n
 + 3; 
2) a
1
 = –2, a
2
 = 6, a
n + 2
 = 3a
n
 + a
n + 1
.
15.8.°
 Найдите пять первых членов последовательности (b
n
), если:
1) b
1
 = 18,  b
n
n
b
+
= −
1
3
;  
2) b
1
 = –1, b
2
 = 2,  b
b
b
n
n
n
+
+
=
+
2
2
1
2
.
15.9.
•
 Последовательность (a
n
) задана формулой n-го члена a
n
 = 7n + 2. 
Является  ли  членом  этой  последовательности  число:  1)  23;  
2) 149; 3) 47? В случае утвердительного ответа укажите номер 
этого члена.

§ 3.  ЧислОВые ПОследОВательНОсти
156
15.10.
•
 Последовательность (b
n
) задана формулой n-го члена b
n
 = n
2
 – 4. 
Является ли членом этой последовательности число: 1) 5; 2) 16;  
3) 77? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
15.11.
•
 Сколько отрицательных членов содержит последовательность 
(x
n
), заданная формулой n-го члена x
n
 = 6n – 50?
15.12.
•
 Найдите номер первого отрицательного члена последователь-
ности (y
n
), заданной формулой n-го члена y
n
 = 38 – 3n.
15.13.
••
  Последовательность  (a
n
)  задана  формулой  n-го  члена 
a
n
 = n
2
 – 3n – 8. Найдите номера членов этой последовательности, 
которые меньше 10.
15.14.
••
  
Последовательность  (b
n
)  задана  формулой  n-го  члена 
b
n
 = –n
2
 + 15n – 20. Сколько членов этой последовательности боль-
ше, чем 16?
15.15.
••
 Подберите одну из возможных формул n-го члена последо-
вательности, первыми членами которой являются числа:
1) 1, 4, 9, 25, ...; 
3) 0, 
1
2
,  
2
3
,  
3
4
,  
4
5
,  ...;
2) 5, 8, 11, 14, 17, ...; 
4) 0, 2, 0, 2, 0, ... .
15.16.
••
 
Подберите одну из возможных формул n-го члена последо-
вательности, первыми членами которой являются числа:
1) 2, 9, 28, 65, 126, ...; 
2) 
1
2
,  
1
6
,  
1
12
,  
1
20
,  
1
30
,  ... .
Упражнения Для пОвтОрения
15.17. Сократите дробь:
1) 
3
7
2
2 6
2
x
x
x
−
+
−
;  
2) 
5
5
2
2
10
9
2
2
xy
x
y
x
x
−
−
+
−
+
.
15.18. Найдите область определения функции:
1)  y
x
x
=
−
+
2
2
;  
2)  y
x x
x
=
−
−
−
6 5
1
2
.
15.19. Графиком квадратичной функции является парабола с вер-
шиной в начале координат, проходящая через точку  A
− −




1
1
4
;
.  
Задайте эту функцию формулой.
15.20. Рабочий планировал за некоторое время изготовить 160 дета-
лей. Однако он закончил работу на 3 ч раньше, чем планировал, 
так как изготавливал на 12 деталей в час больше запланирован-
ного. Сколько деталей в час изготавливал рабочий?

157
О кроликах, подсолнухах, сосновых шишках и «золотом сечении»
15.21.  Морская  вода  содержит  5  %  соли.  Сколько  пресной  воды 
надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы концентрация соли 
составила 2 %?
15.22. За первый день мальчик прочел 25 % всей книги, за второй —
72 % оставшегося количества страниц, а за третий — остальные 
84 страницы. Сколько страниц в книге?
УЧимся Делать нестанДартные шаги
15.23. Рассматриваются квадратичные функции y = x
2
 + px + q, для 
которых p + q = 5. Докажите, что параболы, являющиеся графи-
ками этих функций, пересекаются в одной точке.
О  кроликах,  подсолнухах,  сосновых  шишках 
и  «золотом  сечении»
Рассмотрим  последовательность  (u
n
),  заданную  рекуррентно 
такими соотношениями:
u
1
 = u
2
 = 1,  u
n + 2
 = u
n + 1
 + u
n
.
Запишем несколько ее первых членов:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .
Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи. 
Такое название объясняется тем, что итальянский математик Лео-
нардо Пизанский (Фибоначчи), решая популярную в XII в. задачу 
о численности потомства пары кроликов, первым обратил внимание 
на замечательные свойства этой последовательности. В этой задаче 
численность потомства кроликов увеличивается так: каждая взрослая 
пара кроликов ежемесячно приносит пару крольчат, а те через месяц 
также начинают приносить потомство. На рисунке 15.1 количество 
пар кроликов соответствует последовательности чисел Фибоначчи.
Леонардо Пизанский  
(Фибоначчи) 
(12–13 ст.)
Итальянский математик. Путешествуя по странам 
Востока, ознакомился с достижениями арабских 
математиков и способствовал распространению 
этих знаний в Европе. Его основные труды: «Liber 
Abaci» (1202) — трактат об арифметике и алгебре, 
«Practica Geometriae» (1220) заложили основы 
применения алгебраических методов в геометрии.

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: